I. Définition et existence
La fonction exponentielle modélise toute croissance ou décroissance proportionnelle à sa propre valeur : population, radioactivité, intérêts composés.
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Nerveux explique : Imagine que la vitesse à laquelle une population de criquets
à Dori se reproduit est proportionnelle au nombre de criquets déjà présents.
C'est exactement ce que modélise eˣ : sa dérivée est égale à elle-même !
Théorème fondamental (admis) : Il existe une unique fonction dérivable sur ℝ telle que :
• f′(x) = f(x) pour tout x ∈ ℝ
• f(0) = 1
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle, notée exp ou ex.
• f′(x) = f(x) pour tout x ∈ ℝ
• f(0) = 1
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle, notée exp ou ex.
exp(x) = ex avec e ≈ 2,71828…
e est le nombre d'Euler — irrationnel et transcendant, comme π.
La propriété fondamentale :
Si f(x) = ex, alors f′(x) = ex.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.
Si f(x) = ex, alors f′(x) = ex.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.
II. Propriétés algébriques
Les propriétés algébriques de ex sont les mêmes que pour les puissances, étendues à tous les réels.
Addition d'exposants
ea+b = ea × eb
Soustraction d'exposants
ea−b = ea / eb
Exposant négatif
e−x = 1 / ex
Puissance d'une puissance
(ex)n = enx
Valeurs remarquables
e0 = 1 · e1 = e ≈ 2,718
Toujours strictement positif
∀x ∈ ℝ, ex > 0
Équivalences fondamentales (résolution d'équations et inéquations) :
• ea = eb ⟺ a = b
• ea < eb ⟺ a < b
• ex = 1 ⟺ x = 0
• ea = eb ⟺ a = b
• ea < eb ⟺ a < b
• ex = 1 ⟺ x = 0
III. Variations et limites
Puisque (ex)′ = ex > 0 pour tout x ∈ ℝ, la dérivée est toujours strictement positive, donc :
La fonction exp est strictement croissante sur ℝ
ea < eb ⟺ a < b
Tableau de variations
| x | −∞ | +∞ | |
|---|---|---|---|
| (ex)′ = ex | + + + + + + + + | ||
| ex | 0+ | ↗ | +∞ |
Limites importantes
Limite en +∞
limx→+∞ ex = +∞
Croissance plus rapide que tout polynôme
Limite en −∞
limx→−∞ ex = 0
Asymptote horizontale : y = 0
Croissances comparées (+∞)
limx→+∞ ex/xn = +∞
Pour tout entier n ≥ 0
Croissances comparées (−∞)
limx→−∞ xn·ex = 0
Pour tout entier n ≥ 0
IV. Courbe représentative
À retenir sur la courbe :
• Passe par (0 ; 1) car e⁰ = 1
• Tangente en x = 0 de pente 1 (car f′(0) = e⁰ = 1)
• Asymptote horizontale y = 0 en −∞
• La courbe de e−x est le symétrique de ex par rapport à l'axe des ordonnées
• Passe par (0 ; 1) car e⁰ = 1
• Tangente en x = 0 de pente 1 (car f′(0) = e⁰ = 1)
• Asymptote horizontale y = 0 en −∞
• La courbe de e−x est le symétrique de ex par rapport à l'axe des ordonnées
V. Dérivée de fonctions composées
Si u est une fonction dérivable, on applique la règle de dérivation des fonctions composées :
(eu(x))′ = u′(x) · eu(x)
On multiplie toujours par la dérivée de l'exposant.
Cas particuliers courants :
• (eax+b)′ = a · eax+b
• (e−x)′ = −e−x
• (ex²)′ = 2x · ex²
• (e√x)′ = (1 / 2√x) · e√x
• (eax+b)′ = a · eax+b
• (e−x)′ = −e−x
• (ex²)′ = 2x · ex²
• (e√x)′ = (1 / 2√x) · e√x
Exemple guidé — Dériver f(x) = (2x − 3)eˣ
Calculer f′(x) en utilisant la règle du produit.
On pose u = 2x − 3 et v = eˣ · Règle : (uv)′ = u′v + uv′
u′ = 2 · v′ = eˣ
f′(x) = 2eˣ + (2x − 3)eˣ = eˣ(2 + 2x − 3)
f′(x) = (2x − 1)eˣ
VI. Résoudre équations et inéquations
ea = eb
⟺ a = b
Injectivité de exp
eˣ = k (k > 0)
⟺ x = ln(k)
ex > ea
⟺ x > a
exp est croissante
eˣ = k (k ≤ 0)
Impossible
eˣ > 0 toujours
VII. Exemples
Exemple 1 — Croissance démographique à Ouagadougou
P(t) = 1,2 · e0,045t millions d'habitants (t en années depuis 2010).
