I. Puissances à exposant entier
Une puissance est une notation compacte pour un produit répété. On écrit aⁿ pour exprimer le produit de n facteurs tous égaux à a.
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Nerveux explique : À Ouagadougou, une rumeur se répand sur WhatsApp.
Si chaque personne la transmet à 3 amis, après 1 heure il y a 3¹ = 3 personnes informées,
après 2 heures 3² = 9, après 10 heures 3¹⁰ = 59 049 personnes !
Les puissances modélisent parfaitement les phénomènes de croissance rapide —
attention aux fake news au Burkina !
\[a^n = a \times a \times \cdots \times a \quad (n \text{ facteurs}) \qquad a^0 = 1 \;(a \neq 0) \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \;(a \neq 0)\]
\(n\) est l'exposant, \(a\) est la base. Convention : \(a^0 = 1\) pour tout \(a \neq 0\).
Puissances usuelles à connaître par cœur
| Base | …² | …³ | …⁴ | …⁵ |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| 3 | 9 | 27 | 81 | 243 |
| 4 | 16 | 64 | 256 | — |
| 5 | 25 | 125 | 625 | — |
| 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 |
II. Les cinq règles de calcul des puissances
Produit de même base
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
3⁴ × 3² = 3⁶ = 729
Quotient de même base
\(a^m \div a^n = a^{m-n}\) \((a\neq 0)\)
5⁷ ÷ 5³ = 5⁴ = 625
Puissance de puissance
\((a^m)^n = a^{mn}\)
(2³)⁴ = 2¹² = 4096
Puissance d'un produit
\((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
(2×3)⁴ = 2⁴×3⁴ = 16×81 = 1296
Puissance d'un quotient
\((a/b)^n = a^n/b^n\) \((b\neq 0)\)
(2/3)³ = 8/27
Exposant négatif
\(a^{-n} = 1/a^n\) \((a\neq 0)\)
2⁻³ = 1/8 ; 10⁻² = 0,01
Erreurs classiques :
✗ aᵐ × bⁿ ≠ (ab)ᵐ⁺ⁿ → cette règle n'existe pas (bases différentes !)
✗ (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ → on ne peut pas distribuer une puissance sur une somme
✗ aᵐ + aⁿ ≠ aᵐ⁺ⁿ → cette règle s'applique au produit, pas à la somme
✗ aᵐ × bⁿ ≠ (ab)ᵐ⁺ⁿ → cette règle n'existe pas (bases différentes !)
✗ (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ → on ne peut pas distribuer une puissance sur une somme
✗ aᵐ + aⁿ ≠ aᵐ⁺ⁿ → cette règle s'applique au produit, pas à la somme
III. Notation scientifique
La notation scientifique d'un nombre réel positif x est son écriture sous la forme a × 10ⁿ où 1 ≤ a < 10 et n est un entier relatif. Elle permet d'exprimer très grands et très petits nombres de manière lisible.
\[x = a \times 10^n \quad \text{avec} \quad 1 \leq a < 10 \quad \text{et} \quad n \in \mathbb{Z}\]
Exemples : \(3\ 700\ 000 = 3{,}7 \times 10^6\) | \(0{,}00042 = 4{,}2 \times 10^{-4}\)
IV. Racines carrées
La racine carrée de a ≥ 0, notée √a, est l'unique réel positif dont le carré est a. C'est une opération fondamentale qui "défait" l'élévation au carré.
\[\sqrt{a} \text{ est définie pour } a \geq 0 \qquad (\sqrt{a})^2 = a \qquad \sqrt{a^2} = |a|\]
Attention : \(\sqrt{a^2} = |a|\), pas \(a\) — exemple : \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|\)
Propriétés de calcul des racines
Produit
\(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) \((a,b \geq 0)\)
√12 = √(4×3) = 2√3
Quotient
\(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\) \((a \geq 0,\, b > 0)\)
√(9/4) = 3/2
Carré
\((\sqrt{a})^2 = a\) et \(\sqrt{a^2} = |a|\)
(√7)² = 7 ; √25 = 5
Lien puissances
\(\sqrt{a} = a^{1/2}\) ; \(\sqrt[3]{a} = a^{1/3}\)
√8 = 8^(1/2) ≈ 2,83
Simplifier une racine : chercher le plus grand carré parfait divisant le radicande.
