I. Signe de la dérivée et sens de variation
Le lien entre la dérivée et les variations d'une fonction est le résultat central de cette leçon. Il permet de dresser un portrait complet du comportement d'une fonction sans tracer point par point sa courbe.
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Nerveux explique : Imagine la route de Ouagadougou vers Pô, qui traverse
le plateau Mossi. Quand tu montes une colline, ton altimètre augmente — la dérivée est
positive. Quand tu descends, il diminue — la dérivée est négative.
Au sommet exact, tu es ni en montée ni en descente — la dérivée est nulle.
C'est là que se trouvent les extrema !
f'(x) > 0 sur ]a, b[ ⟹ f est strictement croissante sur [a, b]
f'(x) < 0 sur ]a, b[ ⟹ f est strictement décroissante sur [a, b]
f'(x) = 0 sur ]a, b[ ⟹ f est constante sur [a, b] Ces implications sont réciproques pour les fonctions dérivables.
f'(x) < 0 sur ]a, b[ ⟹ f est strictement décroissante sur [a, b]
f'(x) = 0 sur ]a, b[ ⟹ f est constante sur [a, b] Ces implications sont réciproques pour les fonctions dérivables.
II. Extrema locaux
Un extremum local est un point où la fonction atteint un maximum ou un minimum par rapport aux valeurs voisines. C'est là où la dérivée s'annule et change de signe.
Maximum local en c
f'(c) = 0
f' change de + à − en cf croît avant c, décroît après c.
f(c) est la valeur maximale locale.
Minimum local en c
f'(c) = 0
f' change de − à + en cf décroît avant c, croît après c.
f(c) est la valeur minimale locale.
⚠️ Attention : f'(c) = 0 ne garantit pas forcément un extremum.
Si f' ne change pas de signe en c (par exemple f'(x) = x³ en c = 0),
c'est un point d'inflexion, pas un extremum.
III. Le tableau de variations
Le tableau de variations est un outil synthétique qui résume en un coup d'œil le signe de f', les intervalles de croissance/décroissance et les valeurs remarquables de f.
Structure d'un tableau de variations
| x | −∞ | x₁ | x₂ | +∞ | |||
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | f(x₁) | ↘ | f(x₂) | ↗ | +∞ |
Lecture du tableau : Les flèches montantes ↗ indiquent une croissance (f' > 0),
les flèches descendantes ↘ une décroissance (f' < 0). Les valeurs en haut d'une flèche montante
ou en bas d'une flèche descendante sont les maxima locaux, et inversement pour les minima locaux.
IV. Méthode — Dresser un tableau de variations
1
Déterminer Df et calculer f'(x).
2
Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques. Étudier le signe de f'(x) sur chaque intervalle (tableau de signes).
3
Calculer f aux points critiques et aux bornes du domaine (y compris les limites en ±∞ si nécessaire).
4
Remplir le tableau : ligne x, ligne f'(x) avec signes et zéros, ligne f(x) avec flèches et valeurs.
5
Identifier les extrema : là où f' change de signe, noter maximum ou minimum local avec sa valeur.
V. Exemples détaillés
Exemple 1 — Trinôme du second degré
Dresser le tableau de variations de f(x) = x² − 4x + 3
Df = ℝ. f'(x) = 2x − 4.
f'(x) = 0 → 2x − 4 = 0 → x = 2
Signe de f' : f'(x) < 0 sur ]−∞, 2[ et f'(x) > 0 sur ]2, +∞[
f(2) = 4 − 8 + 3 = −1 (minimum)
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
| f'(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | +∞ | ↘ | −1 | ↗ | +∞ |
f admet un minimum de −1 en x = 2. f est décroissante sur ]−∞, 2] et croissante sur [2, +∞[.
Exemple 2 — Fonction cubique
Dresser le tableau de variations de f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4
Df = ℝ. f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x−1)(x−2)
f'(x) = 0 → x = 1 ou x = 2
Signe de f'(x) = 6(x−1)(x−2) :
Sur ]−∞, 1[ : (−)(−) > 0 → f' > 0 ↗
Sur ]1, 2[ : (+)(−) < 0 → f' < 0 ↘
Sur ]2, +∞[ : (+)(+) > 0 → f' > 0 ↗
Sur ]1, 2[ : (+)(−) < 0 → f' < 0 ↘
Sur ]2, +∞[ : (+)(+) > 0 → f' > 0 ↗
f(1) = 2 − 9 + 12 − 4 = 1 (maximum local)
f(2) = 16 − 36 + 24 − 4 = 0 (minimum local)
| x | −∞ | 1 | 2 | +∞ | |||
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | 1 | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
Maximum local de 1 en x = 1. Minimum local de 0 en x = 2.
Courbe correspondante à l'exemple 2
Exemple 3 — Application concrète (Burkina Faso)
Un maraîcher de la vallée du Kou modélise son bénéfice journalier (en milliers de FCFA)
par B(x) = −x³ + 6x² − 9x + 4, où x ∈ [0, 5] est la quantité de légumes (en quintaux) vendue.
Déterminer la quantité optimale à vendre pour maximiser le bénéfice.
