Leçon 4 — Somme des termes d'une suite arithmétique

Notation sigma, formules de la somme, cas particuliers fondamentaux et applications

I. La notation sigma — écriture compacte d'une somme

Avant d'étudier les formules, il est essentiel de maîtriser la notation sigma \(\sum\), qui permet d'écrire de façon compacte la somme d'un grand nombre de termes. C'est une notation universelle en mathématiques.

\(\displaystyle\sum_{k=p}^{q} u_k \;=\; u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q\) \(k\) est l'indice de sommation — il parcourt tous les entiers de \(p\) à \(q\) inclus

La lettre \(k\) est un indice muet : on aurait exactement la même somme en écrivant \(\sum_{i=p}^{q} u_i\) ou \(\sum_{j=p}^{q} u_j\). Le nombre de termes dans la somme est \(q - p + 1\) — attention, pas \(q - p\).

🔍 Propriétés de la notation sigma

La notation sigma obéit à des règles algébriques importantes :

Linéarité : \(\displaystyle\sum_{k=p}^{q}(\lambda u_k + \mu v_k) = \lambda\sum_{k=p}^{q} u_k + \mu\sum_{k=p}^{q} v_k\)

Relation de Chasles : \(\displaystyle\sum_{k=p}^{q} u_k = \sum_{k=p}^{m} u_k + \sum_{k=m+1}^{q} u_k\) pour tout \(p \leq m < q\)

Somme d'une constante : \(\displaystyle\sum_{k=p}^{q} c = c(q-p+1)\)

Ces propriétés permettent de décomposer des sommes complexes en sommes plus simples.

Nerveux explique : Imagine que tu veuilles calculer la recette totale d'un vendeur de chapeaux de Saponé sur 52 semaines. Si le prix la semaine \(k\) est \(u_k\), la recette totale est \(\sum_{k=1}^{52} u_k\). Sans la notation sigma, tu écrirais \(u_1 + u_2 + \cdots + u_{52}\) — c'est long et imprécis. Avec sigma, c'est compact, précis, et universellement compris. Tous les mathématiciens du monde lisent \(\sum_{k=1}^{52} u_k\) exactement de la même façon. C'est ça la puissance d'une bonne notation.

\(\sum\)→Sigma (lettre grecque)

\(k = p\)→Borne inférieure

\(q\)→Borne supérieure

\(q-p+1\)→Nombre de termes

II. Rappel — formule de la somme arithmétique

On a établi en Leçon 2 la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique. On la rappelle ici dans sa forme la plus générale et on l'enrichit de ses formes équivalentes.

\[S_{p \to q} = \sum_{k=p}^{q} u_k = \frac{(q - p + 1)(u_p + u_q)}{2}\] Nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier terme

En substituant \(u_p\) et \(u_q\) par leurs expressions en fonction de \(u_0\), \(r\) et les indices, on obtient une forme entièrement exprimée en \(u_0\), \(r\), \(p\) et \(q\) :

📐 Formes équivalentes de la formule

On part de \(S = \dfrac{(q-p+1)(u_p + u_q)}{2}\) et on substitue \(u_p = u_0 + pr\) et \(u_q = u_0 + qr\) :

\(u_p + u_q = (u_0 + pr) + (u_0 + qr) = 2u_0 + (p+q)r\)

\(S = \dfrac{(q-p+1)\bigl[2u_0 + (p+q)r\bigr]}{2}\)

Cas particulier le plus fréquent — somme des \((n+1)\) premiers termes, de \(u_0\) à \(u_n\) :

\(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = \dfrac{(n+1)(2u_0 + nr)}{2}\)

Piège fréquent — compter le nombre de termes : La somme \(u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q\) contient \(q - p + 1\) termes, pas \(q - p\). Par exemple, \(u_3 + u_4 + u_5\) contient \(5 - 3 + 1 = 3\) termes. Toujours vérifier avant d'appliquer la formule.

III. Cas particuliers fondamentaux

Plusieurs sommes arithmétiques reviennent si souvent qu'il est indispensable de les connaître par cœur. Ces formules sont aussi dérivables à partir de la formule générale, mais les retrouver rapidement fait gagner un temps précieux.

