I. Les suites comme langage de la modélisation
Les suites numériques ne sont pas seulement un objet mathématique abstrait. Elles sont le langage naturel pour décrire tout phénomène discret — qui évolue par étapes successives plutôt que de façon continue. Population d'une ville année par année, capital d'un compte après chaque versement, concentration d'un médicament dans le sang à chaque prise, remboursement mensuel d'un prêt : tous ces phénomènes sont des suites.
La clé de la modélisation est de trouver la relation de récurrence qui traduit comment le système passe d'un état au suivant. Une fois cette relation identifiée, tout l'arsenal des leçons précédentes devient utilisable : terme général, somme, convergence, point fixe.
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II. Application financière — Annuités et capitalisation
Une annuité est un versement périodique constant. Quand on verse régulièrement une somme \(a\) dans un compte rémunéré au taux \(r\) par période, le capital accumulé suit une loi précise combinant suite arithmétique et géométrique.
On verse \(a\) FCFA en début de chaque période dans un compte à taux \(r\). Après \(n\) versements, le capital total vaut :
\[C_n = a \cdot (1+r) \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}\]
Preuve : Le versement de la période \(k\) (pour \(k = 1, \ldots, n\)) est capitalisé pendant \((n-k+1)\) périodes, donc vaut \(a(1+r)^{n-k+1}\) à la fin. Le capital total est \(\sum_{k=1}^{n} a(1+r)^{n-k+1} = a(1+r)\sum_{j=0}^{n-1}(1+r)^j = a(1+r)\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}\).
Kofi verse 25 000 FCFA chaque début de mois pendant 3 ans (36 mois) sur un compte au taux mensuel de 0,4 %.
On a \(a = 25\,000\), \(r = 0{,}004\), \(n = 36\).
\(C_{36} = 25\,000 \times 1{,}004 \times \dfrac{1{,}004^{36}-1}{0{,}004}\)
\(1{,}004^{36} \approx 1{,}1536\)
\(C_{36} \approx 25\,000 \times 1{,}004 \times \dfrac{0{,}1536}{0{,}004} = 25\,100 \times 38{,}4 \approx \mathbf{963\,840}\) FCFA
Kofi a versé \(36 \times 25\,000 = 900\,000\) FCFA. Les intérêts accumulés sont :
\(963\,840 - 900\,000 = \mathbf{63\,840}\) FCFA — soit environ 7 % de gain.
III. Application financière — Remboursement d'emprunt
Quand on rembourse un emprunt par mensualités constantes, le capital restant dû évolue selon une suite récurrente. À chaque période, des intérêts s'ajoutent et la mensualité est soustraite.
Un commerçant de Banfora emprunte 2 000 000 FCFA à un taux mensuel de 1 %. Il rembourse 60 000 FCFA par mois.
Récurrence : \(C_0 = 2\,000\,000\), \(C_{n+1} = 1{,}01 \cdot C_n - 60\,000\).
Point fixe : \(\ell = 1{,}01\ell - 60\,000 \implies -0{,}01\ell = -60\,000 \implies \ell = 6\,000\,000\).
Changement de variable : \(v_n = C_n - 6\,000\,000\) est géométrique de raison \(1{,}01\) :
\(v_{n+1} = C_{n+1}-6\,000\,000 = 1{,}01C_n - 60\,000 - 6\,000\,000 = 1{,}01(C_n - 6\,000\,000) = 1{,}01\,v_n\)
\(v_0 = C_0 - 6\,000\,000 = -4\,000\,000\)
\(v_n = -4\,000\,000 \times 1{,}01^n\)
\(C_n = 6\,000\,000 - 4\,000\,000 \times 1{,}01^n\)
L'emprunt est remboursé quand \(C_n \leq 0\) :
\(6\,000\,000 - 4\,000\,000 \times 1{,}01^n \leq 0 \implies 1{,}01^n \geq 1{,}5\)
\(n \geq \dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}01} \approx \dfrac{0{,}405}{0{,}00995} \approx 40{,}7\)
Le prêt est remboursé en 41 mois.
IV. Application démographique — Modèle de Malthus et modèle logistique
La croissance d'une population peut être modélisée de deux façons. Le modèle de Malthus suppose une croissance proportionnelle (suite géométrique pure), tandis que le modèle logistique intègre une capacité de charge \(K\) — la population maximale que l'environnement peut supporter.
Suite géométrique de raison \(q = 1+\tau\).
Croissance exponentielle illimitée.
