I. Le principe du raisonnement par l'absurde
Le raisonnement par l'absurde (ou reductio ad absurdum) repose sur un principe logique simple : si supposer qu'une proposition est fausse conduit à une contradiction, alors cette proposition est nécessairement vraie.
Pour démontrer une proposition \(P\), on procède ainsi :
- On suppose le contraire : on pose \(\neg P\) (la négation de \(P\)) comme hypothèse.
- On raisonne : on développe des conséquences logiques de \(\neg P\).
- On aboutit à une contradiction : on obtient un énoncé manifestement faux — soit une impossibilité mathématique, soit la négation d'une hypothèse, soit \(0 = 1\), etc.
- On conclut : la supposition \(\neg P\) est fausse, donc \(P\) est vraie. \(\square\)
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Structure du raisonnement par l'absurde : supposer \(\neg P\) → développer → trouver une contradiction → conclure \(P\).
II. Modèle de rédaction
1. Annonce : "Raisonnons par l'absurde. Supposons que \(P\) soit fausse, c'est-à-dire supposons que \(\neg P\) soit vraie."
2. Développement : déduire des conséquences de \(\neg P\) par raisonnements valides.
3. Contradiction : "On aboutit à [l'énoncé contradictoire], ce qui est absurde / impossible / contredit [telle hypothèse]."
4. Conclusion : "Notre supposition était donc fausse. Ainsi, \(P\) est vraie. \(\square\)"
III. Exemples fondamentaux
Proposition \(P\) : \(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel (non exprimable sous forme \(p/q\) avec \(p, q\) entiers).
Preuve par l'absurde : Supposons \(\sqrt{2}\) rationnel. Il existe alors des entiers \(p\) et \(q > 0\) tels que :
\(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) avec \(\text{PGCD}(p, q) = 1\) (fraction irréductible).
En élevant au carré :
\(2 = \dfrac{p^2}{q^2}\), donc \(p^2 = 2q^2\).
\(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair (si \(p\) était impair, \(p^2\) serait impair). Posons \(p = 2k\).
\((2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2\).
\(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair.
Mais si \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs, \(\text{PGCD}(p,q) \geq 2\) — contradiction avec l'hypothèse \(\text{PGCD}(p,q)=1\).
Proposition \(P\) : l'ensemble des nombres premiers est infini.
Preuve par l'absurde : Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de premiers : \(p_1, p_2, \ldots, p_k\). Considérons :
\(N = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k + 1\)
\(N > 1\) donc \(N\) admet un diviseur premier \(p\). Ce premier \(p\) doit figurer dans la liste \(\{p_1, \ldots, p_k\}\).
Or \(p \mid p_1 \cdots p_k\) et \(p \mid N\), donc \(p \mid (N - p_1\cdots p_k) = 1\).
Aucun entier \(\geq 2\) ne divise 1 — contradiction.
Proposition \(P\) : il n'existe pas de plus grand rationnel strictement inférieur à 1.
Preuve par l'absurde : Supposons qu'il existe un plus grand rationnel \(r\) avec \(0 < r < 1\). Considérons :
\(s = \dfrac{r + 1}{2}\)
\(s\) est rationnel (moyenne de deux rationnels). De plus :
\(r < s\) (car \(r < 1\) implique \(r < \frac{r+1}{2}\)) et \(s < 1\) (car \(r > 0\) implique \(\frac{r+1}{2} < 1\)).
On a trouvé un rationnel \(s \in {]0,1[}\) avec \(s > r\) — contradiction avec le fait que \(r\) était le plus grand.
IV. Absurde vs contraposée — quelle méthode choisir ?
Le raisonnement par l'absurde est souvent confondu avec la contraposée. Il est utile de bien distinguer ces deux techniques.
Pour démontrer "\(P \Rightarrow Q\)", on peut démontrer sa contraposée : "\(\neg Q \Rightarrow \neg P\)". Ces deux implications sont logiquement équivalentes.
