Leçon 4 — Résolution de triangles

La loi des sinus et la loi des cosinus — résoudre n'importe quel triangle à partir de données partielles

I. Au-delà du triangle rectangle

Les formules vues en Leçon 2 (SOH-CAH-TOA) ne s'appliquent que dans les triangles rectangles. Mais la majorité des triangles rencontrés en pratique — en topographie, en navigation, en architecture — ne sont pas rectangles. Il faut deux formules plus générales : la loi des sinus et la loi des cosinus.

🔍 Convention de notation — un triangle quelconque ABC

Dans tout ce qui suit, on note un triangle ABC avec :

\(a = BC\), le côté opposé à l'angle \(\hat{A}\) (aussi noté \(\alpha\))
\(b = CA\), le côté opposé à l'angle \(\hat{B}\) (aussi noté \(\beta\))
\(c = AB\), le côté opposé à l'angle \(\hat{C}\) (aussi noté \(\gamma\))
\(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°\) (somme des angles d'un triangle)

Un côté minuscule fait toujours face à l'angle majuscule du même nom.

Nerveux explique : Les géomètres du cadastre burkinabè qui délimitent les parcelles agricoles dans les Hauts-Bassins ne trouvent que rarement des angles droits dans les champs. Ils mesurent quelques côtés et angles accessibles, et utilisent la loi des sinus et la loi des cosinus pour reconstituer le reste. C'est la triangulation — le même principe qu'utilisent les GPS pour vous localiser.

II. La loi des sinus

La loi des sinus établit que dans tout triangle, les rapports d'un côté à son sinus opposé sont tous égaux — et ce rapport commun est le diamètre du cercle circonscrit au triangle.

\[\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}} = 2R\] où \(R\) est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC

📐 Preuve de la loi des sinus (cas angle aigu)

Soit \(H\) le pied de la hauteur issue de \(C\) sur \(AB\). Dans le triangle rectangle \(CAH\) :

\(\sin\hat{A} = \frac{CH}{b} \implies CH = b\sin\hat{A}\)

Dans le triangle rectangle \(CBH\) :

\(\sin\hat{B} = \frac{CH}{a} \implies CH = a\sin\hat{B}\)

En égalisant les deux expressions de \(CH\) :

\(b\sin\hat{A} = a\sin\hat{B} \implies \frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}}\)

Par symétrie (ou en recommençant avec la hauteur issue de \(B\)), on obtient l'égalité avec \(\frac{c}{\sin\hat{C}}\). \(\square\)

Le lien avec le diamètre du cercle circonscrit (\(= 2R\)) se démontre en utilisant le théorème de l'angle inscrit.

Quand utiliser la loi des sinus ? Elle est idéale quand on connaît : un côté et deux angles (AAS ou ASA), ou deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux (SSA — cas ambigu). Elle ne fonctionne pas si on ne connaît que des côtés sans angles.

III. La loi des cosinus

La loi des cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore aux triangles quelconques. Elle relie les trois côtés à un angle.

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}\] \[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\hat{B}\] \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\hat{C}\] Quand \(\hat{A} = 90°\), \(\cos\hat{A} = 0\) et on retrouve \(a^2 = b^2 + c^2\) — le théorème de Pythagore

📐 Preuve de la loi des cosinus

On place le triangle dans un repère avec \(A\) à l'origine et \(B\) en \((c\,;\,0)\). Alors \(C = (b\cos\hat{A}\,;\,b\sin\hat{A})\).

La distance \(BC = a\) vaut :

\(a^2 = (b\cos\hat{A} - c)^2 + (b\sin\hat{A})^2\)

\(= b^2\cos^2\hat{A} - 2bc\cos\hat{A} + c^2 + b^2\sin^2\hat{A}\)

\(= b^2(\cos^2\hat{A}+\sin^2\hat{A}) + c^2 - 2bc\cos\hat{A}\)

\(= b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A} \quad \square\)

Quand utiliser la loi des cosinus ? Elle est idéale quand on connaît : trois côtés (SSS — pour trouver les angles), ou deux côtés et l'angle compris (SAS — pour trouver le troisième côté).

