I. Qu'est-ce qu'un polynôme ?
Un polynôme est une expression algébrique formée d'une somme de termes de la forme \(a_k x^k\), où les \(a_k\) sont des réels (les coefficients) et \(k\) un entier naturel. Le degré est la plus grande puissance dont le coefficient n'est pas nul.
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Nerveux explique : Le rendement \(x\) d'un champ de coton à
Koubri (région du Centre) dépend de la quantité d'eau reçue
selon la formule \(R(x)=-2x^3+15x^2+10x+5\). Cette expression est un polynôme
de degré 3. Plus on s'intéresse à des phénomènes complexes, plus le degré peut être élevé.
Les polynômes sont les briques algébriques de la physique, de l'économie et des sciences de l'ingénieur.
\[P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \qquad (a_n \neq 0)\]
\(a_n\) : coefficient dominant | \(n\) : degré | \(a_0 = P(0)\) : terme constant
Vocabulaire selon le degré
| Degré | Nom | Forme générale | Exemple |
|---|---|---|---|
| 0 | Constante | \(a_0\) | \(7\) |
| 1 | Polynôme du 1er degré | \(ax+b\ (a\neq0)\) | \(3x-5\) |
| 2 | Trinôme du 2nd degré | \(ax^2+bx+c\ (a\neq0)\) | \(2x^2-x+4\) |
| 3 | Polynôme cubique | \(ax^3+bx^2+cx+d\) | \(x^3-3x+2\) |
| \(n\) | Polynôme de degré \(n\) | \(a_nx^n+\cdots+a_0\) | — |
Propriétés des degrés :
\(\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\,\deg Q)\) | \(\deg(P\times Q)=\deg P+\deg Q\) | \(\deg(P')=\deg P-1\)
\(\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\,\deg Q)\) | \(\deg(P\times Q)=\deg P+\deg Q\) | \(\deg(P')=\deg P-1\)
II. Racines d'un polynôme
Une racine (ou zéro) d'un polynôme \(P\) est un réel \(r\) tel que \(P(r)=0\). Géométriquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la courbe \(y=P(x)\) avec l'axe des abscisses.
\(r\) est une racine de \(P \;\iff\; P(r)=0 \;\iff\; (x-r)\text{ divise }P(x)\)
Théorème du facteur — ces trois conditions sont équivalentes
Nombre maximum de racines : Un polynôme de degré \(n\) admet
au plus \(n\) racines réelles. Un polynôme de degré 2 a 0, 1 ou 2
racines. Un polynôme de degré 3 a toujours au moins une racine réelle.
Chercher une racine entière évidente
Méthode : Si \(r\) est une racine entière de \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\),
alors \(r\) est nécessairement un diviseur entier du terme constant \(a_0\).
On teste dans l'ordre : \(\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\) jusqu'à trouver \(P(r)=0\).
⚠️ Cette méthode ne trouve que les racines entières — un polynôme peut avoir des racines non entières (irrationnelles, etc.).
⚠️ Cette méthode ne trouve que les racines entières — un polynôme peut avoir des racines non entières (irrationnelles, etc.).
III. Théorème du facteur
Théorème du facteur
\(P(r)=0 \;\iff\; \exists\) un polynôme \(Q\) tel que \(\;P(x)=(x-r)\cdot Q(x)\)
\(\deg Q=\deg P-1\). On obtient \(Q\) par division euclidienne ou par identification des coefficients.
Stratégie de factorisation d'un polynôme de degré ≥ 3
- Étape 1 : Chercher une racine évidente \(r\) parmi les diviseurs de \(a_0\).
- Étape 2 : Écrire \(P(x)=(x-r)\cdot Q(x)\) en trouvant \(Q\) par division euclidienne ou coefficients indéterminés.
- Étape 3 : Factoriser \(Q\) si possible (discriminant, nouvelle racine évidente…).
- Étape 4 : Vérifier le résultat final en développant.
IV. Division euclidienne des polynômes — méthode détaillée
La division euclidienne des polynômes est la méthode principale pour trouver le quotient \(Q\) et le reste \(R\) tels que \(A = B \cdot Q + R\) avec \(\deg R < \deg B\). Elle se fait terme par terme, exactement comme la division des entiers.
\[A(x) = B(x)\cdot Q(x) + R(x) \qquad \deg R < \deg B\]
Si \(R=0\), \(B\) divise \(A\). Le reste de la division de \(P\) par \((x-r)\) vaut toujours \(P(r)\).
