I. Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient.
.png)
Nerveux explique : Imagine une citerne d'eau à Ouagadougou qui se vide.
Le débit de fuite dépend du niveau d'eau dans la citerne. Donc la vitesse de variation
du niveau dépend du niveau lui-même — c'est exactement ça une équation différentielle :
une relation entre une quantité et sa propre vitesse de changement !
Les ED modélisent la croissance démographique, la propagation des maladies, les circuits électriques…
Définition
Une équation différentielle (ED) d'ordre \(n\) est une relation de la forme : \[F\!\left(x,\, y,\, y',\, y'',\, \ldots,\, y^{(n)}\right) = 0\] où \(y\) est la fonction inconnue et \(y^{(k)}\) sa dérivée d'ordre \(k\).
Ordre d'une ED = ordre de la dérivée la plus haute qui apparaît. Au programme de Terminale : ordre 1 et ordre 2.
Solution générale
Famille de fonctions avec constante(s) \(C\)
Contient toutes les solutions de l'ED.
Solution particulière
Une fonction précise vérifiant une condition initiale
On détermine \(C\) grâce à une condition \(y(x_0) = y_0\).
Condition initiale
\(y(x_0) = y_0\) ou \(y'(x_0) = v_0\)
Permet d'isoler une solution unique parmi toutes.
Vérification
Substituer \(y\) et \(y'\) dans l'ED
La solution est correcte si l'équation est satisfaite.
II. Équations différentielles du premier ordre
Une ED du premier ordre ne fait intervenir que \(y\) et \(y'\). Nous étudions deux familles fondamentales : les équations à variables séparables et les équations linéaires du premier ordre.
A — Équation y' = ay (à variables séparables, cas exponentiel)
\[y' = ay \quad (a \in \mathbb{R},\; a \neq 0)\]
Solution générale : \(y(x) = C\,e^{ax}\), où \(C \in \mathbb{R}\) est une constante arbitraire.
Pourquoi \(Ce^{ax}\) ? Si \(y = Ce^{ax}\), alors \(y' = Ca\,e^{ax} = a \cdot Ce^{ax} = ay\). ✓
L'exponentielle est la seule fonction (à une constante multiplicative près) égale à sa propre dérivée fois un scalaire.
Exemple 1 — Résolution de y' = 3y
Résoudre y' = 3y, puis trouver la solution vérifiant y(0) = 2.
Solution générale : \(y(x) = Ce^{3x}\), \(C \in \mathbb{R}\).
Condition initiale : \(y(0) = 2\)
\(Ce^{3 \times 0} = 2 \Rightarrow C \cdot 1 = 2 \Rightarrow C = 2\)
Solution particulière : \(\boxed{y(x) = 2e^{3x}}\)
B — Équation y' = ay + b (linéaire du premier ordre avec second membre constant)
\[y' = ay + b \quad (a \neq 0,\; b \in \mathbb{R})\]
Solution générale : \(y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\), où \(C \in \mathbb{R}\).
Méthode : On cherche d'abord une solution particulière constante \(y_p\) (telle que \(y' = 0\)),
donc \(0 = ay_p + b \Rightarrow y_p = -\frac{b}{a}\).
Puis la solution générale est : \(y = \underbrace{Ce^{ax}}_{\text{sol. homogène}} + \underbrace{y_p}_{\text{sol. particulière}}\).
Exemple 2 — Résolution de y' = 2y + 6
Résoudre y' = 2y + 6, puis trouver la solution vérifiant y(0) = 1.
Équation homogène associée : \(y' = 2y\) → solution : \(Ce^{2x}\)
Solution particulière constante : \(0 = 2y_p + 6 \Rightarrow y_p = -3\)
Solution générale : \(y(x) = Ce^{2x} - 3\)
Condition initiale : \(y(0) = 1\)
\(C e^0 - 3 = 1 \Rightarrow C - 3 = 1 \Rightarrow C = 4\)
Solution particulière : \(\boxed{y(x) = 4e^{2x} - 3}\)
C — Méthode générale de séparation des variables
Quand l'équation est de la forme \(y' = f(x) \cdot g(y)\), on peut séparer les variables : mettre tout ce qui dépend de \(y\) d'un côté et tout ce qui dépend de \(x\) de l'autre, puis intégrer.
