Leçon 2 — Cercle trigonométrique et radian

La mesure des angles, le cercle unité et ses points remarquables — les fondements de toute la trigonométrie

I. Pourquoi le radian ? — Deux façons de mesurer un angle

Un angle peut être mesuré de deux façons : en degrés (système sexagésimal, héritage babylonien) ou en radians (système naturel, fondé sur la géométrie du cercle). Les degrés sont pratiques dans la vie courante, mais les radians sont indispensables en mathématiques supérieures — toutes les formules de dérivation, d'intégration et de développement en série font intervenir les angles en radians.

🔍 Définition du radian — une unité naturelle

Considérons un cercle de rayon \(r\). Quand on dépose un arc de longueur \(r\) sur ce cercle, l'angle au centre correspondant vaut exactement 1 radian. Plus généralement, pour un arc de longueur \(l\) sur un cercle de rayon \(r\) :

\[\theta \text{ (en rad)} = \frac{l}{r}\]

Le radian est donc un rapport de deux longueurs — c'est une grandeur sans dimension. Quand on écrit \(\sin(0{,}5)\), on entend 0,5 radian, pas 0,5 degré. C'est pour cette raison que la dérivée de \(\sin x\) est \(\cos x\) en radians, mais non en degrés (où il faudrait multiplier par \(\pi/180\)).

\[1 \text{ tour complet} = 2\pi \text{ rad} = 360°\] La relation fondamentale entre radians et degrés

°→ rad

Pour convertir des degrés en radians, multiplier par \(\dfrac{\pi}{180}\) :

\(\theta_{\text{rad}} = \theta_° \times \dfrac{\pi}{180}\)

rad → °

Pour convertir des radians en degrés, multiplier par \(\dfrac{180}{\pi}\) :

\(\theta_° = \theta_{\text{rad}} \times \dfrac{180}{\pi}\)

Longueur d'arc

Arc de rayon \(r\) et d'angle \(\theta\) (en rad) :

\(l = r\theta\)

Aire d'un secteur

Secteur de rayon \(r\) et d'angle \(\theta\) (en rad) :

\(A = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)

Nerveux explique : Au rond-point de l'Est à Ouagadougou, les voitures tournent autour d'un cercle. Si tu roules sur le bord intérieur (rayon 10 m) et que tu parcours exactement 10 mètres d'arc, tu as tourné d'un angle de 1 radian. C'est tout. Le radian n'est pas arbitraire comme le degré (pourquoi 360 ? À cause des Babyloniens qui comptaient en base 60) — il est fondé sur la géométrie même du cercle. Un tour complet = \(2\pi\) radians parce que la circonférence d'un cercle de rayon 1 vaut exactement \(2\pi \times 1 = 2\pi\). C'est la définition qui se déduit d'elle-même.

II. Table des angles remarquables

Angle en degrés	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
Angle en radians	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\dfrac{2\pi}{3}\)	\(\dfrac{3\pi}{4}\)	\(\dfrac{5\pi}{6}\)	\(\pi\)

Angle en degrés	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Angle en radians	\(\dfrac{7\pi}{6}\)	\(\dfrac{5\pi}{4}\)	\(\dfrac{4\pi}{3}\)	\(\dfrac{3\pi}{2}\)	\(\dfrac{5\pi}{3}\)	\(\dfrac{7\pi}{4}\)	\(\dfrac{11\pi}{6}\)	\(2\pi\)

Astuce mémo : Pour mémoriser les fractions de \(\pi\), on retient que \(30° = \frac{\pi}{6}\), \(45° = \frac{\pi}{4}\), \(60° = \frac{\pi}{3}\), \(90° = \frac{\pi}{2}\). Les autres s'en déduisent par addition : \(120° = 2 \times 60° = \frac{2\pi}{3}\), \(150° = 180° - 30° = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\), etc.

III. Le cercle trigonométrique — définition et orientation

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1 dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\). C'est sur ce cercle que sont définis le cosinus et le sinus de n'importe quel angle réel.

À tout réel \(\theta\), on associe le point \(M(\theta)\) du cercle trigonométrique tel que \(\widehat{(\vec{i},\,\overrightarrow{OM})} = \theta\) (en radians, sens direct). Les coordonnées de \(M(\theta)\) sont \((\cos\theta\,;\,\sin\theta)\). Le sens direct = sens antihoraire = sens trigonométrique

L'angle \(\theta\) est mesuré à partir de l'axe des abscisses positives, dans le sens direct (antihoraire). Un angle positif tourne dans le sens antihoraire, un angle négatif dans le sens horaire. Deux angles qui diffèrent d'un multiple de \(2\pi\) correspondent au même point du cercle — ils sont dits congrus modulo \(2\pi\).