Σ des entiers

\[\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\]

Suite \(u_k = k\), raison 1. Ex : \(1+2+\cdots+100 = 5050\).

Σ des entiers pairs

\[\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)\]

\(2 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1)\). Suite de raison 2.

Σ des entiers impairs

\[\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = n^2\]

\(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2\). Toujours un carré !

Σ de 0 à \(n\) d'une constante

\[\sum_{k=0}^{n} c = c(n+1)\]

Une suite constante \(u_k = c\) a pour somme \(c \times \text{nb de termes}\).

📐 Preuve visuelle — les impairs font des carrés

Le résultat \(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2\) a une preuve géométrique magnifique.

On peut disposer les entiers impairs en "couches" autour d'un carré :

\(n=1\) : un seul point → \(1 = 1^2\)

\(n=2\) : ajouter 3 points autour → \(1 + 3 = 4 = 2^2\)

\(n=3\) : ajouter 5 points autour → \(1 + 3 + 5 = 9 = 3^2\)

Chaque entier impair \(2k-1\) correspond à une couche de \(2k-1\) points formant le "L" extérieur d'un carré de côté \(k\). La somme des \(n\) premières couches donne exactement le carré de côté \(n\).

IV. Visualisation géométrique de la somme

La preuve de Gauss peut se visualiser directement : la somme d'une suite arithmétique est l'aire d'un trapèze dont les deux bases sont \(u_p\) et \(u_q\) et la hauteur est le nombre de termes. Le SVG ci-dessous illustre la ruse de Gauss pour \(u_n = 2n+1\).

La ruse de Gauss : \(S = u_1+\cdots+u_5 = \frac{5 \times (3+11)}{2} = \frac{5 \times 14}{2} = 35\)

V. Méthode de calcul — étapes systématiques

Face à un calcul de somme arithmétique, on suit toujours ces étapes dans l'ordre. Un oubli à l'une d'elles est la source des erreurs les plus courantes.

Identifier que la suite est bien arithmétique et relever \(u_0\) (ou \(u_1\)) et la raison \(r\).
Déterminer les bornes \(p\) et \(q\) de la somme, puis calculer le nombre de termes \(N = q - p + 1\).
Calculer \(u_p\) et \(u_q\) en utilisant la formule du terme général.
Appliquer la formule \(S = \dfrac{N \times (u_p + u_q)}{2}\).
Vérifier le résultat par une estimation d'ordre de grandeur : la somme doit être environ \(N \times \bar{u}\) où \(\bar{u}\) est la moyenne des termes.

VI. Exemples travaillés

Exemple 1 — Somme directe avec sigma

Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100} (3k - 1)\).

On utilise la linéarité de sigma :

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{100}(3k-1) = 3\sum_{k=1}^{100} k - \sum_{k=1}^{100} 1 = 3 \times \frac{100 \times 101}{2} - 100\)

\(= 3 \times 5050 - 100 = 15150 - 100 = 15050\)

Vérification : \(u_1 = 2\), \(u_{100} = 299\), \(N = 100\). \(S = \frac{100(2+299)}{2} = \frac{100 \times 301}{2} = 15050\) ✓

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{100}(3k-1) = 15050\)

Exemple 2 — Somme à bornes non standard

Calculer \(S = u_{10} + u_{11} + \cdots + u_{50}\) pour la suite \(u_n = 4n + 3\).

Nombre de termes : \(N = 50 - 10 + 1 = 41\).

Premier et dernier termes :

\(u_{10} = 4(10) + 3 = 43\)

\(u_{50} = 4(50) + 3 = 203\)

Application de la formule :

\(S = \dfrac{41 \times (43 + 203)}{2} = \dfrac{41 \times 246}{2} = \dfrac{10086}{2} = 5043\)

Vérification : Moyenne des termes \(\approx \frac{43+203}{2} = 123\). Estimation : \(41 \times 123 = 5043\) ✓

\(S = u_{10} + \cdots + u_{50} = 5043\)

Exemple 3 — Trouver \(n\) tel que la somme atteint une valeur cible

Pour quelle valeur de \(n\) a-t-on \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = 210\) ?