Règles fondamentales de la division euclidienne
1
Écrire les polynômes en ordre décroissant de degré. Inclure les termes manquants avec le coefficient \(0\) (ex : écrire \(x^3 + 0x^2 - 7x + 6\)).
2
Diviser le terme de tête du dividende par le terme de tête du diviseur → premier terme du quotient.
3
Multiplier ce premier terme du quotient par le diviseur entier, puis soustraire le résultat du dividende. Attention aux signes !
4
Abaisser le terme suivant (ou continuer avec le reste obtenu) et répéter jusqu'à ce que le degré du reste soit strictement inférieur au degré du diviseur.
5
Vérifier : \(B \times Q + R\) doit redonner exactement \(A\).
V. Division euclidienne — exemples pas à pas
Exemple 1 — Division par un binôme \((x-r)\)
Diviser \(A(x)=x^3-3x^2+x+2\) par \(B(x)=x-2\).
On dispose les polynômes. Le diviseur \(B=x-2\) est de degré 1, donc le quotient \(Q\) sera de degré \(3-1=2\).
Division euclidienne — disposition en colonnes
\(x^3 - 3x^2 + x + 2\) divisé par \(x - 2\)
1er terme : \(x^3 \div x = x^2\) → premier terme du quotient : \(x^2\)
− Multiplier : \(x^2\times(x-2) = x^3 - 2x^2\)
Reste intermédiaire : \((x^3-3x^2)-(x^3-2x^2) = -x^2\) ↓ abaisser : \(-x^2+x\)
2ème terme : \(-x^2 \div x = -x\) → deuxième terme du quotient : \(-x\)
− Multiplier : \(-x\times(x-2) = -x^2+2x\)
Reste intermédiaire : \((-x^2+x)-(-x^2+2x) = -x\) ↓ abaisser : \(-x+2\)
3ème terme : \(-x \div x = -1\) → troisième terme du quotient : \(-1\)
− Multiplier : \(-1\times(x-2) = -x+2\)
Reste final : \((-x+2)-(-x+2) = \mathbf{0}\)
Résultat : \(Q(x) = x^2 - x - 1\), reste \(R = 0\). Donc \((x-2)\) divise \(A(x)\) : \(x=2\) est une racine !
Vérification : \((x-2)(x^2-x-1)=x^3-x^2-x-2x^2+2x+2=x^3-3x^2+x+2\) ✓
\(A(x)=(x-2)(x^2-x-1)\)
Exemple 2 — Division avec reste non nul
Diviser \(A(x)=2x^3-3x^2+1\) par \(B(x)=x-2\).
Attention : le terme en \(x\) est absent. On écrit \(2x^3-3x^2+0x+1\).
Division euclidienne — \(2x^3-3x^2+0x+1\) par \(x-2\)
1er terme : \(2x^3 \div x = 2x^2\)
− \(2x^2\times(x-2) = 2x^3-4x^2\)
Reste : \((2x^3-3x^2)-(2x^3-4x^2) = x^2\) ↓ \(x^2+0x\)
2ème terme : \(x^2 \div x = x\)
− \(x\times(x-2) = x^2-2x\)
Reste : \((x^2+0x)-(x^2-2x) = 2x\) ↓ \(2x+1\)
3ème terme : \(2x \div x = 2\)
− \(2\times(x-2) = 2x-4\)
Reste final : \((2x+1)-(2x-4) = \mathbf{5}\) ← reste de degré 0 < degré du diviseur ✓
Quotient : \(Q(x)=2x^2+x+2\), reste \(R=5\).
Vérification : \((x-2)(2x^2+x+2)+5=2x^3+x^2+2x-4x^2-2x-4+5=2x^3-3x^2+1\) ✓
\(2x^3-3x^2+1=(x-2)(2x^2+x+2)+5\)
Exemple 3 — Division par un polynôme de degré 2
Diviser \(A(x)=x^3+2x^2-x+4\) par \(B(x)=x^2+1\).
Le diviseur est de degré 2, donc le reste sera de degré au plus 1 : \(R(x)=cx+d\). Le quotient sera de degré 1 : \(Q(x)=ax+b\).