IV. Le cercle trigonométrique annoté

Cercle trigonométrique avec les 16 angles remarquables — sens positif = antihoraire

V. Angles associés — symétries du cercle

Quatre symétries naturelles du cercle permettent de ramener le calcul de n'importe quel angle à un angle du premier quadrant \([0\,;\,\pi/2]\). Ces relations sont fondamentales et doivent être parfaitement maîtrisées.

Transformation	Point image	Cosinus	Sinus	Tangente
Angle opposé \(-\theta\)	Symétrie / axe \(x\)	\(\cos(-\theta) = \cos\theta\)	\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)	\(\tan(-\theta) = -\tan\theta\)
Angle supplémentaire \(\pi - \theta\)	Symétrie / axe \(y\)	\(\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta\)	\(\sin(\pi-\theta) = \sin\theta\)	\(\tan(\pi-\theta) = -\tan\theta\)
Angle + \(\pi\) \(\theta + \pi\)	Symétrie / centre \(O\)	\(\cos(\theta+\pi) = -\cos\theta\)	\(\sin(\theta+\pi) = -\sin\theta\)	\(\tan(\theta+\pi) = \tan\theta\)
Complémentaire \(\pi/2 - \theta\)	Symétrie / 1ère bisect.	\(\cos(\pi/2-\theta) = \sin\theta\)	\(\sin(\pi/2-\theta) = \cos\theta\)	\(\tan(\pi/2-\theta) = 1/\tan\theta\)
Période \(\theta + 2k\pi\)	Même point	\(\cos(\theta+2k\pi) = \cos\theta\)	\(\sin(\theta+2k\pi) = \sin\theta\)	\(\tan(\theta+k\pi) = \tan\theta\)

📐 Justification géométrique des angles associés

Ces relations se lisent directement sur le cercle trigonométrique.

\(-\theta\) : le point \(M(-\theta)\) est le symétrique de \(M(\theta)\) par rapport à l'axe des abscisses. La coordonnée \(x\) (cosinus) est conservée, la coordonnée \(y\) (sinus) change de signe.

\(\pi - \theta\) : le point \(M(\pi-\theta)\) est le symétrique de \(M(\theta)\) par rapport à l'axe des ordonnées. La coordonnée \(y\) (sinus) est conservée, la coordonnée \(x\) (cosinus) change de signe.

\(\theta + \pi\) : le point \(M(\theta+\pi)\) est le symétrique de \(M(\theta)\) par rapport à l'origine \(O\). Les deux coordonnées changent de signe.

Mémo : pour \(-\theta\) → sinus change ; pour \(\pi-\theta\) → cosinus change ; pour \(\theta+\pi\) → les deux changent.

VI. Valeurs remarquables — la table essentielle

Angle \(\theta\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\theta\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin\theta\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\tan\theta\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	ind.

🔍 Moyen mémo-technique pour les valeurs remarquables

Pour \(\cos\), les valeurs de \(\theta = 0\) à \(\pi/2\) sont \(\sqrt{4}/2, \sqrt{3}/2, \sqrt{2}/2, \sqrt{1}/2, \sqrt{0}/2\), soit \(1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0\).

Pour \(\sin\), c'est l'ordre inverse : \(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\).

Pour \(\tan = \sin/\cos\) : \(0,\ \frac{1}{\sqrt{3}},\ 1,\ \sqrt{3},\ \text{indéfini}\).

Retenir simplement : cos décroît de 1 à 0, sin croît de 0 à 1, sur \([0\,;\,\pi/2]\).

VII. Exemples travaillés

Exemple 1 — Conversions degrés ↔ radians

Convertir en radians : \(72°\), \(210°\), \(315°\).

\(72° = 72 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{72\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{5}\)

\(210° = 210 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{210\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}\)

\(315° = 315 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{315\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{4}\)

Convertir en degrés : \(\dfrac{5\pi}{12}\), \(\dfrac{7\pi}{9}\).

\(\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{12} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{5 \times 180}{12} = 75°\)

\(\dfrac{7\pi}{9} = \dfrac{7 \times 180}{9} = 140°\)

\(72° = \frac{2\pi}{5}\) | \(210° = \frac{7\pi}{6}\) | \(\frac{5\pi}{12} = 75°\)

Exemple 2 — Utiliser les angles associés

Calculer sans calculatrice : \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\), \(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\), \(\tan\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\).