1
Réécrire l'équation sous la forme \(\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx\).
2
Intégrer des deux côtés : \(\displaystyle\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C\).
3
Exprimer \(y\) en fonction de \(x\) si possible.
4
Appliquer la condition initiale pour déterminer \(C\).
Exemple 3 — Séparation des variables
Résoudre \(y' = x \cdot y\), avec \(y(0) = 3\) et \(y > 0\).
On sépare : \(\dfrac{dy}{y} = x\,dx\)
On intègre : \(\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + K\) (K constante)
Donc \(|y| = e^K \cdot e^{x^2/2}\), soit \(y = Ce^{x^2/2}\) avec \(C = \pm e^K\)
Condition initiale : \(y(0) = Ce^0 = C = 3\)
Solution particulière : \(\boxed{y(x) = 3e^{x^2/2}}\)
III. Équations différentielles du second ordre
Une ED du second ordre fait intervenir \(y\), \(y'\) et \(y''\). Nous nous concentrons sur les équations linéaires du second ordre à coefficients constants, de la forme \(ay'' + by' + cy = d\).
\[ay'' + by' + cy = 0 \quad \text{(équation homogène)}\]
On résout via l'équation caractéristique : \(ar^2 + br + c = 0\)
Résolution selon le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\)
Cas 1 : \(\Delta > 0\)
Deux racines réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\)
\(ar^2+br+c=0\)
\(y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)
2 constantes à déterminer via 2 conditions.
Cas 2 : \(\Delta = 0\)
Une racine double \(r_0 = -\dfrac{b}{2a}\)
\(r_0\) racine double
\(y = (C_1 + C_2 x)\,e^{r_0 x}\)
Le terme \(x\) apparaît quand la racine est double.
Cas 3 : \(\Delta < 0\)
Deux racines complexes \(\alpha \pm i\beta\)
\(r = \alpha \pm i\beta\)
\(y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)\)
Solution oscillante (sinusoïde amortie).
Cas spécial : \(a=0\)
Retombe sur une ED d'ordre 1
\(by' + cy = 0\)
\(y = Ce^{-c/b \cdot x}\)
Vérifier que \(b \neq 0\).
Exemple 4 — ED du 2nd ordre, \(\Delta > 0\)
Résoudre \(y'' - 5y' + 6y = 0\).
Équation caractéristique : \(r^2 - 5r + 6 = 0\)
\(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\) → deux racines réelles
\(r_1 = \dfrac{5+1}{2} = 3 \quad;\quad r_2 = \dfrac{5-1}{2} = 2\)
\(\boxed{y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x}}\), avec \(C_1, C_2 \in \mathbb{R}\)
Exemple 5 — ED du 2nd ordre, \(\Delta = 0\)
Résoudre \(y'' - 4y' + 4y = 0\).
Équation caractéristique : \(r^2 - 4r + 4 = 0\)
\(\Delta = 16 - 16 = 0\) → racine double
\(r_0 = \dfrac{4}{2} = 2\)
\(\boxed{y(x) = (C_1 + C_2 x)\,e^{2x}}\), avec \(C_1, C_2 \in \mathbb{R}\)
Exemple 6 — ED du 2nd ordre avec conditions initiales
Résoudre \(y'' - 3y' + 2y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\).
Équation caractéristique : \(r^2 - 3r + 2 = 0 = (r-1)(r-2)\)
\(r_1 = 1,\quad r_2 = 2\)
Solution générale : \(y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}\)
Dérivée : \(y' = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x}\)
\(y(0) = 1 \Rightarrow C_1 + C_2 = 1\)
\(y'(0) = 0 \Rightarrow C_1 + 2C_2 = 0\)
\(y'(0) = 0 \Rightarrow C_1 + 2C_2 = 0\)
Soustraction : \(C_2 = -1\), donc \(C_1 = 2\)
\(\boxed{y(x) = 2e^x - e^{2x}}\)
IV. Équation avec second membre non nul
Quand l'équation est \(ay'' + by' + cy = d\) avec \(d \neq 0\), on cherche une solution particulière \(y_p\) de l'équation complète, puis on additionne la solution générale de l'équation homogène.
\[y_{\text{générale}} = y_{\text{homogène}} + y_{\text{particulière}}\]
Si le second membre est constant \(d\), chercher \(y_p\) constante : \(cy_p = d \Rightarrow y_p = \dfrac{d}{c}\) (si \(c \neq 0\)).