Croissance ralentie par la saturation.
Converge vers la capacité de charge \(K\).
La ville de Kaya compte 120 000 habitants en 2020. Le taux de croissance naturelle est \(\tau = 3\,\%\) par an. La capacité de charge estimée de la région est \(K = 500\,000\) habitants.
Modèle de Malthus : \(u_n = 120\,000 \times 1{,}03^n\)
En 2040 (\(n=20\)) : \(u_{20} \approx 120\,000 \times 1{,}806 \approx 216\,700\) hab.
En 2070 (\(n=50\)) : \(u_{50} \approx 120\,000 \times 4{,}384 \approx 526\,100\) hab. (dépasse \(K\) !).
Modèle logistique avec \(r = 0{,}03\) et \(K = 500\,000\) :
\(u_{n+1} = u_n + 0{,}03\,u_n\!\left(1 - \dfrac{u_n}{500\,000}\right)\)
Quand \(u_n\) est petit devant \(K\), le facteur \(\left(1 - \frac{u_n}{K}\right) \approx 1\) et la croissance est presque exponentielle. Quand \(u_n \to K\), le facteur tend vers 0 et la croissance s'arrête. La suite converge vers \(K = 500\,000\) hab. — jamais dépassé.
V. Application algorithmique — Méthode de Newton-Raphson
La méthode de Newton-Raphson est un algorithme itératif pour trouver numériquement les zéros d'une fonction. Elle génère une suite qui converge très rapidement (convergence quadratique) vers la solution.
On veut résoudre \(f(x) = 0\). On part d'une estimation initiale \(x_0\). En \(x_0\), on trace la tangente à la courbe \(y = f(x)\). Cette tangente coupe l'axe des \(x\) en un point \(x_1\) qui est une meilleure approximation de la racine. On recommence avec \(x_1\) pour obtenir \(x_2\), etc. Sous des conditions raisonnables sur \(f\), la convergence est très rapide : le nombre de décimales correctes double à chaque itération.
On cherche \(\sqrt{7}\), racine positive de \(f(x) = x^2 - 7\). On a \(f'(x) = 2x\).
La récurrence de Newton donne :
\(x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^2 - 7}{2x_n} = \dfrac{2x_n^2 - x_n^2 + 7}{2x_n} = \dfrac{x_n^2 + 7}{2x_n} = \dfrac{1}{2}\!\left(x_n + \dfrac{7}{x_n}\right)\)
On reconnaît la moyenne arithmético-géométrique ! On part de \(x_0 = 3\) :
\(x_1 = \dfrac{1}{2}\!\left(3 + \dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{16}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}6\overline{6}\)
\(x_2 = \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{8}{3} + \dfrac{21}{8}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{127}{24} = \dfrac{127}{48} \approx 2{,}6458\overline{3}\)
\(x_3 \approx 2{,}64575...\)
La valeur exacte est \(\sqrt{7} \approx 2{,}6457513\ldots\) — déjà 5 décimales correctes après 3 itérations !
VI. Application écologique — Modèle de déforestation au Sahel
La surface forestière d'une zone du Sahel burkinabè diminue de 5 % par an sous l'effet de la déforestation. En même temps, un programme de reboisement ajoute 500 hectares de nouvelles forêts chaque année. En 2020, la surface est de 15 000 hectares.
- a) Écrire la relation de récurrence et identifier la nature du modèle.
- b) Trouver le point fixe (équilibre) et interpréter biologiquement.
- c) Montrer que si la surface initiale est supérieure à l'équilibre, la suite est décroissante, et si elle est inférieure, elle est croissante.
- d) Vers quelle surface tend le programme à long terme ? La forêt est-elle sauvée ?
a) Récurrence :
\(u_0 = 15\,000\) ha ; \(u_{n+1} = 0{,}95\,u_n + 500\)
C'est une suite affine-linéaire de la forme \(u_{n+1} = q\,u_n + b\) avec \(q = 0{,}95 < 1\).
b) Point fixe :
\(\ell = 0{,}95\ell + 500 \implies 0{,}05\ell = 500 \implies \ell = 10\,000\) ha
C'est la surface d'équilibre : le reboisement compense exactement la déforestation à 10 000 ha. Si la surface est supérieure à 10 000 ha, la déforestation l'emporte ; si elle est inférieure, le reboisement gagne.