\(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\) → formule de l'angle supplémentaire :

\(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}\) → formule de l'angle négatif (période \(2\pi\)) :

\(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(-\dfrac{\pi}{3}\) → formule de l'angle opposé :

\(\tan\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\)

\(\cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\sin\!\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\tan\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\)

Exemple 3 — Longueur d'arc et aire de secteur

Au rond-point de la Nation à Ouagadougou, le rayon du cercle central est de 15 mètres. Une voiture parcourt un arc correspondant à un angle de 120°. Calculer la longueur de l'arc parcouru et l'aire du secteur délimité.

Conversion : \(120° = \dfrac{2\pi}{3}\) rad.

Longueur d'arc : \(l = r\theta = 15 \times \dfrac{2\pi}{3} = 10\pi \approx 31{,}4\) m

Aire du secteur : \(A = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2} \times 225 \times \dfrac{2\pi}{3} = 75\pi \approx 235{,}6\) m²

Arc : \(10\pi \approx 31{,}4\) m | Secteur : \(75\pi \approx 235{,}6\) m²

Exemple 4 — Ramener un angle dans \([0\,;\,2\pi[\)

Donner l'angle dans \([0\,;\,2\pi[\) congru à \(\dfrac{17\pi}{6}\) et à \(-\dfrac{5\pi}{3}\).

Pour \(\dfrac{17\pi}{6}\) : on cherche \(k\) tel que \(0 \leq \dfrac{17\pi}{6} - 2k\pi < 2\pi\).

\(\dfrac{17\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{17\pi}{6} - \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\) ✓ (dans \([0\,;\,2\pi[\))

Pour \(-\dfrac{5\pi}{3}\) :

\(-\dfrac{5\pi}{3} + 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3} + \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\) ✓

\(\frac{17\pi}{6} \equiv \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}\) | \(-\frac{5\pi}{3} \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}\)

VIII. Application concrète ⭐

⭐ Situation concrète L'horloge de la Grande Mosquée de Ouagadougou

L'horloge de la Grande Mosquée de Ouagadougou est équipée d'une grande aiguille de 60 cm de longueur. En 20 minutes, cette aiguille décrit un arc de cercle.

a) De quel angle (en radians) l'aiguille a-t-elle tourné en 20 minutes ?
b) Quelle longueur d'arc la pointe de l'aiguille a-t-elle parcourue ?
c) À quelle position sur le cercle trigonométrique se trouve la pointe, si elle part du "12" (position \(\pi/2\) sur le cercle trig, en prenant le sens horaire = sens négatif) ?

Exemple 5 — Horloge de la Grande Mosquée

a) En 60 minutes, l'aiguille fait un tour complet = \(2\pi\) rad. En 20 minutes :

\(\theta = \dfrac{20}{60} \times 2\pi = \dfrac{2\pi}{3}\) rad \(= 120°\)

b) Longueur d'arc avec \(r = 0{,}6\) m :

\(l = r\theta = 0{,}6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 0{,}4\pi \approx 1{,}257\) m

c) Position initiale : la pointe est au "12" = position \(\dfrac{\pi}{2}\) (haut du cercle). L'aiguille tourne dans le sens horaire = sens négatif. Après \(\dfrac{2\pi}{3}\) de rotation négative :

Nouvel angle \(= \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{6} - \dfrac{4\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{6}\)

Angle équivalent dans \([0\,;\,2\pi[\) : \(-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{6}\), soit la position "4 heures" (330°).

Rotation de \(\frac{2\pi}{3}\) rad | Arc = \(0{,}4\pi \approx 1{,}26\) m | Position finale : \(\frac{11\pi}{6}\) (330°)

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Conversions

Convertir en radians :

a) \(135°\) b) \(270°\) c) \(54°\) d) \(15°\)

Convertir en degrés :

e) \(\dfrac{4\pi}{9}\) f) \(\dfrac{11\pi}{6}\) g) \(\dfrac{7\pi}{12}\) h) \(3\) rad

a) \(\frac{3\pi}{4}\) b) \(\frac{3\pi}{2}\) c) \(\frac{3\pi}{10}\) d) \(\frac{\pi}{12}\)

e) \(\frac{4\times180}{9} = 80°\) f) \(\frac{11\times180}{6} = 330°\) g) \(\frac{7\times180}{12} = 105°\) h) \(3\times\frac{180}{\pi} \approx 171{,}9°\)