Division euclidienne — \(x^3+2x^2-x+4\) par \(x^2+1\)
1er terme : \(x^3 \div x^2 = x\)
− \(x\times(x^2+1) = x^3+x\)
Reste : \((x^3+2x^2-x)-(x^3+x) = 2x^2-2x\) ↓ \(2x^2-2x+4\)
2ème terme : \(2x^2 \div x^2 = 2\)
− \(2\times(x^2+1) = 2x^2+2\)
Reste final : \((2x^2-2x+4)-(2x^2+2)=\mathbf{-2x+2}\) ← degré 1 < degré 2 ✓
Quotient : \(Q(x)=x+2\), reste \(R(x)=-2x+2\).
\(x^3+2x^2-x+4=(x^2+1)(x+2)+(-2x+2)\)
VI. Méthode des coefficients indéterminés
La méthode des coefficients indéterminés est une alternative à la division euclidienne. Elle est parfois plus rapide, surtout quand on connaît déjà la forme du quotient. Au lieu de diviser, on suppose la forme de \(Q\) et on identifie les coefficients en développant.
Principe : Si \(\deg A = n\) et \(\deg B = p\), alors \(\deg Q = n-p\) et \(\deg R \leq p-1\).
On écrit \(Q(x) = a_{n-p}x^{n-p}+\cdots+a_0\) et \(R(x)=r_{p-1}x^{p-1}+\cdots+r_0\)
avec des coefficients inconnus, puis on développe \(B\cdot Q+R\) et on
l'égale à \(A\) terme par terme (identification).
Exemple 4 — Coefficients indéterminés (même division que l'Exemple 1)
Trouver \(Q\) et \(R\) tels que \(x^3-3x^2+x+2=(x-2)\cdot Q(x)+R\) en utilisant les coefficients indéterminés.
\(\deg A=3\), \(\deg B=1\), donc \(\deg Q=2\) et \(R\) est une constante (degré 0 < 1).
On pose \(Q(x)=ax^2+bx+c\) et \(R=d\) (constante).
On développe le membre de droite :
\((x-2)(ax^2+bx+c)+d\)
\(= ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c+d\)
\(= ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x+(-2c+d)\)
\(= ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c+d\)
\(= ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x+(-2c+d)\)
On identifie avec \(x^3-3x^2+x+2\) terme par terme :
Degré 3 : \(a = 1\)
Degré 2 : \(b-2a = -3 \implies b = -3+2 = -1\)
Degré 1 : \(c-2b = 1 \implies c = 1+2(-1) = -1\)
Degré 0 : \(-2c+d = 2 \implies d = 2+2(-1) = 0\)
Degré 2 : \(b-2a = -3 \implies b = -3+2 = -1\)
Degré 1 : \(c-2b = 1 \implies c = 1+2(-1) = -1\)
Degré 0 : \(-2c+d = 2 \implies d = 2+2(-1) = 0\)
\(Q(x)=x^2-x-1\), \(R=0\) — même résultat que la division euclidienne ✓
Exemple 5 — Coefficients indéterminés avec reste polynomial
Trouver \(Q\) et \(R\) tels que \(2x^3+x^2-5x+2=(x^2-1)\cdot Q(x)+R(x)\).
\(\deg B=2\), donc \(\deg Q=1\) et \(\deg R\leq 1\). On pose \(Q(x)=ax+b\) et \(R(x)=cx+d\).
\((x^2-1)(ax+b)+(cx+d)\)
\(= ax^3+bx^2-ax-b+cx+d\)
\(= ax^3+bx^2+(-a+c)x+(-b+d)\)
\(= ax^3+bx^2-ax-b+cx+d\)
\(= ax^3+bx^2+(-a+c)x+(-b+d)\)
Identification avec \(2x^3+x^2-5x+2\) :
\(a=2\)
\(b=1\)
\(-a+c=-5 \implies c=-5+2=-3\)
\(-b+d=2 \implies d=2+1=3\)
\(b=1\)
\(-a+c=-5 \implies c=-5+2=-3\)
\(-b+d=2 \implies d=2+1=3\)
\(2x^3+x^2-5x+2=(x^2-1)(2x+1)+(-3x+3)\) | Vérif : \((x^2-1)(2x+1)-3x+3=2x^3+x^2-2x-1-3x+3=2x^3+x^2-5x+2\) ✓
Division euclidienne vs coefficients indéterminés — quand utiliser quoi ?