Exemple 7 — ED du 1er ordre avec second membre
Résoudre \(y' - 2y = 4\), avec \(y(0) = 0\).
Homogène : \(y' - 2y = 0 \Rightarrow y_h = Ce^{2x}\)
Sol. particulière constante : \(-2y_p = 4 \Rightarrow y_p = -2\)
Solution générale : \(y = Ce^{2x} - 2\)
Condition initiale : \(y(0) = C - 2 = 0 \Rightarrow C = 2\)
Solution particulière : \(\boxed{y(x) = 2e^{2x} - 2}\)
V. Applications concrètes
Application 1 — Croissance démographique (Burkina Faso)
La population d'un village du Sahel croît à un taux proportionnel à sa taille.
En 2020, la population est de 3 000 habitants et croît à 2 % par an.
Modéliser et prévoir la population en 2030.
Soit \(P(t)\) la population au temps \(t\) (en années après 2020).
Le modèle est : \(P'(t) = 0{,}02 \cdot P(t)\), soit \(P' = 0{,}02\,P\)
C'est une ED de type \(y' = ay\) avec \(a = 0{,}02\).
Solution générale : \(P(t) = C e^{0{,}02t}\)
Condition initiale : \(P(0) = 3000 \Rightarrow C = 3000\)
Solution : \(P(t) = 3000\,e^{0{,}02t}\)
En 2030 (\(t = 10\)) : \(P(10) = 3000\,e^{0{,}2} \approx 3000 \times 1{,}221 \approx \mathbf{3\,663}\) habitants.
La population atteindra environ 3 663 habitants en 2030.
Application 2 — Refroidissement d'un plat (loi de Newton)
Un plat de tô sort du feu à 90 °C. La température ambiante est 25 °C.
La loi de Newton donne : \(T'(t) = -k(T - 25)\), avec \(k = 0{,}1\) min⁻¹.
À quelle heure la température atteint-elle 40 °C ?
Posons \(u(t) = T(t) - 25\). Alors \(u'(t) = T'(t) = -k\,u(t)\).
ED : \(u' = -0{,}1\,u\) → solution : \(u(t) = Ce^{-0{,}1t}\)
Condition initiale : \(T(0) = 90 \Rightarrow u(0) = 65 \Rightarrow C = 65\)
Donc \(T(t) = 25 + 65\,e^{-0{,}1t}\)
Quand \(T = 40\) ? \(25 + 65e^{-0{,}1t} = 40 \Rightarrow e^{-0{,}1t} = \dfrac{15}{65} = \dfrac{3}{13}\)
\(-0{,}1t = \ln\!\left(\dfrac{3}{13}\right) \Rightarrow t = -10\ln\!\left(\dfrac{3}{13}\right) \approx 14{,}6\) min
Le plat atteint 40 °C après environ 14,6 minutes.
Exploration interactive — Desmos
Trace \(y = Ce^{ax}\) et fais varier \(a\) et \(C\) pour visualiser les solutions
Exercices d'application
Exercice 1 — Résolution d'une ED du premier ordre
Résoudre les équations différentielles suivantes :
- a) \(y' = -4y\)
- b) \(y' = 5y + 10\)
- c) \(y' = 3y\) avec \(y(0) = -2\)
a) \(y' = -4y\) → \(y(x) = Ce^{-4x}\), \(C \in \mathbb{R}\)
b) \(y' = 5y + 10\) :
• Homogène : \(y_h = Ce^{5x}\)
• Sol. particulière : \(0 = 5y_p + 10 \Rightarrow y_p = -2\)
• \(y(x) = Ce^{5x} - 2\)
c) \(y' = 3y\) → sol. générale \(y = Ce^{3x}\)
Condition : \(y(0) = C = -2\)
→ \(y(x) = -2e^{3x}\)
b) \(y' = 5y + 10\) :
• Homogène : \(y_h = Ce^{5x}\)
• Sol. particulière : \(0 = 5y_p + 10 \Rightarrow y_p = -2\)
• \(y(x) = Ce^{5x} - 2\)
c) \(y' = 3y\) → sol. générale \(y = Ce^{3x}\)
Condition : \(y(0) = C = -2\)
→ \(y(x) = -2e^{3x}\)
Exercice 2 — Séparation des variables
Résoudre \(y' = -2xy\) avec \(y(0) = 5\) et \(y > 0\).
