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Leçon 4 — Polynômes : définitions, racines et factorisation

Définir, évaluer et factoriser un polynôme — théorème du facteur, division euclidienne et schéma de Horner

I. Qu'est-ce qu'un polynôme ?

Un polynôme est une expression algébrique formée d'une somme de termes de la forme \(a_n x^n\), où les \(a_n\) sont des réels (les coefficients) et \(n\) un entier naturel. Le degré est la plus grande puissance dont le coefficient n'est pas nul.

Pourquoi c’est important ?
Les polynômes servent à modéliser de nombreux phénomènes :
  • la trajectoire d’un objet en physique
  • l’évolution d’une population
  • l’optimisation en économie
Ils sont une base essentielle pour les mathématiques et les sciences.
mascotte Nerveux
Nerveux explique : Le rendement \(x\) d'un champ de coton à Koubri (région du Centre) dépend de la quantité d'eau reçue selon la formule \(R(x)=-2x^3+15x^2+10x+5\). Cette expression est un polynôme de degré 3 ! Plus on s'intéresse à des phénomènes complexes — comme la croissance des cultures en fonction de plusieurs facteurs — plus le degré peut être élevé. Les polynômes sont les briques algébriques fondamentales des sciences.
\[P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\] \(a_n \neq 0\) est le coefficient dominant, \(n\) est le degré, \(a_0 = P(0)\) est le terme constant

Vocabulaire selon le degré

DegréNomForme généraleExemple
0Polynôme constant\(P(x)=a_0\)\(P(x)=7\)
1Polynôme du 1er degré\(ax+b\ (a\neq0)\)\(3x-5\)
2Trinôme du 2nd degré\(ax^2+bx+c\ (a\neq0)\)\(2x^2-x+4\)
3Polynôme cubique\(ax^3+bx^2+cx+d\)\(x^3-3x+2\)
\(n\)Polynôme de degré \(n\)\(a_nx^n+\cdots+a_0\)—
Propriétés des degrés :
\(\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\,\deg Q)\)  |  \(\deg(P\times Q)=\deg P+\deg Q\)

II. Racines d'un polynôme

Une racine (ou zéro) d'un polynôme \(P\) est un réel \(r\) tel que \(P(r)=0\). Géométriquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la courbe \(y=P(x)\) avec l'axe des abscisses.

\(r\) est une racine de \(P \;\iff\; P(r)=0 \;\iff\; (x-r)\text{ divise }P(x)\) Théorème du facteur — ces trois propriétés sont équivalentes
Nombre maximum de racines : Un polynôme de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines réelles. Un polynôme de degré 2 a 0, 1 ou 2 racines réelles. Un polynôme de degré 3 a 1, 2 ou 3 racines réelles (toujours au moins une !).
Comment choisir les valeurs à tester ?
Pour un polynôme à coefficients entiers :
  • Tester les diviseurs du terme constant
  • Tester aussi leurs opposés
👉 Exemple : pour \(P(x)=x^3-3x^2-4x+12\), tester \(±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12\)

III. Théorème du facteur et factorisation

Théorème du facteur

\(P(r)=0 \;\iff\; \exists\) un polynôme \(Q\) tel que \(P(x)=(x-r)\cdot Q(x)\)

\(\deg Q=\deg P-1\). On obtient \(Q\) par division euclidienne ou par identification des coefficients.

Ce théorème est la clé pour factoriser un polynôme de degré \(\geq3\) : une fois une racine \(r\) trouvée, on divise \(P\) par \((x-r)\) pour obtenir \(Q\), puis on factorise \(Q\) si possible (discriminant du trinôme, nouvelles racines…).

IV. Division euclidienne des polynômes

Comme pour les entiers, on peut diviser un polynôme \(A\) par un polynôme \(B\) non nul : il existe un unique quotient \(Q\) et un unique reste \(R\) avec \(\deg R < \deg B\).

\[A(x) = B(x)\cdot Q(x) + R(x) \quad \text{avec}\quad \deg R < \deg B\] Si \(R=0\), on dit que \(B\) divise \(A\), ou que \(A\) est multiple de \(B\)

Méthode de la division euclidienne

1
Diviser le terme de plus haut degré de \(A\) par le terme de plus haut degré de \(B\) → premier terme de \(Q\).
2
Multiplier ce terme par \(B\) et soustraire du dividende courant.
3
Répéter jusqu'à ce que le degré du reste soit strictement inférieur au degré de \(B\).
4
Vérifier : \(B\times Q+R\) doit redonner \(A\).

Division euclidienne de polynômes

Principe :
Comme avec les nombres, on peut diviser un polynôme \(P(x)\) par un autre \(D(x)\) :

\(P(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x)\)

où :
  • \(Q(x)\) est le quotient
  • \(R(x)\) est le reste (de degré strictement inférieur à celui de \(D\))
Exemple : Diviser \(P(x)=x^3-3x^2-4x+12\) par \((x-2)\)
👉 On procède comme une division classique. 
        x² - x - 6
      ----------------
x - 2 | x³ - 3x² - 4x + 12
        x³ - 2x²
        ------------
           -x² - 4x
           -x² + 2x
           ----------
               -6x + 12
               -6x + 12
               ----------
                     0

Conclusion : \(P(x) = (x-2)(x^2 - x - 6)\)

Comment trouver une factorisation ?