Division euclidienne : méthode universelle, toujours applicable. Recommandée quand le diviseur est de degré 1 ou 2. Elle est systématique et peu sujette aux erreurs de signe si on suit bien les étapes.
Coefficients indéterminés : plus rapide quand on connaît déjà le reste (ex : on sait que \(R=0\) car \(r\) est une racine). Aussi utile pour vérifier un résultat ou quand le diviseur est de degré élevé.
Les deux méthodes donnent exactement le même résultat — ce sont deux façons d'écrire la même égalité \(A=BQ+R\).
VII. Factorisation complète — exemple complet
Exemple 6 — Factorisation complète de degré 3
Factoriser complètement \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\).
Étape 1 — Chercher une racine évidente : terme constant = \(-6\), diviseurs : \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\).
\(P(1)=1-6+11-6=0\) ✓ → \(x=1\) est racine, donc \((x-1)\) divise \(P\).
Étape 2 — Division euclidienne de \(P\) par \((x-1)\) :
Division de \(x^3-6x^2+11x-6\) par \(x-1\)
1er : \(x^3\div x = x^2\) | \(-\) \(x^2(x-1)=x^3-x^2\)
Reste : \(-5x^2+11x\)
2ème : \(-5x^2\div x=-5x\) | \(-\) \(-5x(x-1)=-5x^2+5x\)
Reste : \(6x-6\)
3ème : \(6x\div x=6\) | \(-\) \(6(x-1)=6x-6\)
Reste final : \(\mathbf{0}\) ✓
Quotient : \(Q(x)=x^2-5x+6\). Donc \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\).
Étape 3 — Factoriser \(Q(x)=x^2-5x+6\) :
\(\Delta=25-24=1>0\) → racines \(\dfrac{5\pm1}{2}\) → \(x=3\) ou \(x=2\)
Donc \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).
Vérification : \((x-1)(x-2)(x-3)=\ldots=x^3-6x^2+11x-6\) ✓
\(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) ← factorisation complète
VIII. Visualisation — courbe et racines
Les racines 1, 2 et 3 sont exactement les points où la courbe coupe l'axe des abscisses. Entre deux racines consécutives, le signe du polynôme est constant.
Erreurs fréquentes à éviter :
- Oublier les termes à coefficient nul dans la division (toujours écrire \(+0x^k\))
- Erreur de signe lors de la soustraction (le signe \(-\) s'applique à tous les termes)
- S'arrêter trop tôt — continuer tant que \(\deg(\text{reste})\geq\deg(\text{diviseur})\)
- Ne pas vérifier le résultat final en développant \(B\cdot Q+R\)
IX. Application concrète ⭐
⭐ Situation concrète
Réseau d'eau de l'ONEA à Ouagadougou
Un ingénieur de l'ONEA modélise la pression dans un réseau d'eau à Ouagadougou par \(P(t)=t^3-4t^2+t+6\), où \(t\) est l'heure (\(0\leq t\leq24\)).
- a) Montrer que \(t=-1\) est une racine de \(P\).
- b) Factoriser \(P(t)\) en utilisant la division euclidienne.
- c) Factoriser complètement en trouvant les autres racines.
- d) Sur \([0\,;\,24]\), à quels moments la pression est-elle nulle ? Interpréter.
Exemple 7 — ONEA, solution complète
Résolution pas à pas
a) \(P(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0\) ✓ → \(t=-1\) est bien une racine.
b) Division euclidienne de \(t^3-4t^2+t+6\) par \((t+1)\) :
Division de \(t^3-4t^2+t+6\) par \(t+1\)
1er : \(t^3\div t=t^2\) | \(-\) \(t^2(t+1)=t^3+t^2\)
Reste : \(-5t^2+t\)
2ème : \(-5t^2\div t=-5t\) | \(-\) \(-5t(t+1)=-5t^2-5t\)
Reste : \(6t+6\)
3ème : \(6t\div t=6\) | \(-\) \(6(t+1)=6t+6\)
Reste final : \(\mathbf{0}\) ✓
Quotient : \(Q(t)=t^2-5t+6\). Donc \(P(t)=(t+1)(t^2-5t+6)\).
c) Factoriser \(t^2-5t+6\) :
\(\Delta=25-24=1\) → racines \(\dfrac{5\pm1}{2}\) → \(t=2\) ou \(t=3\).