IV. Tableau de choix — quelle loi appliquer ?

Données connues	Loi à utiliser	Ce qu'on cherche
AAS ou ASA (2 angles + 1 côté)	Loi des sinus	Les deux côtés restants
SSA (2 côtés + angle non compris)	Loi des sinus (avec prudence)	Angle opposé (cas ambigu possible)
SAS (2 côtés + angle compris)	Loi des cosinus	Troisième côté, puis les angles
SSS (3 côtés)	Loi des cosinus	Les trois angles

V. Formule de l'aire d'un triangle

La loi des sinus permet aussi d'exprimer l'aire d'un triangle de façon élégante, sans avoir besoin d'une hauteur.

\[\text{Aire} = \frac{1}{2}ab\sin\hat{C} = \frac{1}{2}bc\sin\hat{A} = \frac{1}{2}ac\sin\hat{B}\] Deux côtés et l'angle compris — généralise la formule \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{hauteur}\)

📐 Preuve de la formule de l'aire

La hauteur \(h_C\) issue de \(C\) sur \(AB = c\) vérifie \(h_C = b\sin\hat{A}\) (dans le triangle rectangle \(CAH\)).

\(\text{Aire} = \frac{1}{2} \times c \times h_C = \frac{1}{2} \times c \times b\sin\hat{A} = \frac{1}{2}bc\sin\hat{A} \quad \square\)

VI. Exemples travaillés

Deux configurations typiques — loi des sinus (AAS) et loi des cosinus (SAS)

Exemple 1 — Loi des sinus (AAS) : deux angles et un côté

Dans un triangle ABC, \(\hat{A} = 40°\), \(\hat{B} = 65°\) et \(c = AB = 10\) cm. Calculer \(a\) et \(b\).

D'abord : \(\hat{C} = 180° - 40° - 65° = 75°\).

Par la loi des sinus :

\(\dfrac{a}{\sin\hat{A}} = \dfrac{c}{\sin\hat{C}} \implies a = c \times \dfrac{\sin\hat{A}}{\sin\hat{C}} = 10 \times \dfrac{\sin40°}{\sin75°} \approx 10 \times \dfrac{0{,}643}{0{,}966} \approx 6{,}65\) cm

\(b = c \times \dfrac{\sin\hat{B}}{\sin\hat{C}} = 10 \times \dfrac{\sin65°}{\sin75°} \approx 10 \times \dfrac{0{,}906}{0{,}966} \approx 9{,}38\) cm

Vérification Loi des cosinus : \(c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\hat{C} \approx 44{,}2+88{,}0-2(6{,}65)(9{,}38)\cos75° \approx 132{,}2-32{,}2 \approx 100\) ✓

\(a \approx 6{,}65\) cm et \(b \approx 9{,}38\) cm

Exemple 2 — Loi des cosinus (SAS) : deux côtés et l'angle compris

Dans un triangle ABC, \(b = 7\) cm, \(a = 9\) cm et \(\hat{A} = 50°\). Trouver le côté \(c = AB\) et les autres angles.

On applique la loi des cosinus avec l'angle \(\hat{A}\) compris entre \(b\) et \(c\)... attention : ici on connaît \(a\) (côté opposé à \(\hat{A}\)) et \(b\), donc on a SAS entre \(b\), \(c\) et l'angle \(\hat{B}\) ou entre \(a\), \(c\) et l'angle entre eux. On utilise :

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}\) n'est pas applicable directement car on ne connaît pas \(c\).

On utilise plutôt la loi des sinus pour trouver \(\hat{B}\) d'abord :

\(\frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{a}{\sin\hat{A}} \implies \sin\hat{B} = \frac{b\sin\hat{A}}{a} = \frac{7\sin50°}{9} \approx \frac{7\times0{,}766}{9} \approx 0{,}596\)

\(\hat{B} \approx \arcsin(0{,}596) \approx 36{,}6°\)

\(\hat{C} = 180° - 50° - 36{,}6° = 93{,}4°\)

\(c = a\times\frac{\sin\hat{C}}{\sin\hat{A}} = 9\times\frac{\sin93{,}4°}{\sin50°} \approx 9\times\frac{0{,}998}{0{,}766} \approx 11{,}7\) cm

\(\hat{B} \approx 36{,}6°\), \(\hat{C} \approx 93{,}4°\), \(c \approx 11{,}7\) cm

Exemple 3 — Loi des cosinus (SSS) : trouver les angles à partir des trois côtés

Un triangle a pour côtés \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 8\) cm. Calculer les trois angles.