Carrés parfaits usuels : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…
Ex : √72 = √(36×2) = 6√2 | √108 = √(36×3) = 6√3
Carrés parfaits usuels : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…
Ex : √72 = √(36×2) = 6√2 | √108 = √(36×3) = 6√3
Rationalisation du dénominateur
Principe : on préfère ne pas avoir de racine au dénominateur.
On multiplie numérateur et dénominateur par √b pour éliminer la racine.
Ex : 5/√3 = 5√3/(√3×√3) = 5√3/3
Ex : 5/√3 = 5√3/(√3×√3) = 5√3/3
V. Exemples détaillés
Exemple 1 — Calculs avec puissances
Simplifier : A = 2⁵ × 2³ ; B = 3⁷ ÷ 3⁴ ; C = (5²)³ ; D = 6⁻²
A = 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸ = 256
B = 3⁷ ÷ 3⁴ = 3⁷⁻⁴ = 3³ = 27
C = (5²)³ = 5²ˣ³ = 5⁶ = 15 625
D = 6⁻² = 1/6² = 1/36
Exemple 2 — Notation scientifique
Écrire en notation scientifique : 45 800 000 ; 0,00037 ; puis calculer (3×10⁴) × (2×10⁻⁶)
45 800 000 = 4,58 × 10⁷ (virgule déplacée de 7 rangs vers la gauche)
0,00037 = 3,7 × 10⁻⁴ (virgule déplacée de 4 rangs vers la droite)
(3×10⁴) × (2×10⁻⁶) = (3×2) × 10⁴⁺⁽⁻⁶⁾ = 6 × 10⁻² = 0,06
Exemple 3 — Simplifier des racines carrées
Simplifier : √48 ; √75 ; √200 ; 3√8 − √18
√48 = √(16×3) = 4√3
√75 = √(25×3) = 5√3
√200 = √(100×2) = 10√2
3√8 − √18 = 3√(4×2) − √(9×2) = 3×2√2 − 3√2 = 6√2 − 3√2 = 3√2
Exemple 4 — Rationaliser et simplifier des fractions
Simplifier : A = 6/√3 ; B = (√5 + √20)/√5
A = 6/√3 = 6√3/(√3)² = 6√3/3 = 2√3
√20 = √(4×5) = 2√5, donc √5 + √20 = √5 + 2√5 = 3√5
B = 3√5/√5 = 3
Exemple 5 — Application concrète (Burkina Faso)
Le lac Bam (région du Centre-Nord) a une superficie d'environ 3,7 × 10⁷ m².
Un biologiste estime que la densité de poissons est de 2,5 × 10² poissons/m².
Calculer le nombre total de poissons dans le lac.
Exprimer le résultat en notation scientifique.
N = superficie × densité = (3,7 × 10⁷) × (2,5 × 10²)
= (3,7 × 2,5) × 10⁷⁺² = 9,25 × 10⁹
Il y a environ 9,25 × 10⁹ (soit 9,25 milliards) de poissons dans le lac Bam.