\(P(t)=(t+1)(t-2)(t-3)\)
d) Sur \([0\,;\,24]\), \(P(t)=0\) pour \(t=-1,\,2,\,3\). Seuls \(t=2\) et \(t=3\) sont dans \([0\,;\,24]\).
La pression est nulle à 2h du matin et 3h du matin. L'ingénieur doit surveiller et renforcer le réseau pendant cette tranche horaire.
✏️ Exercices d'application
Exercice 1 — Vocabulaire et évaluation
Soit \(P(x)=3x^4-2x^3+x-5\).
- a) Quel est le degré de \(P\) ? Son coefficient dominant ? Son terme constant ?
- b) Calculer \(P(0)\), \(P(1)\) et \(P(-1)\).
- c) \(x=1\) est-il une racine de \(P\) ?
a) Degré : 4 | Coefficient dominant : 3 | Terme constant : \(-5\)
b) \(P(0)=-5\) | \(P(1)=3-2+1-5=\mathbf{-3}\) | \(P(-1)=3+2-1-5=\mathbf{-1}\)
c) \(P(1)=-3\neq0\) → \(x=1\) n'est pas une racine de \(P\).
b) \(P(0)=-5\) | \(P(1)=3-2+1-5=\mathbf{-3}\) | \(P(-1)=3+2-1-5=\mathbf{-1}\)
c) \(P(1)=-3\neq0\) → \(x=1\) n'est pas une racine de \(P\).
Exercice 2 — Division euclidienne complète
Effectuer la division euclidienne de \(A(x)=2x^3+x^2-5x+2\) par \(B(x)=x-1\) en montrant toutes les étapes, puis vérifier le résultat.
Test : \(A(1)=2+1-5+2=0\) → reste = 0, \(x=1\) est racine.
Division :
1er terme : \(2x^3\div x=2x^2\) | \(2x^2(x-1)=2x^3-2x^2\) | Reste : \(3x^2-5x\)
2ème terme : \(3x^2\div x=3x\) | \(3x(x-1)=3x^2-3x\) | Reste : \(-2x+2\)
3ème terme : \(-2x\div x=-2\) | \(-2(x-1)=-2x+2\) | Reste : \(\mathbf{0}\)
Quotient : \(Q(x)=2x^2+3x-2\)
Factoriser \(Q\) : \(\Delta=9+16=25\) → racines \(\frac{-3\pm5}{4}\) → \(x=\frac{1}{2}\) ou \(x=-2\)
\(A(x)=(x-1)(2x-1)(x+2)\)
Vérif : \((x-1)(2x^2+3x-2)=2x^3+3x^2-2x-2x^2-3x+2=2x^3+x^2-5x+2\) ✓
Division :
1er terme : \(2x^3\div x=2x^2\) | \(2x^2(x-1)=2x^3-2x^2\) | Reste : \(3x^2-5x\)
2ème terme : \(3x^2\div x=3x\) | \(3x(x-1)=3x^2-3x\) | Reste : \(-2x+2\)
3ème terme : \(-2x\div x=-2\) | \(-2(x-1)=-2x+2\) | Reste : \(\mathbf{0}\)
Quotient : \(Q(x)=2x^2+3x-2\)
Factoriser \(Q\) : \(\Delta=9+16=25\) → racines \(\frac{-3\pm5}{4}\) → \(x=\frac{1}{2}\) ou \(x=-2\)
\(A(x)=(x-1)(2x-1)(x+2)\)
Vérif : \((x-1)(2x^2+3x-2)=2x^3+3x^2-2x-2x^2-3x+2=2x^3+x^2-5x+2\) ✓
Exercice 3 — Coefficients indéterminés
En utilisant la méthode des coefficients indéterminés, trouver \(Q(x)\) et \(R(x)\) tels que :
- a) \(x^3+x^2-2=(x-1)\cdot Q(x)+R\)
- b) \(3x^3-2x^2+x-1=(x^2+x)\cdot Q(x)+R(x)\)
a) \(\deg B=1\), donc \(\deg Q=2\), \(R=d\). Posons \(Q=ax^2+bx+c\).
\((x-1)(ax^2+bx+c)+d=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x+(-c+d)\)
Identification : \(a=1\) ; \(b-a=1\Rightarrow b=2\) ; \(c-b=0\Rightarrow c=2\) ; \(-c+d=-2\Rightarrow d=0\).