c) Monotonie :
\(u_{n+1} - u_n = 0{,}95u_n+500-u_n = 500-0{,}05u_n = 0{,}05(10\,000-u_n)\)
Si \(u_n > 10\,000\) : \(u_{n+1}-u_n < 0\) → décroissante vers l'équilibre. ✓
Si \(u_n < 10\,000\) : \(u_{n+1}-u_n > 0\) → croissante vers l'équilibre. ✓
d) Convergence : \(v_n = u_n - 10\,000\) est géométrique de raison \(0{,}95 < 1\) :
\(v_n = v_0 \times 0{,}95^n = 5\,000 \times 0{,}95^n \to 0\)
\(u_n = 10\,000 + 5\,000 \times 0{,}95^n \to 10\,000\) ha
La surface converge vers 10 000 ha, inférieure aux 15 000 ha actuels. Le programme de reboisement ralentit la déforestation mais ne la stoppe pas complètement — il faudrait planter au moins \(0{,}05 \times 15\,000 = 750\) ha par an pour maintenir la surface actuelle.
✏️ Exercices d'application
Aminata emprunte 500 000 FCFA à un taux mensuel de 1,5 %. Elle rembourse 20 000 FCFA par mois. On note \(C_n\) le capital restant dû.
- a) Écrire la récurrence. Trouver le point fixe.
- b) Exprimer \(C_n\) en utilisant la méthode du changement de variable.
- c) En combien de mois le prêt est-il remboursé ?
Point fixe : \(\ell = 1{,}015\ell-20\,000 \implies -0{,}015\ell=-20\,000 \implies \ell = \frac{4\,000\,000}{3} \approx 1\,333\,333\)
b) \(v_n=C_n-\ell\) géométrique de raison \(1{,}015\), \(v_0=500\,000-1\,333\,333=-833\,333\).
\(C_n = \frac{4\,000\,000}{3} - \frac{2\,500\,000}{3} \times 1{,}015^n\)
c) \(C_n \leq 0 \implies 1{,}015^n \geq \frac{4\,000\,000}{2\,500\,000} = 1{,}6\)
\(n \geq \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}015} \approx \frac{0{,}470}{0{,}0149} \approx 31{,}5\)
Remboursement en 32 mois.
La ville de Dori, chef-lieu du Sahel, compte 50 000 habitants en 2024. Le taux de croissance naturelle est de 2,8 % par an, mais l'émigration vers Ouagadougou retire 800 personnes par an.
- a) Écrire la récurrence. Trouver l'état d'équilibre.
- b) La population de Dori augmente-t-elle ou diminue-t-elle avec ces paramètres ?
- c) Exprimer \(P_n\) explicitement. Vers quelle valeur tend-elle à long terme ?
Point fixe : \(\ell = 1{,}028\ell-800 \implies -0{,}028\ell=-800 \implies \ell \approx 28\,571\) hab.
b) \(P_{n+1}-P_n = 0{,}028P_n-800 = 0{,}028(P_n - 28\,571)\)
Or \(P_0=50\,000 > 28\,571\) → \(P_{n+1}-P_n > 0\) → la population augmente initialement.
Mais la suite converge vers \(\ell = 28\,571\) (décroissante à partir du moment où la récurrence tire vers le bas à long terme... attendons : \(q=1{,}028>1\) donc \(|q|>1\) → la suite diverge vers \(+\infty\) !)
En fait : \(v_n=P_n-28\,571\) est géométrique de raison \(1{,}028>1\), donc \(v_n \to +\infty\).
La population croît sans limite selon ce modèle (la natalité l'emporte sur l'émigration).
c) \(P_n = 28\,571 + 21\,429 \times 1{,}028^n \to +\infty\).
(Ce modèle n'a pas de capacité de charge — pour un résultat réaliste, il faudrait un modèle logistique.)
On cherche \(\sqrt[3]{2}\), racine positive de \(f(x) = x^3 - 2\).
- a) Écrire la récurrence de Newton-Raphson pour cette fonction.
- b) Partir de \(x_0 = 1{,}5\) et calculer \(x_1\) et \(x_2\) (arrondir à 6 décimales).
- c) Comparer avec la valeur exacte \(\sqrt[3]{2} \approx 1{,}259921\). Combien de décimales sont correctes après 2 itérations ?
b) \(x_1 = \dfrac{2(3{,}375+1)}{3 \times 2{,}25} = \dfrac{8{,}75}{6{,}75} \approx 1{,}296296\)
\(x_2 = \dfrac{2(1{,}296296^3+1)}{3 \times 1{,}296296^2} \approx \dfrac{2(2{,}177+1)}{3 \times 1{,}680} \approx \dfrac{6{,}354}{5{,}040} \approx 1{,}260952\)
c) \(\sqrt[3]{2} \approx 1{,}259921\). Après 2 itérations, \(x_2 \approx 1{,}260952\) — 3 décimales correctes (1.26...). La convergence est quadratique.
