I. Intuition — Qu'est-ce qu'une limite ?
La notion de limite répond à cette question : vers quelle valeur se rapproche f(x) quand x se rapproche d'un certain nombre — sans forcément l'atteindre ?
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Nerveux explique : Imagine que tu marches vers le fleuve Mouhoun.
À chaque pas, tu t'en approches. Même si tu ne plonges jamais dedans,
on peut dire que ta position tend vers le fleuve.
C'est exactement ça une limite : f(x) se rapproche d'une valeur L
quand x se rapproche de a — même si f(a) n'existe pas forcément.
limx → a f(x) = L
Se lit : « la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à L »
II. Les différents types de limites
Il existe deux grandes familles de limites selon la position du point étudié :
Limite en un point fini
limx → a f(x) = L
x se rapproche d'un nombre précis a. La limite est une valeur finie L (ou ±∞).
Limite à l'infini
limx → +∞ f(x) = L
x grandit indéfiniment. On cherche vers où f(x) se dirige quand x → +∞ ou x → −∞.
Limite infinie
limx → a f(x) = +∞
f(x) grandit sans borne quand x approche a. Cela révèle souvent une asymptote verticale.
Limite à gauche / droite
limx → a⁻ f(x) et limx → a⁺ f(x)
On approche a par valeurs inférieures (gauche) ou supérieures (droite). Utile en cas de discontinuité.
III. Limites à l'infini — fonctions de référence
Les limites des fonctions de référence à l'infini sont à connaître par cœur :
| Fonction | limx→+∞ | limx→−∞ |
|---|---|---|
| xⁿ (n pair) | +∞ | +∞ |
| xⁿ (n impair) | +∞ | −∞ |
| 1/x | 0 | 0 |
| √x | +∞ | — |
| eˣ | +∞ | 0 |
| ln(x) | +∞ | — |
Illustration — limx→+∞ (1/x) = 0
IV. Opérations sur les limites
Quand on connaît les limites de f et g, on peut souvent calculer la limite de leur somme, produit ou quotient :
| lim f | lim g | lim (f + g) | lim (f × g) | lim (f / g) |
|---|---|---|---|---|
| L | M | L + M | L × M | L/M si M≠0 |
| L | +∞ | +∞ | +∞ si L>0 | 0 |
| +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | F.I. ∞/∞ |
| +∞ | −∞ | F.I. ∞−∞ | −∞ | F.I. ∞/∞ |
| L≠0 | 0 | L | 0 | F.I. L/0 → ±∞ |
| 0 | 0 | 0 | F.I. 0×∞ ? | F.I. 0/0 |
V. Formes indéterminées (F.I.)
Certaines opérations entre limites ne donnent pas de résultat direct. On les appelle les formes indéterminées — il faut lever l'indétermination par un calcul supplémentaire.
| Forme | Se note | Méthode pour lever |
|---|---|---|
| ∞ − ∞ | +∞ − (+∞) | Factoriser par le terme dominant |
| ∞ / ∞ | (+∞) / (+∞) | Diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant |
| 0 / 0 | 0 / 0 | Factoriser, simplifier, ou utiliser la règle de l'Hospital |
| 0 × ∞ | 0 × (+∞) | Réécrire comme fraction 0/(1/∞) ou ∞/(1/0) |
⚠️ Attention : Une forme indéterminée ne signifie PAS que la limite n'existe pas.
Elle signifie seulement qu'on ne peut pas la lire directement — il faut calculer davantage.
VI. Exemples détaillés
Exemple 1 — Limite en un point, calcul direct
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x^2 - 5x + 1)\)
C'est un polynôme, continu partout. On substitue directement x = 3.
\(2(3)^2 - 5(3) + 1 = 18 - 15 + 1 = 4\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x^2 - 5x + 1)\) = 4
Exemple 2 — Limite à l'infini d'un polynôme
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(3x^3 - 5x^2 + 2)\)
Un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
Terme dominant : \(3x^3\) → quand \(x \to +\infty\), \(3x^3 \to +\infty\)
Les termes −5x² + 2 sont négligeables devant 3x³ à l'infini.