Position des racines irrationnelles sur la droite réelle
Exercices d'application
Exercice 1 — Règles des puissances
Simplifier chaque expression (résultat sous forme de puissance) :
- a) 7³ × 7⁵
- b) 10⁸ ÷ 10³
- c) (3⁴)²
- d) (2 × 5)³
- e) 4⁻³
- f) (x⁵ × x⁻²) ÷ x
a) 7³ × 7⁵ = 7⁸ = 5 764 801
b) 10⁸ ÷ 10³ = 10⁵ = 100 000
c) (3⁴)² = 3⁸ = 6 561
d) (2×5)³ = 2³×5³ = 8×125 = 1 000 = 10³ ✓
e) 4⁻³ = 1/4³ = 1/64
f) (x⁵ × x⁻²) ÷ x = x⁵⁺⁽⁻²⁾⁻¹ = x² → x²
b) 10⁸ ÷ 10³ = 10⁵ = 100 000
c) (3⁴)² = 3⁸ = 6 561
d) (2×5)³ = 2³×5³ = 8×125 = 1 000 = 10³ ✓
e) 4⁻³ = 1/4³ = 1/64
f) (x⁵ × x⁻²) ÷ x = x⁵⁺⁽⁻²⁾⁻¹ = x² → x²
Exercice 2 — Notation scientifique
Écrire en notation scientifique, puis calculer :
- a) 0,00000814
- b) 29 600 000 000
- c) (4 × 10⁵) × (3 × 10⁻²)
- d) (6 × 10⁸) ÷ (2 × 10³)
a) 0,00000814 = 8,14 × 10⁻⁶
b) 29 600 000 000 = 2,96 × 10¹⁰
c) (4×10⁵)×(3×10⁻²) = 12×10³ = 1,2 × 10⁴ = 12 000
d) (6×10⁸)÷(2×10³) = 3×10⁵ = 300 000
b) 29 600 000 000 = 2,96 × 10¹⁰
c) (4×10⁵)×(3×10⁻²) = 12×10³ = 1,2 × 10⁴ = 12 000
d) (6×10⁸)÷(2×10³) = 3×10⁵ = 300 000
Exercice 3 — Simplifier des racines carrées
Simplifier sous la forme a√b, avec b sans carré parfait :
- a) √32
- b) √98
- c) √180
- d) 5√12 + 2√27 − √75
- e) 3/√5 (rationaliser)
a) √32 = √(16×2) = 4√2
b) √98 = √(49×2) = 7√2
c) √180 = √(36×5) = 6√5
d) √12 = 2√3 ; √27 = 3√3 ; √75 = 5√3
5√12 + 2√27 − √75 = 10√3 + 6√3 − 5√3 = 11√3
e) 3/√5 = 3√5/5 = 3√5/5
b) √98 = √(49×2) = 7√2
c) √180 = √(36×5) = 6√5
d) √12 = 2√3 ; √27 = 3√3 ; √75 = 5√3
5√12 + 2√27 − √75 = 10√3 + 6√3 − 5√3 = 11√3
e) 3/√5 = 3√5/5 = 3√5/5
Exercice 4 — Problème scientifique ⭐ (Burkina Faso)
Le réseau de téléphonie mobile au Burkina Faso couvre environ 2,4 × 10⁵ km². Une antenne-relais couvre en moyenne un cercle de rayon r km. Le pays dispose de 3 × 10³ antennes.
- a) Quelle surface moyenne (en km²) couvre chaque antenne ?
- b) En déduire le rayon r de couverture d'une antenne (r = √(S/π), π ≈ 3,14).
- c) Exprimer r en notation scientifique.
a) S = superficie totale / nombre d'antennes
S = (2,4 × 10⁵) ÷ (3 × 10³) = (2,4/3) × 10⁵⁻³ = 0,8 × 10² = 80 km² par antenne
b) r = √(S/π) = √(80/3,14) = √25,48 ≈ 5,05 km
c) r ≈ 5,05 km = 5,05 × 10⁰ km
Ou en mètres : r ≈ 5050 m = 5,05 × 10³ m
S = (2,4 × 10⁵) ÷ (3 × 10³) = (2,4/3) × 10⁵⁻³ = 0,8 × 10² = 80 km² par antenne
b) r = √(S/π) = √(80/3,14) = √25,48 ≈ 5,05 km
c) r ≈ 5,05 km = 5,05 × 10⁰ km
Ou en mètres : r ≈ 5050 m = 5,05 × 10³ m
À retenir — Puissances et racines
- 5 règles : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) ; \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) ; \((a^m)^n = a^{mn}\) ; \((ab)^n = a^n b^n\) ; \(a^{-n} = 1/a^n\).
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n ∈ ℤ.
- \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) et \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\) (pour \(a, b \geq 0\), \(b \neq 0\)).
- \(\sqrt{a^2} = |a|\), pas \(a\) ! (ex : \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), pas \(-3\))
- Pour simplifier √n : chercher le plus grand carré parfait diviseur de n.
- Pour rationaliser : multiplier par √b/√b pour éliminer √b au dénominateur.
- Erreur classique : \((a+b)^n \neq a^n+b^n\) et \(a^m \times b^n \neq (ab)^{m+n}\)