On applique la formule : \(\dfrac{n(n+1)}{2} = 210\).

\(n(n+1) = 420\)

\(n^2 + n - 420 = 0\)

Discriminant : \(\Delta = 1 + 1680 = 1681 = 41^2\).

\(n = \dfrac{-1 + 41}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\) (on rejette la solution négative)

Vérification : \(\dfrac{20 \times 21}{2} = \dfrac{420}{2} = 210\) ✓

\(1 + 2 + \cdots + 20 = 210\), donc \(n = 20\).

Exemple 4 — Somme d'une suite arithmétique quelconque via la relation de Chasles

Calculer \(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{30} u_k - \sum_{k=0}^{9} u_k\) pour \(u_n = 5n + 2\).

Par la relation de Chasles : \(S = \displaystyle\sum_{k=10}^{30} u_k\).

Nombre de termes : \(N = 30 - 10 + 1 = 21\).

\(u_{10} = 5(10)+2 = 52\) ; \(u_{30} = 5(30)+2 = 152\)

\(S = \dfrac{21(52+152)}{2} = \dfrac{21 \times 204}{2} = \dfrac{4284}{2} = 2142\)

\(\displaystyle\sum_{k=10}^{30}(5k+2) = 2142\)

VII. Application concrète — Situations réelles ⭐

⭐ Situation concrète Remboursement de prêt — commerçant de Banfora

Un commerçant de Banfora contracte un prêt et décide de rembourser de façon progressive. Il rembourse 8 000 FCFA le premier mois, et augmente son remboursement de 1 500 FCFA chaque mois.

a) Exprimer \(u_n\) (remboursement au mois \(n\)) et vérifier que c'est bien arithmétique.
b) Calculer le remboursement total \(S_{24}\) sur les 24 premiers mois en utilisant la formule.
c) Si le montant du prêt est de 900 000 FCFA, déterminer \(n\) le nombre de mois nécessaires pour rembourser entièrement. On résoudra l'inéquation \(S_n \geq 900\,000\).

Exemple 5 — Remboursement à Banfora

a) \(u_1 = 8\,000\), raison \(r = 1\,500\). \(u_n = 8\,000 + (n-1) \times 1\,500 = 6\,500 + 1\,500n\).

\(u_{n+1} - u_n = 1\,500\) constant → suite arithmétique ✓

b) \(u_{24} = 6\,500 + 1\,500 \times 24 = 6\,500 + 36\,000 = 42\,500\) FCFA.

\(S_{24} = \dfrac{24(u_1 + u_{24})}{2} = \dfrac{24(8\,000 + 42\,500)}{2} = \dfrac{24 \times 50\,500}{2} = 12 \times 50\,500 = \mathbf{606\,000}\) FCFA

c) On cherche le plus petit \(n\) entier tel que \(S_n \geq 900\,000\).

\(S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n(8000 + 6500 + 1500n)}{2} = \dfrac{n(14500 + 1500n)}{2}\)

\(\dfrac{n(14500 + 1500n)}{2} \geq 900\,000 \implies n(14500 + 1500n) \geq 1\,800\,000\)

\(1500n^2 + 14500n - 1\,800\,000 \geq 0\)

On divise par 500 : \(3n^2 + 29n - 3600 \geq 0\).

On résout \(3n^2 + 29n - 3600 = 0\) : \(\Delta = 841 + 43200 = 44041 = 209{,}86^2\ldots\) Calculons : \(\Delta = 29^2 + 4 \times 3 \times 3600 = 841 + 43200 = 44041\). \(\sqrt{44041} \approx 209{,}86\).

\(n = \dfrac{-29 + 209{,}86}{6} \approx \dfrac{180{,}86}{6} \approx 30{,}14\)

Donc \(n \geq 31\). Vérification :

\(S_{31} = \dfrac{31(8000 + 6500 + 1500 \times 31)}{2} = \dfrac{31 \times 61000}{2} = 31 \times 30500 = 945\,500 \geq 900\,000\) ✓

\(S_{30} = \dfrac{30(8000 + 51500)}{2} = 15 \times 59500 = 892\,500 < 900\,000\) ✓

\(S_{24} = \mathbf{606\,000}\) FCFA | Le prêt est remboursé en 31 mois.