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(3x^3 - 5x^2 + 2)\) = +∞
Exemple 3 — Forme indéterminée 0/0
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2}\)
Substitution directe : (4−4)/(2−2) = 0/0 → F.I. !
On factorise le numérateur : \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)
Alors : \(\dfrac{x^2-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\) (pour \(x \neq 2\))
\(\displaystyle\lim_{x \to 2}(x+2) = 2+2 = 4\)
limx→2 (x²−4)/(x−2) = 4
Exemple 4 — Forme indéterminée ∞/∞
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{3x^2+2x}{x^2-5}\)
Substitution : ∞/∞ → F.I. !
On divise numérateur et dénominateur par x² (terme dominant au dénominateur) :
(3x² + 2x) / (x² − 5) = (3 + 2/x) / (1 − 5/x²)
Quand x → +∞ : 2/x → 0 et 5/x² → 0
Donc la limite vaut (3 + 0) / (1 − 0) = 3
limx→+∞ (3x² + 2x)/(x² − 5) = 3
Exemple 5 — Forme indéterminée ∞ − ∞
Calculer limx→+∞ (x² − 3x)
x² → +∞ et 3x → +∞, donc +∞ − ∞ → F.I. !
On factorise par x² (terme dominant) :
x² − 3x = x²(1 − 3/x)
Quand x → +∞ : x² → +∞ et (1 − 3/x) → 1
Donc x²(1 − 3/x) → +∞ × 1 = +∞
limx→+∞ (x² − 3x) = +∞
Exemple 6 — Limite infinie, asymptote verticale
Calculer limx→0⁺ 1/x et limx→0⁻ 1/x
Pour x → 0⁺ (x > 0 et x → 0) : 1/x → ?
Quand x = 0.1 → 1/x = 10 | x = 0.01 → 1/x = 100 | x → 0⁺ → 1/x → +∞
Pour x → 0⁻ (x < 0 et x → 0) :
Quand x = −0.1 → 1/x = −10 | x = −0.01 → 1/x = −100 | x → 0⁻ → 1/x → −∞
limx→0⁺ 1/x = +∞ et limx→0⁻ 1/x = −∞ → asymptote verticale en x = 0
Exploration interactive — Desmos
Visualise les limites aux bords du domaine
Exercices d'application
Exercice 1 — Calcul direct
Calculer les limites suivantes (substitution directe) :
- a) limx→2 (3x − 1)
- b) limx→−1 (x² + 2x + 5)
- c) limx→4 √x
- d) limx→+∞ 5 (constante)
a) limx→2 (3x−1) = 3(2)−1 = 5
b) limx→−1 (x²+2x+5) = 1−2+5 = 4
c) limx→4 √x = √4 = 2
d) limx→+∞ 5 = 5 (une constante a toujours la même limite, peu importe où x va)
b) limx→−1 (x²+2x+5) = 1−2+5 = 4
c) limx→4 √x = √4 = 2
d) limx→+∞ 5 = 5 (une constante a toujours la même limite, peu importe où x va)
Exercice 2 — Limites à l'infini
Déterminer les limites en +∞ et −∞ :
- a) f(x) = −2x⁴ + 7x − 1
- b) g(x) = x³ − x²
- c) h(x) = (4x + 1) / (2x − 3)
a) f(x) = −2x⁴ + … Terme dominant : −2x⁴
limx→+∞ f = lim −2x⁴ = −∞
limx→−∞ f = lim −2x⁴ = −∞ (puissance paire, toujours positive, ×(−2) → −∞)
b) g(x) = x³ − x² = x²(x−1). Terme dominant : x³
limx→+∞ g = +∞
limx→−∞ g = −∞
c) h(x) = (4x+1)/(2x−3). On divise par x :
= (4 + 1/x) / (2 − 3/x) → (4+0)/(2−0) = 4/2
limx→+∞ h = limx→−∞ h = 2 (asymptote horizontale y = 2)
limx→+∞ f = lim −2x⁴ = −∞
limx→−∞ f = lim −2x⁴ = −∞ (puissance paire, toujours positive, ×(−2) → −∞)
b) g(x) = x³ − x² = x²(x−1). Terme dominant : x³
limx→+∞ g = +∞
limx→−∞ g = −∞
c) h(x) = (4x+1)/(2x−3). On divise par x :
= (4 + 1/x) / (2 − 3/x) → (4+0)/(2−0) = 4/2
limx→+∞ h = limx→−∞ h = 2 (asymptote horizontale y = 2)
Exercice 3 — Lever les formes indéterminées
Calculer chaque limite en levant la F.I. :
- a) limx→1 (x² − 1) / (x − 1)
- b) limx→+∞ (2x³ − x) / (x³ + 4)
- c) limx→+∞ (x² + 3x − x²) (attention !)