On sépare : \(\dfrac{dy}{y} = -2x\,dx\)
On intègre : \(\ln|y| = -x^2 + K\)
Donc : \(y = Ce^{-x^2}\)
Condition initiale : \(y(0) = C = 5\)
Solution : \(y(x) = 5e^{-x^2}\)
On intègre : \(\ln|y| = -x^2 + K\)
Donc : \(y = Ce^{-x^2}\)
Condition initiale : \(y(0) = C = 5\)
Solution : \(y(x) = 5e^{-x^2}\)
Exercice 3 — ED du second ordre
Résoudre les équations différentielles suivantes :
- a) \(y'' - y' - 6y = 0\)
- b) \(y'' - 6y' + 9y = 0\)
- c) \(y'' + 4y' + 3y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y'(0) = -2\)
a) Équation caractéristique : \(r^2 - r - 6 = 0\)
\(\Delta = 1 + 24 = 25\) → \(r_1 = 3\), \(r_2 = -2\)
\(y = C_1e^{3x} + C_2e^{-2x}\)
b) Équation caractéristique : \(r^2 - 6r + 9 = 0\)
\(\Delta = 36 - 36 = 0\) → racine double \(r_0 = 3\)
\(y = (C_1 + C_2 x)e^{3x}\)
c) Équation caractéristique : \(r^2 + 4r + 3 = (r+1)(r+3) = 0\)
\(r_1 = -1\), \(r_2 = -3\)
Solution générale : \(y = C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}\)
Dérivée : \(y' = -C_1e^{-x} - 3C_2e^{-3x}\)
Conditions : \(C_1 + C_2 = 2\) et \(-C_1 - 3C_2 = -2\)
On résout : \(C_1 = 2\), \(C_2 = 0\)
\(y(x) = 2e^{-x}\)
\(\Delta = 1 + 24 = 25\) → \(r_1 = 3\), \(r_2 = -2\)
\(y = C_1e^{3x} + C_2e^{-2x}\)
b) Équation caractéristique : \(r^2 - 6r + 9 = 0\)
\(\Delta = 36 - 36 = 0\) → racine double \(r_0 = 3\)
\(y = (C_1 + C_2 x)e^{3x}\)
c) Équation caractéristique : \(r^2 + 4r + 3 = (r+1)(r+3) = 0\)
\(r_1 = -1\), \(r_2 = -3\)
Solution générale : \(y = C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}\)
Dérivée : \(y' = -C_1e^{-x} - 3C_2e^{-3x}\)
Conditions : \(C_1 + C_2 = 2\) et \(-C_1 - 3C_2 = -2\)
On résout : \(C_1 = 2\), \(C_2 = 0\)
\(y(x) = 2e^{-x}\)
Exercice 4 — Application : décharge d'une batterie solaire ⭐
Dans un village de la province du Ganzourgou, une batterie solaire se décharge selon la loi : \[Q'(t) = -0{,}05\,Q(t)\] où \(Q(t)\) est la charge (en Ah) à l'instant \(t\) (en heures). À \(t = 0\), la batterie est pleine : \(Q(0) = 200\) Ah.
- a) Résoudre l'équation différentielle.
- b) Quelle est la charge restante après 10 heures ?
- c) Au bout de combien d'heures la batterie est-elle à moitié chargée ?
a) \(Q'= -0{,}05Q\) est une ED de type \(y' = ay\) avec \(a = -0{,}05\).