\(Q(x)=x^2+2x+2\), \(R=0\). Vérif : \((x-1)(x^2+2x+2)=x^3+2x^2+2x-x^2-2x-2=x^3+x^2-2\) ✓
b) \(\deg B=2\), donc \(\deg Q=1\), \(\deg R\leq1\). Posons \(Q=ax+b\), \(R=cx+d\).
\((x^2+x)(ax+b)+cx+d=ax^3+bx^2+ax^2+bx+cx+d=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+d\)
Identification : \(a=3\) ; \(a+b=-2\Rightarrow b=-5\) ; \(b+c=1\Rightarrow c=6\) ; \(d=-1\).
\(Q(x)=3x-5\), \(R(x)=6x-1\).
\((x-1)(ax^2+bx+c)+d=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x+(-c+d)\)
Identification : \(a=1\) ; \(b-a=1\Rightarrow b=2\) ; \(c-b=0\Rightarrow c=2\) ; \(-c+d=-2\Rightarrow d=0\).
\(Q(x)=x^2+2x+2\), \(R=0\). Vérif : \((x-1)(x^2+2x+2)=x^3+2x^2+2x-x^2-2x-2=x^3+x^2-2\) ✓
b) \(\deg B=2\), donc \(\deg Q=1\), \(\deg R\leq1\). Posons \(Q=ax+b\), \(R=cx+d\).
\((x^2+x)(ax+b)+cx+d=ax^3+bx^2+ax^2+bx+cx+d=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+d\)
Identification : \(a=3\) ; \(a+b=-2\Rightarrow b=-5\) ; \(b+c=1\Rightarrow c=6\) ; \(d=-1\).
\(Q(x)=3x-5\), \(R(x)=6x-1\).
Exercice 4 — Factorisation par racines
Factoriser complètement les polynômes suivants en cherchant d'abord une racine évidente, puis en effectuant la division euclidienne.
- a) \(P(x)=x^3+2x^2-5x-6\)
- b) \(P(x)=2x^3-5x^2-x+6\)
a) Termc constant \(-6\), tester : \(P(2)=8+8-10-6=0\) ✓ → racine \(r=2\).
Division de \(x^3+2x^2-5x-6\) par \(x-2\) :
\(x^3\div x=x^2\) | \(-\) \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\) | Reste : \(4x^2-5x\)
\(4x^2\div x=4x\) | \(-\) \(4x(x-2)=4x^2-8x\) | Reste : \(3x-6\)
\(3x\div x=3\) | \(-\) \(3(x-2)=3x-6\) | Reste : 0
\(Q(x)=x^2+4x+3\) | \(\Delta=4\) → racines \(-1\) et \(-3\)
\(P(x)=(x-2)(x+1)(x+3)\)
b) Tester : \(P(1)=2-5-1+6=2\neq0\) ; \(P(-1)=-2-5+1+6=0\) ✓ → racine \(r=-1\).
Division de \(2x^3-5x^2-x+6\) par \(x+1\) :
\(2x^3\div x=2x^2\) | \(-\) \(2x^2(x+1)=2x^3+2x^2\) | Reste : \(-7x^2-x\)
\(-7x^2\div x=-7x\) | \(-\) \(-7x(x+1)=-7x^2-7x\) | Reste : \(6x+6\)
\(6x\div x=6\) | \(-\) \(6(x+1)=6x+6\) | Reste : 0
\(Q(x)=2x^2-7x+6\) | \(\Delta=49-48=1\) → racines \(\frac{7\pm1}{4}\) → \(x=2\) ou \(x=\frac{3}{2}\)
\(P(x)=(x+1)(x-2)(2x-3)\)
Division de \(x^3+2x^2-5x-6\) par \(x-2\) :
\(x^3\div x=x^2\) | \(-\) \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\) | Reste : \(4x^2-5x\)
\(4x^2\div x=4x\) | \(-\) \(4x(x-2)=4x^2-8x\) | Reste : \(3x-6\)
\(3x\div x=3\) | \(-\) \(3(x-2)=3x-6\) | Reste : 0
\(Q(x)=x^2+4x+3\) | \(\Delta=4\) → racines \(-1\) et \(-3\)
\(P(x)=(x-2)(x+1)(x+3)\)
b) Tester : \(P(1)=2-5-1+6=2\neq0\) ; \(P(-1)=-2-5+1+6=0\) ✓ → racine \(r=-1\).