Méthode complète

Étape 1 : Chercher une racine simple (tester des valeurs)

👉 Si \(P(r)=0\), alors \((x-r)\) est un facteur

Étape 2 : Diviser \(P(x)\) par \((x-r)\)

Étape 3 : Factoriser le quotient obtenu

Étape 4 : Vérifier

Autre méthode : factorisation par regroupement

Exemple : Factoriser \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12\)

On regroupe :

\((x^3 - 3x^2) + (-4x + 12)\)

\(= x^2(x - 3) -4(x - 3)\)

On factorise :

\((x - 3)(x^2 - 4)\)

Et encore :

\((x - 3)(x - 2)(x + 2)\)

Astuce clé : le reste de la division de \(P\) par \((x-r)\) est toujours égal à \(P(r)\). Si \(P(r)=0\) → reste nul → \((x-r)\) divise \(P\) → \(r\) est une racine.
Point important :
Si le reste est différent de 0, alors \((x-r)\) n’est PAS un facteur.

V. Exemples détaillés

👉 Essayez de calculer \(P(2)\) avant de lire la solution.
Exemple 1 — Vérifier et utiliser une racine
Montrer que \(x=2\) est une racine de \(P(x)=x^3-3x^2+x+2\), puis factoriser \(P\).
\(P(2)=8-12+2+2=0\) ✓  → \(x=2\) est bien une racine.
D'après le théorème du facteur : \(P(x)=(x-2)\cdot Q(x)\) avec \(\deg Q=2\).
Division de \(x^3-3x^2+x+2\) par \((x-2)\) :
\(P(x)=(x-2)(x^2-x-1)\)
Vérif : \((x-2)(x^2-x-1)=x^3-x^2-x-2x^2+2x+2=x^3-3x^2+x+2\) ✓
Discriminant de \(x^2-x-1\) : \(\Delta=1+4=5>0\) → racines \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
\(P(x)=(x-2)(x^2-x-1)\)  |  Racines : \(2\,;\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\,;\,\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Exemple 2 — Division euclidienne complète
Effectuer la division euclidienne de \(A(x)=2x^3+x^2-5x+2\) par \(B(x)=x-1\).
Test : \(A(1)=2+1-5+2=0\) → \(x=1\) est racine, reste \(=0\).
Schéma de Horner avec \(r=1\), coefficients de \(A\) : \(2,\ 1,\ -5,\ 2\)
Coefficients 21\(-5\)2
\(\times\ r=1\) 23\(-2\)
Résultat 23\(-2\)0
Quotient : \(Q(x)=2x^2+3x-2\)  |  Reste : \(R=0\)
Factoriser \(Q\) : \(\Delta=9+16=25\) → racines \(\frac{-3\pm5}{4}\) → \(x=\frac{1}{2}\) ou \(x=-2\)
\(A(x)=(x-1)(2x-1)(x+2)\)   [trois racines : \(1,\ \frac{1}{2},\ -2\)]
Exemple 3 — Division avec reste non nul
Diviser \(P(x)=x^3+2x^2-x+4\) par \(B(x)=x^2+1\).
\(\deg B=2\), on cherche \(Q\) de degré 1 : \(Q(x)=ax+b\)
\(x^3+2x^2-x+4=(x^2+1)(ax+b)+(cx+d)\)
\(=ax^3+bx^2+ax+b+cx+d\)
\(=ax^3+bx^2+(a+c)x+(b+d)\)
Identification : \(a=1\,;\;b=2\,;\;a+c=-1\Rightarrow c=-2\,;\;b+d=4\Rightarrow d=2\)
\(P(x)=(x^2+1)(x+2)+(-2x+2)\)  |  Quotient : \(x+2\)  |  Reste : \(-2x+2\)
Exemple 4 — Factorisation complète de degré 3
Factoriser complètement \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\).
Chercher une racine parmi les diviseurs de \(6\) : \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\)
\(P(1)=1-6+11-6=0\) ✓ → racine \(x=1\)
Schéma de Horner avec \(r=1\), coefficients : \(1,\ -6,\ 11,\ -6\) :
Coefficients 1\(-6\)11\(-6\)
\(\times\ r=1\) 1\(-5\)6
Résultat 1\(-5\)60
\(Q(x)=x^2-5x+6\)  |  \(\Delta=25-24=1>0\) → racines \(\frac{5\pm1}{2}\) → \(x=3\) ou \(x=2\)
\(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\)   ← factorisation complète en 3 facteurs du 1er degré
Exemple 5 — Application concrète ⭐ (ONEA, Ouagadougou)
Un ingénieur de l'ONEA modélise la pression dans un réseau d'eau à Ouagadougou par \(P(t)=t^3-4t^2+t+6\), où \(t\) est l'heure (\(0\leq t\leq24\)). Déterminer les instants où la pression est nulle en factorisant \(P(t)\).
Tester \(t=-1\) : \(P(-1)=-1-4-1+6=0\) ✓
Schéma de Horner avec \(r=-1\), coefficients : \(1,\ -4,\ 1,\ 6\) :
Coefficients 1\(-4\)16
\(\times\ r=-1\) \(-1\)5\(-6\)
Résultat 1\(-5\)60
\(Q(t)=t^2-5t+6\)  |  \(\Delta=25-24=1\) → \(t=2\) ou \(t=3\)
\(P(t)=(t+1)(t-2)(t-3)\)
Sur \([0,24]\), la pression est nulle en \(t=2\)h et \(t=3\)h (\(t=-1\) est hors contexte). L'ingénieur doit renforcer le réseau tôt le matin !