Solution générale : \(Q(t) = Ce^{-0{,}05t}\)
Condition initiale : \(Q(0) = C = 200\)
Solution : \(Q(t) = 200\,e^{-0{,}05t}\)
b) À \(t = 10\) :
\(Q(10) = 200\,e^{-0{,}5} \approx 200 \times 0{,}6065 \approx \mathbf{121{,}3}\) Ah
c) On cherche \(t\) tel que \(Q(t) = 100\) :
\(200\,e^{-0{,}05t} = 100 \Rightarrow e^{-0{,}05t} = 0{,}5\)
\(-0{,}05t = \ln(0{,}5) = -\ln 2\)
\(t = \dfrac{\ln 2}{0{,}05} = 20\ln 2 \approx \mathbf{13{,}9}\) heures
Solution générale : \(Q(t) = Ce^{-0{,}05t}\)
Condition initiale : \(Q(0) = C = 200\)
Solution : \(Q(t) = 200\,e^{-0{,}05t}\)
b) À \(t = 10\) :
\(Q(10) = 200\,e^{-0{,}5} \approx 200 \times 0{,}6065 \approx \mathbf{121{,}3}\) Ah
c) On cherche \(t\) tel que \(Q(t) = 100\) :
\(200\,e^{-0{,}05t} = 100 \Rightarrow e^{-0{,}05t} = 0{,}5\)
\(-0{,}05t = \ln(0{,}5) = -\ln 2\)
\(t = \dfrac{\ln 2}{0{,}05} = 20\ln 2 \approx \mathbf{13{,}9}\) heures
Exercice 5 — Vérification de solution
Vérifier que la fonction \(y(x) = e^x + 2e^{-2x}\) est solution de l'équation différentielle \(y'' + y' - 2y = 0\), puis identifier les constantes \(C_1\) et \(C_2\) de la solution générale.
Calcul des dérivées :
\(y = e^x + 2e^{-2x}\)
\(y' = e^x - 4e^{-2x}\)
\(y'' = e^x + 8e^{-2x}\)
Vérification :
\(y'' + y' - 2y = (e^x + 8e^{-2x}) + (e^x - 4e^{-2x}) - 2(e^x + 2e^{-2x})\)
\(= e^x(1+1-2) + e^{-2x}(8-4-4) = 0 + 0 = 0\) ✓
Équation caractéristique : \(r^2 + r - 2 = (r+2)(r-1) = 0\)
\(r_1 = 1,\; r_2 = -2\) → sol. générale : \(y = C_1e^x + C_2e^{-2x}\)
La fonction donnée correspond à \(C_1 = 1\) et \(C_2 = 2\).
\(y = e^x + 2e^{-2x}\)
\(y' = e^x - 4e^{-2x}\)
\(y'' = e^x + 8e^{-2x}\)
Vérification :
\(y'' + y' - 2y = (e^x + 8e^{-2x}) + (e^x - 4e^{-2x}) - 2(e^x + 2e^{-2x})\)
\(= e^x(1+1-2) + e^{-2x}(8-4-4) = 0 + 0 = 0\) ✓
Équation caractéristique : \(r^2 + r - 2 = (r+2)(r-1) = 0\)
\(r_1 = 1,\; r_2 = -2\) → sol. générale : \(y = C_1e^x + C_2e^{-2x}\)
La fonction donnée correspond à \(C_1 = 1\) et \(C_2 = 2\).
À retenir — Équations différentielles
- Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées. L'ordre = ordre de la dérivée la plus haute.
- \(y' = ay\) → solution générale : \(y = Ce^{ax}\).
- \(y' = ay + b\) → solution générale : \(y = Ce^{ax} - \tfrac{b}{a}\).
- Pour l'ordre 2 homogène \(ay'' + by' + cy = 0\), on résout \(ar^2 + br + c = 0\) :
- \(\Delta > 0\) : \(y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\)
- \(\Delta = 0\) : \(y = (C_1 + C_2x)e^{r_0x}\)
- La solution particulière s'obtient en appliquant les conditions initiales pour trouver \(C\).
- Les ED modélisent : croissance démographique, refroidissement, circuits, cinétique chimique…
🏆
Module IV — Terminé !
Tu as maîtrisé les 7 leçons du module Équations et Inéquations.
Ces outils sont fondamentaux pour tous les modules qui suivent.
L1 — Équations du 1er degré
L2 — Équations du 2nd degré
L3 — Systèmes d'équations
L4 — Inéquations du 1er degré
L5 — Tableaux de signes
L6 — Inéquations avec valeur absolue
L7 — Équations irrationnelles et trigonométriques
L8 — Équations différentielle ✓