a) F.I. 0/0. Factoriser : x²−1 = (x−1)(x+1)
(x²−1)/(x−1) = (x+1) pour x≠1
limx→1 (x+1) = 2
b) F.I. ∞/∞. Diviser par x³ :
(2x³−x)/(x³+4) = (2 − 1/x²)/(1 + 4/x³) → 2/1 = 2
c) x² + 3x − x² = 3x (simplification immédiate !)
limx→+∞ 3x = +∞
(Le ∞−∞ se levait simplement en développant — toujours simplifier d'abord !)
(x²−1)/(x−1) = (x+1) pour x≠1
limx→1 (x+1) = 2
b) F.I. ∞/∞. Diviser par x³ :
(2x³−x)/(x³+4) = (2 − 1/x²)/(1 + 4/x³) → 2/1 = 2
c) x² + 3x − x² = 3x (simplification immédiate !)
limx→+∞ 3x = +∞
(Le ∞−∞ se levait simplement en développant — toujours simplifier d'abord !)
Exercice 4 — Problème concret (Burkina Faso) ⭐
Le coût moyen de production C(n) d'un tissu de bogolan à Ségou est modélisé par :
C(n) = (500n + 2000) / n
où n est le nombre de tissus produits.
- a) Calculer C(1), C(10), C(100), C(1000).
- b) Calculer limn→+∞ C(n).
- c) Interpréter le résultat concrètement.
a) C(n) = (500n + 2000)/n = 500 + 2000/n
C(1) = 500 + 2000 = 2500 FCFA
C(10) = 500 + 200 = 700 FCFA
C(100) = 500 + 20 = 520 FCFA
C(1000) = 500 + 2 = 502 FCFA
b) limn→+∞ C(n) = limn→+∞ (500 + 2000/n)
= 500 + 0 = 500 FCFA
c) Interprétation : Plus on produit de tissus, plus le coût moyen par tissu se rapproche de 500 FCFA. Ce chiffre représente le coût variable unitaire — les frais fixes de 2000 FCFA se "diluent" sur un grand nombre de productions. C'est le principe des économies d'échelle !
C(1) = 500 + 2000 = 2500 FCFA
C(10) = 500 + 200 = 700 FCFA
C(100) = 500 + 20 = 520 FCFA
C(1000) = 500 + 2 = 502 FCFA
b) limn→+∞ C(n) = limn→+∞ (500 + 2000/n)
= 500 + 0 = 500 FCFA
c) Interprétation : Plus on produit de tissus, plus le coût moyen par tissu se rapproche de 500 FCFA. Ce chiffre représente le coût variable unitaire — les frais fixes de 2000 FCFA se "diluent" sur un grand nombre de productions. C'est le principe des économies d'échelle !
À retenir — Limites d'une fonction
- \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\) signifie que f(x) se rapproche de L quand x tend vers a.
- Pour un polynôme, la limite à l'infini est celle de son terme de plus haut degré.
- Pour une fraction rationnelle à l'infini : diviser par le terme dominant du dénominateur.
- Les formes indéterminées (0/0, ∞/∞, ∞−∞) se lèvent par factorisation ou simplification.
- limx→0⁺ 1/x = +∞ et limx→0⁻ 1/x = −∞ → asymptote verticale en x = 0.
- limx→±∞ 1/x = 0 → asymptote horizontale y = 0.