La contraposée est un cas particulier "orienté" : on suppose \(\neg Q\) et on déduit \(\neg P\) — sans avoir besoin d'une contradiction interne.
| Méthode | On suppose | On aboutit à | Quand l'utiliser |
|---|---|---|---|
| Directe | Les hypothèses | La conclusion | Quand les calculs s'enchaînent naturellement |
| Contraposée | \(\neg Q\) | \(\neg P\) | Pour "P ⟹ Q" quand la négation de Q est plus exploitable |
| Absurde | \(\neg P\) | Une contradiction | Quand P est une existence, une unicité, ou une impossibilité |
| Récurrence | P(n) (pour un n fixé) | P(n+1) | Pour toute propriété universelle sur ℕ |
Par contraposée : Supposons \(n\) impair. Alors \(n = 2k+1\), donc \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1\) : impair. C'est exactement \(\neg Q \Rightarrow \neg P\). \(\square\)
Par l'absurde : Supposons \(n^2\) pair et \(n\) impair. Alors par le calcul ci-dessus \(n^2\) est impair — contradiction avec \(n^2\) pair. \(\square\)
Bilan : les deux méthodes fonctionnent. Ici la contraposée est légèrement plus directe car on obtient une conclusion (\(n^2\) impair) plutôt qu'une contradiction.
V. Exemples avancés
Preuve par l'absurde : Supposons \(\log_2 3 = \dfrac{p}{q}\) avec \(p, q \in \mathbb{Z}\), \(q > 0\), fraction irréductible.
Par définition du logarithme : \(2^{p/q} = 3\), donc \(2^p = 3^q\).
Le membre gauche \(2^p\) est pair (puissance d'un nombre pair).
Le membre droit \(3^q\) est impair (puissance d'un nombre impair).
Un entier ne peut pas être à la fois pair et impair — contradiction.
Proposition : Si \(p\) est premier et \(p \mid ab\), alors \(p \mid a\) ou \(p \mid b\).
Preuve par l'absurde : Supposons \(p \nmid a\) et \(p \nmid b\). Puisque \(p\) est premier, \(\text{PGCD}(p, a) = 1\) (car les seuls diviseurs de \(p\) sont 1 et \(p\), et \(p \nmid a\)). Par le théorème de Bézout : il existe \(u, v\) tels que \(pu + av = 1\). En multipliant par \(b\) :
\(pbu + abv = b\)
Or \(p \mid p b u\) et \(p \mid ab\) donc \(p \mid abv\). Ainsi \(p \mid (pbu + abv) = b\) — contradiction avec \(p \nmid b\).
VI. Erreurs à éviter
Toujours commencer par "Raisonnons par l'absurde. Supposons que [négation de P]." Sans cette annonce, le lecteur ne comprend pas la structure de la preuve.
La contradiction doit être précise et explicite. "C'est absurde" sans justification ne suffit pas. Il faut énoncer clairement quel énoncé déjà établi est contredit.
Dans la contraposée, on ne cherche pas de contradiction — on déduit directement \(\neg P\) de \(\neg Q\). Dans l'absurde, on suppose \(\neg P\) et on cherche une contradiction dans les conséquences.
Pour prouver qu'un objet n'existe pas, qu'il n'y a qu'une seule solution, qu'un ensemble est infini, ou qu'un nombre est irrationnel — l'absurde est souvent la méthode naturelle.
VII. Raisonnement par l'absurde et logique propositionnelle
Le raisonnement par l'absurde repose sur le principe du tiers exclu : toute proposition est soit vraie, soit fausse (il n'y a pas de troisième option). Si \(\neg P\) est fausse, alors \(P\) est vraie — sans autre possibilité.
En logique classique, ce principe est un axiome fondamental. Dans certaines logiques alternatives (logique intuitionniste), le tiers exclu n'est pas admis — et la preuve par l'absurde n'y est valide que pour certaines propositions. En lycée et dans tout le programme burkinabè, on travaille en logique classique.
Une contradiction en logique est un énoncé de la forme \(A \wedge \neg A\) ("A est vrai et A est faux simultanément"), qui est toujours faux. Obtenir une contradiction dans un raisonnement signifie que les hypothèses de départ ne peuvent pas toutes être vraies.
VIII. Application burkinabè — Ressources et irrationnels
Une commerçante du marché de Tanghin à Ouagadougou cherche deux nombres entiers \(a\) et \(b\) tels que \(\dfrac{a}{b} = \sqrt{3}\). Montrer par l'absurde que cela est impossible.