Un éleveur de la région du Centre-Nord possède un troupeau de 200 bovins. Chaque année, le troupeau croît de 20 % (naissances) mais l'éleveur vend 50 animaux pour ses revenus.
- a) Écrire la récurrence. Trouver l'équilibre.
- b) Exprimer \(u_n\) explicitement.
- c) Le troupeau croît-il ou décroît-il ? Convergence ou divergence ?
- d) Si l'éleveur veut maintenir son troupeau indéfiniment à 300 animaux, combien doit-il vendre par an ?
Point fixe : \(\ell=1{,}2\ell-50 \implies -0{,}2\ell=-50 \implies \ell=250\).
b) \(v_n=u_n-250\) géométrique de raison \(1{,}2\), \(v_0=200-250=-50\).
\(u_n = 250 - 50 \times 1{,}2^n\)
c) \(u_{n+1}-u_n = 0{,}2u_n-50 = 0{,}2(u_n-250)\). Comme \(u_0=200 < 250\) : \(u_{n+1}-u_n < 0\) → décroissante.
Or \(1{,}2^n \to +\infty\) donc \(u_n = 250-50\times1{,}2^n \to -\infty\) : la suite diverge vers \(-\infty\) — le troupeau s'éteint !
d) Pour maintenir 300 bovins : \(u_{n+1}=u_n=300 \implies 1{,}2\times300-s=300 \implies s=60\) animaux à vendre par an.
Le Musée National du Burkina Faso installe des panneaux solaires. L'investissement initial est de 5 000 000 FCFA. Les économies annuelles sur la facture d'électricité sont de 800 000 FCFA la première année, et augmentent de 5 % chaque année (hausse du prix de l'électricité).
- a) Modéliser les économies annuelles \(e_n\) (\(n\) années après l'installation). Quelle est la nature de cette suite ?
- b) Exprimer les économies cumulées \(S_n\) après \(n\) années.
- c) À partir de quelle année l'investissement est-il amorti (économies cumulées ≥ 5 000 000 FCFA) ? Utiliser \(\ln(7{,}25) \approx 1{,}981\) et \(\ln(1{,}05) \approx 0{,}0488\).
\(e_n = 800\,000 \times 1{,}05^{n-1}\)
b) \(S_n = \sum_{k=1}^{n} e_k = 800\,000 \times \dfrac{1-1{,}05^n}{1-1{,}05} = 800\,000 \times \dfrac{1{,}05^n-1}{0{,}05} = 16\,000\,000(1{,}05^n-1)\)
c) \(S_n \geq 5\,000\,000 \implies 16\,000\,000(1{,}05^n-1) \geq 5\,000\,000\)
\(1{,}05^n \geq 1 + \dfrac{5}{16} = 1{,}3125\)
\(n \geq \dfrac{\ln 1{,}3125}{\ln 1{,}05} \approx \dfrac{0{,}272}{0{,}0488} \approx 5{,}57\)
L'investissement est amorti à partir de l'année 6.
Vérif. : \(S_6 = 16\,000\,000(1{,}05^6-1) \approx 16\,000\,000 \times 0{,}340 \approx 5\,440\,000 \geq 5\,000\,000\) ✓
À retenir
- Modélisation : identifier la récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\) qui traduit le passage d'un état au suivant.
- Forme affine \(u_{n+1}=qu_n+b\) : point fixe \(\ell=b/(1-q)\), changement de variable \(v_n=u_n-\ell\) géométrique.
- Finance : annuités → somme géométrique ; remboursement → suite affine avec point fixe.
- Démographie : Malthus = géométrique ; logistique = convergence vers la capacité de charge \(K\).
- Écologie : équilibre = point fixe ; si \(|q| < 1\), convergence ; si \(|q| > 1\), divergence.
- Newton-Raphson : \(x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)\) — convergence très rapide vers les zéros de \(f\).
- Méthode universelle : point fixe → changement de variable → suite géométrique → terme général et convergence.
Module V — Terminé !
Tu as maîtrisé les 7 leçons fondamentales sur les suites numériques.
Ces outils sont au cœur de l'analyse, des probabilités et de la modélisation.