Exercice 2 — Angles associés

Calculer sans calculatrice en utilisant les angles associés :

a) \(\cos\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\)
b) \(\sin\!\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)\)
c) \(\tan\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\)
d) \(\cos\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\)

a) \(\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}\) → \(\cos(\pi+\frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}\)

b) \(\frac{11\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}\) → \(\sin(2\pi-\frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}\)

c) \(\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}\) → \(\tan(\pi+\frac{\pi}{4}) = \tan\frac{\pi}{4} = 1\)

d) \(\cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi-\frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}\)

Exercice 3 — Longueur d'arc et aire — Route de Bobo-Dioulasso

Un virage en arc de cercle sur la route nationale reliant Ouagadougou à Bobo-Dioulasso a un rayon de courbure de 80 mètres et sous-tend un angle de 75°.

a) Convertir 75° en radians.
b) Calculer la longueur du virage.
c) Calculer l'aire du secteur délimité par ce virage et les deux rayons.

a) \(75° = 75 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{12}\) rad

b) \(l = r\theta = 80 \times \frac{5\pi}{12} = \frac{400\pi}{12} = \frac{100\pi}{3} \approx 104{,}7\) m

c) \(A = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2} \times 6400 \times \frac{5\pi}{12} = \frac{32000\pi}{24} = \frac{4000\pi}{3} \approx 4189{,}0\) m²

Exercice 4 — Position sur le cercle trigonométrique

Pour chaque angle, indiquer dans quel quadrant se trouve le point \(M(\theta)\), puis donner les signes de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) :

a) \(\theta = \dfrac{5\pi}{7}\) b) \(\theta = -\dfrac{\pi}{5}\) c) \(\theta = \dfrac{9\pi}{4}\) d) \(\theta = \dfrac{7\pi}{5}\)

a) \(\frac{5\pi}{7} \approx 2{,}24\) rad. Comme \(\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi\) → quadrant II. cos(−), sin(+).

b) \(-\frac{\pi}{5} \approx -0{,}63\) rad. Négatif, donc on tourne dans le sens horaire. Équivalent à \(2\pi - \frac{\pi}{5} = \frac{9\pi}{5}\), qui est dans \(]\frac{3\pi}{2}\,;\,2\pi[\) → quadrant IV. cos(+), sin(−).

c) \(\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}\) → équivalent à \(\frac{\pi}{4}\) → quadrant I. cos(+), sin(+).

d) \(\frac{7\pi}{5} \approx 4{,}40\) rad. Comme \(\pi < \frac{7\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}\) → quadrant III. cos(−), sin(−).

Exercice 5 — Vitesse angulaire des ailes d'un moulin de Kaya ⭐

Un moulin à vent dans la région du Centre-Nord près de Kaya tourne à la vitesse de 12 tours par minute. Les ailes ont une longueur de 2,5 mètres.

a) Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) en radians par seconde.
b) En 5 secondes, de quel angle total (en radians) une aile a-t-elle tourné ?
c) Quelle distance parcourt la pointe d'une aile en 5 secondes ?
d) Quelle est la vitesse linéaire de la pointe d'une aile en m/s ?

a) 12 tours/min = \(12 \times 2\pi\) rad/min \(= \frac{24\pi}{60} = \frac{2\pi}{5}\) rad/s \(\approx 1{,}257\) rad/s

b) En 5 s : \(\theta = \omega \times t = \frac{2\pi}{5} \times 5 = 2\pi\) rad = 1 tour complet.

c) Distance = arc = \(r\theta = 2{,}5 \times 2\pi = 5\pi \approx 15{,}7\) m.

d) Vitesse linéaire : \(v = r\omega = 2{,}5 \times \frac{2\pi}{5} = \pi \approx 3{,}14\) m/s.

À retenir

Radian : \(\theta = l/r\) — rapport de l'arc sur le rayon ; 1 tour = \(2\pi\) rad = 360°.
Conversion : degrés → rad : \(\times \pi/180\) ; rad → degrés : \(\times 180/\pi\).
Cercle trigo : cercle de rayon 1 centré en O ; le point \(M(\theta)\) a pour coordonnées \((\cos\theta\,;\,\sin\theta)\).
Angles associés : \(\cos(-\theta)=\cos\theta\), \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\) ; \(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\), \(\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\) ; \(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\), \(\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta\).
Valeurs clés : \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) ; et pour sin, l'ordre inverse.
Longueur d'arc : \(l = r\theta\) ; Aire de secteur : \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\).
Vitesse angulaire : \(\omega = \Delta\theta/\Delta t\) en rad/s ; vitesse linéaire \(v = r\omega\).

Supports Vidéo

L1 : Sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle → L3 :Formules d'addition →