Preuve : Supposons \(\sqrt{3} = \dfrac{p}{q}\) avec \(\text{PGCD}(p, q) = 1\). Alors :
\(3 = \dfrac{p^2}{q^2}\), donc \(p^2 = 3q^2\).
\(3 \mid p^2\). Or 3 est premier, donc par le lemme d'Euclide, \(3 \mid p\). Posons \(p = 3k\).
\(9k^2 = 3q^2 \Rightarrow q^2 = 3k^2\), donc \(3 \mid q^2\), donc \(3 \mid q\).
Ainsi \(3 \mid p\) et \(3 \mid q\) : \(\text{PGCD}(p,q) \geq 3\) — contradiction.
Un ingénieur agronome du périmètre irrigué de Bagré cherche à partager un canal de longueur \(\sqrt{5}\) mètres en segments de longueur rationnelle égaux. Il affirme : "Je peux trouver une longueur rationnelle \(r\) telle que \(\sqrt{5} = n \times r\) pour un certain entier \(n\)."
- a) Montrer par l'absurde que \(\sqrt{5}\) est irrationnel (adapter la preuve de l'exemple 1).
- b) En déduire que l'affirmation de l'ingénieur est fausse.
- c) Un autre ingénieur propose d'utiliser la longueur \(r = \frac{1}{7}\) mètre. Montrer par l'absurde qu'il n'existe pas d'entier \(n\) tel que \(n \times \frac{1}{7} = \sqrt{5}\).
- d) Montrer par l'absurde que \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) est irrationnel. (Indication : supposer que c'est rationnel, appeler cette valeur \(r\), et calculer \((\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\).)
✏️ Exercices d'application
Démontrer par l'absurde que les nombres suivants sont irrationnels :
- a) \(\sqrt{7}\)
- b) \(\sqrt[3]{2}\) (la racine cubique de 2)
- c) \(1 + \sqrt{2}\)
b) Supposons \(2^{1/3}=p/q\) irréductible. Alors \(p^3=2q^3\), donc \(2\mid p^3\). Comme 2 est premier, \(2\mid p\), posons \(p=2k\). Alors \(8k^3=2q^3\), donc \(q^3=4k^3\), donc \(2\mid q^3\), donc \(2\mid q\). Contradiction. □
c) Supposons \(1+\sqrt{2}=r\) rationnel. Alors \(\sqrt{2}=r-1\) serait rationnel (différence de deux rationnels). Mais \(\sqrt{2}\) est irrationnel (démontré en Exemple 1) — contradiction. □
- a) Démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas d'entier \(n\) tel que \(n^2 = 2\).
- b) Démontrer par l'absurde que si \(n^2\) est divisible par 4, alors \(n\) est pair.
- c) Démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas deux entiers consécutifs dont le produit soit 0 (sauf si l'un est 0).
b) Supposons \(4\mid n^2\) et \(n\) impair. Alors \(n=2k+1\), donc \(n^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1\). Le reste de \(n^2\div4\) est 1, donc \(4\nmid n^2\) — contradiction. □
c) Deux entiers consécutifs s'écrivent \(n\) et \(n+1\). Supposons \(n(n+1)=0\) avec \(n\neq0\) et \(n+1\neq0\). Mais le produit de deux entiers non nuls est non nul — contradiction. (En fait, \(n(n+1)=0\) implique \(n=0\) ou \(n=-1\).) □
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la contraposée ou l'absurde est plus adaptée, puis démontrer :
- a) "Si \(a + b\) est impair, alors \(a\) et \(b\) ne sont pas tous les deux pairs."
- b) "Si \(p\) est premier et \(p > 2\), alors \(p\) est impair."
- c) "Pour tout réel \(x\), si \(x^2 \leq 0\) alors \(x = 0\)."
b) Absurde. Supposons \(p\) premier, \(p>2\), et \(p\) pair. Alors \(2\mid p\). Mais \(p\) est premier, ses seuls diviseurs sont 1 et \(p\). Donc \(p=2\) — contradiction avec \(p>2\). □
c) Absurde. Supposons \(x^2\leq0\) et \(x\neq0\). Or pour tout réel \(x\neq0\), on a \(x^2>0\). Contradiction avec \(x^2\leq0\). □ (On aurait aussi pu faire directement : \(x^2\leq0\) et \(x^2\geq0\) toujours, donc \(x^2=0\), donc \(x=0\).)