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Calcul direct

Calculer les sommes suivantes :

a) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{50} k\)
b) \(\displaystyle\sum_{k=0}^{20} (2k+3)\)
c) \(7 + 10 + 13 + \cdots + 100\) (suite arithmétique de raison 3)

a) \(\dfrac{50 \times 51}{2} = \mathbf{1275}\)

b) \(u_0=3\), \(u_{20}=43\), \(N=21\). \(S = \dfrac{21(3+43)}{2} = \dfrac{21 \times 46}{2} = \mathbf{483}\)

c) Suite : \(u_k = 3k+7\). Trouver \(k\) tel que \(u_k=100\) : \(3k+7=100 \implies k=31\). \(N=32\) termes.
\(S = \dfrac{32(7+100)}{2} = 16 \times 107 = \mathbf{1712}\)

Exercice 2 — Notation sigma et linéarité

En utilisant la linéarité de sigma, calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(5k - 3)\) et exprimer le résultat en fonction de \(n\).

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(5k-3) = 5\sum_{k=1}^{n}k - 3\sum_{k=1}^{n}1 = 5 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} - 3n = \dfrac{5n(n+1)}{2} - 3n\)
\(= \dfrac{5n^2+5n-6n}{2} = \dfrac{5n^2-n}{2} = \dfrac{n(5n-1)}{2}\)

Vérification pour \(n=3\) : \(\sum_{k=1}^{3}(5k-3) = 2+7+12 = 21\) ; formule : \(\dfrac{3 \times 14}{2} = 21\) ✓

Exercice 3 — Production de coton SOFITEX

La production annuelle de coton (en milliers de tonnes) d'une coopérative de la région des Hauts-Bassins suit la suite arithmétique \(u_n = 12 + 1{,}5n\) (en milliers de tonnes, \(n\) = années depuis 2010).

a) Calculer la production cumulée de 2010 à 2025 inclus (soit \(n = 0\) à \(n = 15\)).
b) À partir de quelle année la production cumulée depuis 2010 dépasse-t-elle 500 000 tonnes ?

a) \(u_0 = 12\), \(u_{15} = 12+22{,}5 = 34{,}5\), \(N = 16\) termes.
\(S = \dfrac{16(12+34{,}5)}{2} = 8 \times 46{,}5 = \mathbf{372}\) milliers de tonnes = 372 000 tonnes.

b) \(S_n = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2} = \dfrac{(n+1)(12+12+1{,}5n)}{2} = \dfrac{(n+1)(24+1{,}5n)}{2} \geq 500\)
\((n+1)(24+1{,}5n) \geq 1000\)
\(1{,}5n^2 + 25{,}5n + 24 \geq 1000 \implies 1{,}5n^2 + 25{,}5n - 976 \geq 0\)
\(\Delta = 650{,}25 + 5856 = 6506{,}25\). \(\sqrt{6506{,}25} = 80{,}66\).
\(n \geq \dfrac{-25{,}5+80{,}66}{3} \approx \dfrac{55{,}16}{3} \approx 18{,}4\)
À partir de \(n = 19\), soit en 2029. Vérif. : \(S_{19} \approx \frac{20(12+40{,}5)}{2} = 10 \times 52{,}5 = 525 \geq 500\) ✓

Exercice 4 — Carrelage du Musée National

Un artisan carreleur travaille au Musée National du Burkina Faso. Pour couvrir un escalier triangulaire, la première marche nécessite 4 carreaux, la deuxième 7 carreaux, la troisième 10 carreaux, et ainsi de suite en suivant une progression arithmétique.

a) Exprimer \(u_n\) le nombre de carreaux de la \(n\)-ème marche.
b) Combien de carreaux faut-il en tout pour couvrir un escalier de 20 marches ?
c) L'artisan a commandé 1 000 carreaux. Combien de marches peut-il entièrement carreler ?

a) \(u_1 = 4\), \(r = 3\). \(u_n = 4 + 3(n-1) = 3n + 1\).

b) \(u_{20} = 61\). \(S_{20} = \dfrac{20(4+61)}{2} = 10 \times 65 = \mathbf{650}\) carreaux.