Division de \(2x^3-5x^2-x+6\) par \(x+1\) :
\(2x^3\div x=2x^2\) | \(-\) \(2x^2(x+1)=2x^3+2x^2\) | Reste : \(-7x^2-x\)
\(-7x^2\div x=-7x\) | \(-\) \(-7x(x+1)=-7x^2-7x\) | Reste : \(6x+6\)
\(6x\div x=6\) | \(-\) \(6(x+1)=6x+6\) | Reste : 0
\(Q(x)=2x^2-7x+6\) | \(\Delta=49-48=1\) → racines \(\frac{7\pm1}{4}\) → \(x=2\) ou \(x=\frac{3}{2}\)
\(P(x)=(x+1)(x-2)(2x-3)\)
Exercice 5 — Citerne artisanale de Banfora ⭐
Le volume (en m³) d'une citerne artisanale fabriquée à Banfora est modélisé par \(V(x)=x^3-7x+6\), où \(x>0\) est la hauteur en mètres.
- a) Vérifier que \(x=1\) est une racine, puis effectuer la division euclidienne de \(V\) par \((x-1)\).
- b) Factoriser complètement \(V(x)\).
- c) Résoudre \(V(x)=0\) pour \(x>0\) et interpréter.
a) \(V(1)=1-7+6=0\) ✓ → \(x=1\) est racine.
Division de \(x^3+0x^2-7x+6\) par \(x-1\) (attention au terme manquant !) :
\(x^3\div x=x^2\) | \(-\) \(x^2(x-1)=x^3-x^2\) | Reste : \(x^2-7x\)
\(x^2\div x=x\) | \(-\) \(x(x-1)=x^2-x\) | Reste : \(-6x+6\)
\(-6x\div x=-6\) | \(-\) \(-6(x-1)=-6x+6\) | Reste : 0
Quotient : \(Q(x)=x^2+x-6\)
b) \(\Delta=1+24=25\) → racines \(\frac{-1\pm5}{2}\) → \(x=2\) ou \(x=-3\).
\(V(x)=(x-1)(x-2)(x+3)\)
c) Pour \(x>0\) : \(x=1\) m ou \(x=2\) m (\(x=-3\) hors contexte).
Ces valeurs correspondent à des dimensions limites où le modèle polynomial donne un volume nul — l'ingénieur doit éviter ces hauteurs de construction.
Division de \(x^3+0x^2-7x+6\) par \(x-1\) (attention au terme manquant !) :
\(x^3\div x=x^2\) | \(-\) \(x^2(x-1)=x^3-x^2\) | Reste : \(x^2-7x\)
\(x^2\div x=x\) | \(-\) \(x(x-1)=x^2-x\) | Reste : \(-6x+6\)
\(-6x\div x=-6\) | \(-\) \(-6(x-1)=-6x+6\) | Reste : 0
Quotient : \(Q(x)=x^2+x-6\)
b) \(\Delta=1+24=25\) → racines \(\frac{-1\pm5}{2}\) → \(x=2\) ou \(x=-3\).
\(V(x)=(x-1)(x-2)(x+3)\)
c) Pour \(x>0\) : \(x=1\) m ou \(x=2\) m (\(x=-3\) hors contexte).
Ces valeurs correspondent à des dimensions limites où le modèle polynomial donne un volume nul — l'ingénieur doit éviter ces hauteurs de construction.
À retenir — Polynômes
- Un polynôme de degré \(n\) a au plus \(n\) racines réelles.
- Théorème du facteur : \(r\) est racine \(\iff P(r)=0\iff(x-r)\mid P(x)\).
- Division euclidienne : \(A=B\cdot Q+R\) avec \(\deg R<\deg B\) — toujours écrire les termes manquants avec coefficient 0, et vérifier en développant.
- Coefficients indéterminés : poser \(Q\) et \(R\) sous forme générale, développer \(BQ+R\) et égaler à \(A\) terme par terme.
- Le reste de la division de \(P\) par \((x-r)\) est \(P(r)\) — si \(P(r)=0\), le reste est nul et \(r\) est une racine.
- Propriétés des degrés : \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\) | \(\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)\).