VI. Visualisation — courbe et racines

x y x=1 x=2 x=3 P(x)

Courbe de \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\).
Les racines sont les points où la courbe coupe l’axe des abscisses.
Entre deux racines, le signe du polynôme change.

Erreurs fréquentes :
Méthode pour factoriser un polynôme (degré ≥ 3)

1. Chercher une racine simple (tester des valeurs)

2. Diviser par \((x-r)\) (Horner ou division)

3. Factoriser le quotient obtenu

4. Vérifier le résultat final

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Vocabulaire et évaluation

Soit \(P(x)=3x^4-2x^3+x-5\).

  • a) Quel est le degré de \(P\) ? Son coefficient dominant ? Son terme constant ?
  • b) Calculer \(P(0)\), \(P(1)\) et \(P(-1)\).
  • c) \(x=1\) est-il une racine de \(P\) ?
a) Degré : 4  |  Coefficient dominant : 3  |  Terme constant : \(-5\)

b) \(P(0)=-5\)
\(P(1)=3-2+1-5=\mathbf{-3}\)
\(P(-1)=3+2-1-5=\mathbf{-1}\)

c) \(P(1)=-3\neq0\) → \(x=1\) n'est pas une racine de \(P\).
Exercice 2 — Chercher et utiliser une racine évidente

Factoriser \(P(x)=x^3+2x^2-5x-6\) en cherchant d'abord une racine évidente.

Diviseurs de \(-6\) à tester : \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\)
\(P(2)=8+8-10-6=0\) ✓ → racine \(r=2\)

Schéma de Horner (\(r=2\), coefficients : 1, 2, −5, −6) :
    1 | 2 | −5 | −6
     | 2 |  8 |  6
    1 | 4 |  3 |  0 ← reste nul ✓

\(Q(x)=x^2+4x+3\)  |  \(\Delta=16-12=4\) → racines \(\frac{-4\pm2}{2}\) → \(x=-1\) ou \(x=-3\)

\(P(x)=(x-2)(x+1)(x+3)\)
Exercice 3 — Division euclidienne avec reste

Effectuer la division euclidienne de \(A(x)=2x^3-3x^2+1\) par \(B(x)=x-2\), puis vérifier le résultat.

\(A(2)=16-12+1=5\) → reste \(=5\) (non nul, 2 n'est pas racine)

Schéma de Horner (\(r=2\), coefficients : 2, −3, 0, 1) :
    2 | −3 | 0 | 1
     |  4 | 2 | 4
    2 |  1 | 2 | 5 ← reste = 5

Quotient : \(Q(x)=2x^2+x+2\)  |  Reste : \(R=5\)

Vérification : \((x-2)(2x^2+x+2)+5=2x^3+x^2+2x-4x^2-2x-4+5=2x^3-3x^2+1\) ✓

\(A(x)=(x-2)(2x^2+x+2)+5\)
Exercice 4 — Citerne artisanale de Banfora ⭐

Le volume (en m³) d'une citerne artisanale fabriquée à Banfora est modélisé par \(V(x)=x^3-7x+6\), où \(x>0\) est la hauteur en mètres.

  • a) Montrer que \(x=1\) est une racine de \(V\), puis factoriser complètement \(V(x)\).
  • b) Résoudre \(V(x)=0\) pour \(x>0\).
  • c) Interpréter les résultats dans le contexte de la citerne.
a) \(V(1)=1-7+6=0\) ✓ → racine \(r=1\)

Schéma de Horner (\(r=1\), coefficients : 1, 0, −7, 6) :
    1 | 0 | −7 | 6
     | 1 |  1 | −6
    1 | 1 | −6 | 0

\(Q(x)=x^2+x-6\)  |  \(\Delta=1+24=25\) → racines \(\frac{-1\pm5}{2}\) → \(x=2\) ou \(x=-3\)

\(V(x)=(x-1)(x-2)(x+3)\)

b) Pour \(x>0\) : \(x=1\) ou \(x=2\) (\(x=-3\) est négatif, hors contexte).

c) La citerne a un volume nul pour une hauteur de 1 m ou 2 m — ce sont des configurations dégénérées (erreur de modélisation ou dimensions limites du modèle).
mascotte

À retenir — Polynômes

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