- a) Démontrer par l'absurde qu'entre deux rationnels distincts \(r < s\), il en existe toujours un troisième.
- b) Démontrer par l'absurde que l'ensemble des entiers pairs est infini.
- c) Démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas de plus petit réel strictement positif.
b) Supposons l'ensemble des entiers pairs fini : \(\{2, 4, 6, \ldots, 2N\}\) pour un certain \(N\). Alors \(2(N+1)=2N+2\) est pair et strictement supérieur à \(2N\) — contradiction avec le fait que \(2N\) est le plus grand. □
c) Supposons qu'il existe un plus petit réel strictement positif \(\varepsilon > 0\). Alors \(\varepsilon/2 > 0\) et \(\varepsilon/2 < \varepsilon\) — contradiction avec la minimalité de \(\varepsilon\). □
Au marché de Koudougou, un vendeur de céréales dit : "J'ai un sac contenant un nombre \(n\) de grains. Je peux partager ce sac en deux groupes égaux, et aussi en trois groupes égaux, mais quand j'essaie de le partager en cinq groupes égaux, il reste 2 grains."
- a) Traduire ces conditions en congruences sur \(n\).
- b) Démontrer par l'absurde que \(n\) ne peut pas être un multiple de 30.
- c) Le vendeur ajoute : "Mon sac contient moins de 100 grains." Trouver toutes les valeurs possibles de \(n\).
- d) Démontrer par l'absurde que si \(n\) est tel que \(n \equiv 2 \pmod{5}\) et \(n \equiv 0 \pmod{6}\), alors \(n\) n'est pas premier.
"Partager en 3 groupes égaux" : \(3\mid n\), i.e. \(n\equiv0\pmod3\).
"Reste 2 en 5 groupes" : \(n\equiv2\pmod5\).
Donc : \(6\mid n\) (car \(2\mid n\) et \(3\mid n\)) et \(n\equiv2\pmod5\).
b) Supposons \(30\mid n\). Alors \(5\mid n\), donc \(n\equiv0\pmod5\). Mais \(n\equiv2\pmod5\) — contradiction. □
c) \(n\) est multiple de 6 et \(n\equiv2\pmod5\). Multiples de 6 inférieurs à 100 : 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96.
Parmi ceux-ci, \(n\equiv2\pmod5\) signifie \(n\in\{12, 42, 72\}\).
Vérification : \(12=5\times2+2\)✓, \(42=5\times8+2\)✓, \(72=5\times14+2\)✓.
d) Supposons \(n\) premier avec \(6\mid n\) et \(n\equiv2\pmod5\). Puisque \(6\mid n\), on a \(2\mid n\) et \(3\mid n\). Un nombre premier \(\geq2\) n'admet pas d'autre diviseur que 1 et lui-même. Donc \(n=2\) ou \(n=3\). Mais \(2\not\equiv0\pmod3\) et \(3\not\equiv0\pmod2\) — ni 2 ni 3 n'est divisible par 6. Contradiction avec \(6\mid n\). □
À retenir
- Principe : supposer \(\neg P\), développer ses conséquences, aboutir à une contradiction → conclure \(P\) vraie.
- Structure : annoncer "raisonnons par l'absurde", énoncer \(\neg P\), nommer explicitement la contradiction, conclure proprement.
- Cas typiques : irrationnalité (\(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \log_2 3\ldots\)), infinité d'un ensemble, non-existence, unicité.
- Tiers exclu : le raisonnement repose sur le principe que toute proposition est vraie ou fausse (logique classique).
- vs Contraposée : la contraposée est directe (\(\neg Q \Rightarrow \neg P\)) ; l'absurde cherche une contradiction interne. Choisir selon le contexte.
- vs Récurrence : pour les propriétés universelles sur \(\mathbb{N}\), la récurrence est généralement plus adaptée.
- Lemme d'Euclide : si \(p\) premier et \(p\mid ab\), alors \(p\mid a\) ou \(p\mid b\) — preuve par l'absurde, clé pour prouver les irrationnalités.
Module X — Terminé !
Félicitations ! Tu as maîtrisé les 5 leçons du module Arithmétique et Raisonnement.