c) On cherche le plus grand \(n\) tel que \(S_n \leq 1000\).
\(S_n = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2} = \dfrac{n(4+3n+1)}{2} = \dfrac{n(3n+5)}{2} \leq 1000\)
\(3n^2 + 5n - 2000 \leq 0\).
\(\Delta = 25 + 24000 = 24025 = 155^2\).
\(n \leq \dfrac{-5+155}{6} = \dfrac{150}{6} = 25\)
Vérif. : \(S_{25} = \dfrac{25(76)}{2} = 950 \leq 1000\) ✓ \(S_{26} = \dfrac{26(79+4)}{2} = \dfrac{26 \times 83}{2} = 1079 > 1000\) ✓
L'artisan peut carreler 25 marches entièrement.

Exercice 5 — Épargne progressive à Koudougou ⭐

Aminata, étudiante à Koudougou, décide d'épargner de façon progressive. Le premier mois elle met de côté 5 000 FCFA, et chaque mois suivant elle augmente son épargne de 500 FCFA.

a) Exprimer \(u_n\) (épargne du mois \(n\)) et \(S_n\) (épargne cumulée après \(n\) mois).
b) Calculer \(S_{12}\) (épargne après 1 an) et \(S_{36}\) (après 3 ans).
c) Après combien de mois l'épargne cumulée d'Aminata dépasse-t-elle 200 000 FCFA ?
d) À partir du 13ème mois, Aminata double son taux d'augmentation mensuelle (1 000 FCFA au lieu de 500 FCFA). Exprimer la nouvelle suite \(v_k\) (pour \(k \geq 1\), \(k\) mois après le 12ème) et calculer l'épargne cumulée sur les 24 mois supplémentaires (du mois 13 au mois 36).

a) \(u_1=5000\), \(r=500\). \(u_n = 5000+(n-1)\times 500 = 4500+500n\).
\(S_n = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2} = \dfrac{n(5000+4500+500n)}{2} = \dfrac{n(9500+500n)}{2} = 250n^2 + 4750n\)

b) \(S_{12} = 250(144)+4750(12) = 36000+57000 = \mathbf{93\,000}\) FCFA
\(S_{36} = 250(1296)+4750(36) = 324\,000+171\,000 = \mathbf{495\,000}\) FCFA

c) \(250n^2+4750n \geq 200\,000 \implies n^2+19n-800 \geq 0\)
\(\Delta = 361+3200 = 3561\). \(\sqrt{3561} \approx 59{,}67\).
\(n \geq \dfrac{-19+59{,}67}{2} \approx 20{,}3\) → à partir du mois 21.
Vérif. : \(S_{21} = 250(441)+4750(21) = 110\,250+99\,750 = 210\,000 \geq 200\,000\) ✓

d) À partir du mois 13, \(u_{12} = 4500+6000 = 10\,500\) FCFA. Nouvelle raison \(r'=1000\).
\(v_k = 10\,500 + 1000k\) pour \(k = 1, 2, \ldots, 24\).
\(v_{24} = 10\,500+24\,000 = 34\,500\)
Somme des 24 termes : \(\dfrac{24(v_1+v_{24})}{2} = \dfrac{24(11500+34500)}{2} = 12 \times 46000 = \mathbf{552\,000}\) FCFA

À retenir

Notation sigma : \(\displaystyle\sum_{k=p}^{q} u_k = u_p + \cdots + u_q\) — nombre de termes = \(q-p+1\).
Formule principale : \(S = \dfrac{\text{nb termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2}\).
Formule développée : \(S_n = \dfrac{(n+1)(2u_0+nr)}{2}\) pour la somme de \(u_0\) à \(u_n\).
Cas fondamentaux : \(\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\) ; \(\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1) = n^2\).
Linéarité : \(\sum(\lambda u_k + \mu v_k) = \lambda\sum u_k + \mu\sum v_k\).
Chasles : \(\sum_{k=p}^{q} = \sum_{k=p}^{m} + \sum_{k=m+1}^{q}\) — utile pour les bornes non standard.
Méthode : toujours vérifier le nombre de termes \(N = q-p+1\) avant d'appliquer la formule.

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