On isole les cosinus depuis la loi des cosinus :

\(\cos\hat{A} = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{49+64-25}{2\times7\times8} = \dfrac{88}{112} \approx 0{,}786 \implies \hat{A} \approx 38{,}2°\)

\(\cos\hat{B} = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \dfrac{25+64-49}{2\times5\times8} = \dfrac{40}{80} = 0{,}5 \implies \hat{B} = 60°\) (exact !)

\(\hat{C} = 180° - 38{,}2° - 60° = 81{,}8°\)

Vérification : \(\cos81{,}8° \approx \frac{25+49-64}{70} = \frac{10}{70} \approx 0{,}143\) ✓

\(\hat{A} \approx 38{,}2°\), \(\hat{B} = 60°\) (exact), \(\hat{C} \approx 81{,}8°\)

Exemple 4 — Aire d'un triangle

Calculer l'aire du triangle ABC avec \(b = 6\) cm, \(c = 8\) cm et \(\hat{A} = 45°\).

\(\text{Aire} = \dfrac{1}{2}bc\sin\hat{A} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin45° = 24 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97\) cm²

Aire \(= 12\sqrt{2} \approx 16{,}97\) cm²

VII. Application concrète ⭐

⭐ Situation concrète Triangulation d'une parcelle agricole à Bama (Hauts-Bassins)

Un géomètre délimite une parcelle agricole triangulaire dans la plaine de Bama (Hauts-Bassins). Il mesure :

Le côté AB = 120 mètres
L'angle en A = 72°
L'angle en B = 58°

a) Calculer l'angle en C, puis les côtés AC et BC par la loi des sinus.
b) Calculer l'aire de la parcelle en m² et en hectares (1 ha = 10 000 m²).
c) Le géomètre doit clôturer la parcelle. Calculer le périmètre total.

Exemple 5 — Parcelle de Bama

a) Angle et côtés :

\(\hat{C} = 180° - 72° - 58° = 50°\)

Par la loi des sinus avec \(c = AB = 120\) m et \(\hat{C} = 50°\) :

\(b = AC = 120 \times \dfrac{\sin\hat{B}}{\sin\hat{C}} = 120 \times \dfrac{\sin58°}{\sin50°} \approx 120 \times \dfrac{0{,}848}{0{,}766} \approx 132{,}9\) m

\(a = BC = 120 \times \dfrac{\sin\hat{A}}{\sin\hat{C}} = 120 \times \dfrac{\sin72°}{\sin50°} \approx 120 \times \dfrac{0{,}951}{0{,}766} \approx 149{,}0\) m

b) Aire :

\(\text{Aire} = \dfrac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin\hat{A} = \dfrac{1}{2} \times 120 \times 132{,}9 \times \sin72° \approx \dfrac{1}{2} \times 120 \times 132{,}9 \times 0{,}951 \approx 7\,581\) m²

\(= 0{,}758\) hectare ≈ 0,76 ha

c) Périmètre :

\(P = AB + BC + CA = 120 + 149{,}0 + 132{,}9 \approx \mathbf{401{,}9}\) m

Côtés : BC ≈ 149 m, AC ≈ 133 m | Aire ≈ 0,76 ha | Périmètre ≈ 402 m

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Loi des sinus directe

Dans un triangle ABC, \(\hat{A} = 55°\), \(\hat{C} = 80°\) et \(a = BC = 15\) cm. Calculer \(b\), \(c\) et l'aire.

\(\hat{B} = 180°-55°-80° = 45°\).
\(\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{15}{\sin55°} \approx \frac{15}{0{,}819} \approx 18{,}31\)
\(b = 18{,}31\times\sin45° \approx 18{,}31\times0{,}707 \approx 12{,}94\) cm.
\(c = 18{,}31\times\sin80° \approx 18{,}31\times0{,}985 \approx 18{,}03\) cm.
Aire \(= \frac{1}{2}ac\sin\hat{B} = \frac{1}{2}\times15\times18{,}03\times\sin45° \approx \frac{1}{2}\times15\times18{,}03\times0{,}707 \approx \mathbf{95{,}5}\) cm²

Exercice 2 — Loi des cosinus — trouver un côté

Dans un triangle ABC, \(b = 10\) cm, \(c = 13\) cm et \(\hat{A} = 42°\). Calculer \(a\).