1. Calculer P(0). 2. Calculer P′(t) et interpréter. 3. En quelle année P(t) > 2,5 ?
1. Calculer P(0). 2. Calculer P′(t) et interpréter. 3. En quelle année P(t) > 2,5 ?
1. P(0) = 1,2 · e⁰ = 1,2 million (population en 2010)
2. P′(t) = 1,2 × 0,045 × e0,045t = 0,054 · e0,045t > 0 → croissance continue
P(t) > 2,5 ⟺ e0,045t > 2,083 ⟺ 0,045t > ln(2,083) ≈ 0,734 ⟺ t > 16,3
Population dépasse 2,5 millions à partir de 2026
Exemple 2 — Désintégration radioactive (mine d'or de Poura)
M(t) = 500 · e−0,003t grammes (t en années).
1. Masse initiale ? 2. Calculer M′(t). 3. Après combien d'années M(t) < 250 g ?
1. Masse initiale ? 2. Calculer M′(t). 3. Après combien d'années M(t) < 250 g ?
1. M(0) = 500 · e⁰ = 500 g
2. M′(t) = −1,5 · e−0,003t < 0 → la masse décroît continuellement
M(t) < 250 ⟺ e−0,003t < 0,5 ⟺ −0,003t < ln(0,5) ≈ −0,693 ⟺ t > 231
Demi-vie ≈ 231 ans
Exploration interactive
Trace eˣ et explore ses propriétés — modifie la base
Exercices d'application
Exercice 1 — Calcul de dérivées
Calculer la dérivée de chaque fonction :
- a) f(x) = e3x−1
- b) g(x) = x² · eˣ
- c) h(x) = e−2x + 3x
- d) k(x) = (x + 1)e−x
a) f′(x) = 3 · e3x−1
b) g′(x) = 2x · eˣ + x² · eˣ = x(x + 2)eˣ
c) h′(x) = −2e−2x + 3
d) k′(x) = e−x + (x+1)(−e−x) = −x · e−x
b) g′(x) = 2x · eˣ + x² · eˣ = x(x + 2)eˣ
c) h′(x) = −2e−2x + 3
d) k′(x) = e−x + (x+1)(−e−x) = −x · e−x
Exercice 2 — Équations et inéquations
Résoudre dans ℝ :
- a) e2x−1 = e3
- b) ex² = e4
- c) eˣ > e2x−3
- d) e2x − 3eˣ + 2 = 0 (poser X = eˣ)
a) 2x − 1 = 3 ⟺ x = 2
b) x² = 4 ⟺ x = ±2 → S = {−2 ; 2}
c) x > 2x − 3 ⟺ x < 3 → S = ]−∞ ; 3[
d) Posons X = eˣ > 0 : X² − 3X + 2 = 0 ⟺ (X−1)(X−2) = 0
X = 1 ⟺ x = 0 · X = 2 ⟺ x = ln 2 → S = {0 ; ln 2}
b) x² = 4 ⟺ x = ±2 → S = {−2 ; 2}
c) x > 2x − 3 ⟺ x < 3 → S = ]−∞ ; 3[
d) Posons X = eˣ > 0 : X² − 3X + 2 = 0 ⟺ (X−1)(X−2) = 0
X = 1 ⟺ x = 0 · X = 2 ⟺ x = ln 2 → S = {0 ; ln 2}
Exercice 3 — Étude complète de f(x) = (x − 1)eˣ
- a) Calculer f′(x) et étudier son signe.
- b) Dresser le tableau de variations de f.
- c) Calculer limx→−∞ f(x) et limx→+∞ f(x).
- d) Calculer f(0) et f(1). Que remarques-tu ?
a) f′(x) = eˣ + (x−1)eˣ = x · eˣ
f′ < 0 si x < 0 · f′ = 0 si x = 0 · f′ > 0 si x > 0
b) f(0) = (0−1)·1 = −1 → minimum en x = 0 : f(0) = −1
Tableau : −∞ → f décroît → −1 en x=0 → f croît → +∞
c) limx→+∞ f(x) = +∞
limx→−∞ xeˣ = 0 donc limx→−∞ f(x) = 0
d) f(0) = −1 · f(1) = 0·e = 0 → la courbe coupe l'axe des x en x = 1.
f′ < 0 si x < 0 · f′ = 0 si x = 0 · f′ > 0 si x > 0
b) f(0) = (0−1)·1 = −1 → minimum en x = 0 : f(0) = −1
Tableau : −∞ → f décroît → −1 en x=0 → f croît → +∞
c) limx→+∞ f(x) = +∞
limx→−∞ xeˣ = 0 donc limx→−∞ f(x) = 0
d) f(0) = −1 · f(1) = 0·e = 0 → la courbe coupe l'axe des x en x = 1.
À retenir — La fonction exponentielle eˣ
- Unique fonction vérifiant f′ = f et f(0) = 1.
- Toujours positif : ex > 0 pour tout x ∈ ℝ.
- Strictement croissante sur ℝ : ea < eb ⟺ a < b.
- Dérivée composée : (eu)′ = u′ · eu.
- Limites : lim+∞ eˣ = +∞ et lim−∞ eˣ = 0 (asymptote y = 0).
- Algèbre : ea+b = ea·eb · e−x = 1/eˣ · e0 = 1.
- Équation : eu = ev ⟺ u = v.