\(a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\hat{A} = 100+169-2\times10\times13\times\cos42°\)
\(= 269 - 260\times0{,}743 = 269 - 193{,}2 = 75{,}8\)
\(a = \sqrt{75{,}8} \approx \mathbf{8{,}71}\) cm

Exercice 3 — Loi des cosinus — trouver les angles

Un triangle a pour côtés \(a = 8\), \(b = 6\), \(c = 10\) cm. Montrer que c'est un triangle rectangle et trouver tous les angles.

\(\cos\hat{C} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{64+36-100}{96} = \frac{0}{96} = 0 \implies \hat{C} = 90°\) ✓ (triangle rectangle !)
\(\cos\hat{A} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{36+100-64}{120} = \frac{72}{120} = 0{,}6 \implies \hat{A} \approx 53{,}1°\)
\(\hat{B} = 90°-53{,}1° = 36{,}9°\). Vérif. : \(\sin53{,}1° = 0{,}8 = 8/10\) ✓

Exercice 4 — Distance entre deux villages du Sahel

Depuis un poste d'observation, les deux villages de Titao et Séguénéga dans le Nord du Burkina sont observés. La distance du poste à Titao est de 45 km, la distance du poste à Séguénéga est de 60 km, et l'angle entre les deux directions est de 78°.

a) Calculer la distance entre Titao et Séguénéga.
b) Calculer l'angle sous lequel Titao est vu depuis Séguénéga.

a) Les deux distances et l'angle compris : loi des cosinus.
\(d^2 = 45^2+60^2-2\times45\times60\times\cos78° = 2025+3600-5400\times0{,}208 = 5625-1123 = 4502\)
\(d = \sqrt{4502} \approx \mathbf{67{,}1}\) km.

b) Loi des sinus : \(\frac{45}{\sin\theta} = \frac{67{,}1}{\sin78°} \implies \sin\theta = \frac{45\times\sin78°}{67{,}1} \approx \frac{44{,}0}{67{,}1} \approx 0{,}656\)
\(\theta \approx \arcsin(0{,}656) \approx \mathbf{41°}\)

Exercice 5 — Terrain du FESPACO ⭐

La place centrale du FESPACO à Ouagadougou est délimitée par un triangle dont les côtés mesurent 80 m, 95 m et 110 m.

a) Calculer les trois angles du triangle.
b) Calculer l'aire de cette place en m² et en ares (1 are = 100 m²).
c) Une fontaine est placée à égale distance des trois côtés (centre du cercle inscrit). Ce centre est à distance \(r = \text{Aire}/s\) de chaque côté, où \(s = \frac{a+b+c}{2}\) est le demi-périmètre. Calculer \(r\).

\(a=80, b=95, c=110\).
a) \(\cos\hat{A} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{9025+12100-6400}{20900} = \frac{14725}{20900} \approx 0{,}705 \implies \hat{A} \approx 45{,}2°\)
\(\cos\hat{B} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{6400+12100-9025}{17600} = \frac{9475}{17600} \approx 0{,}538 \implies \hat{B} \approx 57{,}4°\)
\(\hat{C} = 180°-45{,}2°-57{,}4° = 77{,}4°\)

b) Aire \(= \frac{1}{2}ab\sin\hat{C} = \frac{1}{2}\times80\times95\times\sin77{,}4° \approx 3800\times0{,}976 \approx \mathbf{3709}\) m² \(\approx\) 37,1 ares.

c) \(s = \frac{80+95+110}{2} = \frac{285}{2} = 142{,}5\) m.
\(r = \frac{\text{Aire}}{s} = \frac{3709}{142{,}5} \approx \mathbf{26{,}0}\) m.

À retenir

Loi des sinus : \(\dfrac{a}{\sin\hat{A}} = \dfrac{b}{\sin\hat{B}} = \dfrac{c}{\sin\hat{C}} = 2R\) — utiliser quand on a AAS ou ASA.
Loi des cosinus : \(a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\hat{A}\) — utiliser quand on a SAS ou SSS.
Retrouver un angle : isoler le cosinus : \(\cos\hat{A} = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\).
Aire : \(\dfrac{1}{2}ab\sin\hat{C}\) — deux côtés et l'angle compris.
Somme des angles : \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C} = 180°\) — toujours vérifier.
Pythagore : cas particulier de la loi des cosinus avec \(\hat{C}=90°\) → \(\cos\hat{C}=0\) → \(c^2=a^2+b^2\).
Notation : côté minuscule \(a\) face à l'angle majuscule \(\hat{A}\) — ne jamais les confondre.

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