B'(x) = −3x² + 12x − 9 = −3(x² − 4x + 3) = −3(x−1)(x−3)
B'(x) = 0 → x = 1 ou x = 3
Signe de B'(x) = −3(x−1)(x−3) sur [0, 5] :
Sur ]0, 1[ : −3(−)(−) = −3(>0) < 0 → B' < 0 ↘
Sur ]1, 3[ : −3(+)(−) = −3(<0) > 0 → B' > 0 ↗
Sur ]3, 5[ : −3(+)(+) = −3(>0) < 0 → B' < 0 ↘
Sur ]1, 3[ : −3(+)(−) = −3(<0) > 0 → B' > 0 ↗
Sur ]3, 5[ : −3(+)(+) = −3(>0) < 0 → B' < 0 ↘
B(0) = 4 | B(1) = −1+6−9+4 = 0 (minimum local)
B(3) = −27+54−27+4 = 4 (maximum local)
B(5) = −125+150−45+4 = −16
| x | 0 | 1 | 3 | 5 | |||
| B'(x) | − | 0 | + | 0 | − | ||
| B(x) | 4 | ↘ | 0 | ↗ | 4 | ↘ | −16 |
Le bénéfice maximum est de 4 000 FCFA, atteint pour x = 3 quintaux.
Vendre 1 quintal est un minimum local (bénéfice nul). Au-delà de 3 quintaux, le bénéfice chute rapidement.
Exploration interactive — Desmos
Trace une fonction et identifie ses extrema
Exercices d'application
Exercice 1 — Tableau de variations d'un polynôme du 2ème degré
Dresser le tableau de variations de f(x) = −2x² + 8x − 3 sur ℝ, puis donner le maximum.
f'(x) = −4x + 8 = 0 → x = 2
f'(x) > 0 sur ]−∞, 2[ ; f'(x) < 0 sur ]2, +∞[
f(2) = −8 + 16 − 3 = 5
Tableau :
x : −∞ 2 +∞
f'(x) : + 0 −
f(x) : −∞ ↗ 5 ↘ −∞
f admet un maximum de 5 en x = 2. f est croissante sur ]−∞, 2] et décroissante sur [2, +∞[.
f'(x) > 0 sur ]−∞, 2[ ; f'(x) < 0 sur ]2, +∞[
f(2) = −8 + 16 − 3 = 5
Tableau :
x : −∞ 2 +∞
f'(x) : + 0 −
f(x) : −∞ ↗ 5 ↘ −∞
f admet un maximum de 5 en x = 2. f est croissante sur ]−∞, 2] et décroissante sur [2, +∞[.
Exercice 2 — Tableau de variations d'une fonction cubique
Soit f(x) = x³ − 3x + 2. Calculer f'(x), dresser le tableau de variations, identifier les extrema.
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x²−1) = 3(x−1)(x+1)
f'(x) = 0 → x = −1 ou x = 1
Signe de f'(x) :
Sur ]−∞,−1[ : 3(−)(−) > 0 → ↗
Sur ]−1, 1[ : 3(+)(−) < 0 → ↘
Sur ]1,+∞[ : 3(+)(+) > 0 → ↗
f(−1) = −1+3+2 = 4 (maximum local)
f(1) = 1−3+2 = 0 (minimum local)
Tableau :
x : −∞ −1 1 +∞
f'(x): + 0 − 0 +
f(x) : −∞ ↗ 4 ↘ 0 ↗ +∞
f'(x) = 0 → x = −1 ou x = 1
Signe de f'(x) :
Sur ]−∞,−1[ : 3(−)(−) > 0 → ↗
Sur ]−1, 1[ : 3(+)(−) < 0 → ↘
Sur ]1,+∞[ : 3(+)(+) > 0 → ↗
f(−1) = −1+3+2 = 4 (maximum local)
f(1) = 1−3+2 = 0 (minimum local)
Tableau :
x : −∞ −1 1 +∞
f'(x): + 0 − 0 +
f(x) : −∞ ↗ 4 ↘ 0 ↗ +∞
Exercice 3 — Extremum sur un intervalle fermé
Soit f(x) = x³ − 6x² + 5, étudiée sur [−1, 5].
Dresser le tableau de variations et déterminer le maximum et le minimum global sur cet intervalle.
f'(x) = 3x² − 12x = 3x(x−4)
f'(x) = 0 → x = 0 ou x = 4 (les deux sont dans [−1, 5])
Sur ]−1, 0[ : 3(−)(−) > 0 → ↗
Sur ]0, 4[ : 3(+)(−) < 0 → ↘
Sur ]4, 5[ : 3(+)(+) > 0 → ↗
Valeurs remarquables :
f(−1) = −1−6+5 = −2
f(0) = 5 (maximum local)
f(4) = 64−96+5 = −27 (minimum local)
f(5) = 125−150+5 = −20
Maximum global sur [−1,5] : 5 en x = 0
Minimum global sur [−1,5] : −27 en x = 4
f'(x) = 0 → x = 0 ou x = 4 (les deux sont dans [−1, 5])
Sur ]−1, 0[ : 3(−)(−) > 0 → ↗
Sur ]0, 4[ : 3(+)(−) < 0 → ↘
Sur ]4, 5[ : 3(+)(+) > 0 → ↗
Valeurs remarquables :
f(−1) = −1−6+5 = −2
f(0) = 5 (maximum local)
f(4) = 64−96+5 = −27 (minimum local)
f(5) = 125−150+5 = −20
Maximum global sur [−1,5] : 5 en x = 0
Minimum global sur [−1,5] : −27 en x = 4
Exercice 4 — Optimisation (Burkina Faso) ⭐
Une artisane de Kaya fabrique des sacs en cuir. Son profit (en milliers de FCFA)
pour une production de x sacs (x ∈ [0, 8]) est :
P(x) = −x³ + 9x² − 15x − 7
- a) Calculer P'(x) et résoudre P'(x) = 0.
- b) Dresser le tableau de variations de P sur [0, 8].
- c) Combien de sacs doit-elle fabriquer pour maximiser son profit ? Quel est ce profit ?
a) P'(x) = −3x² + 18x − 15 = −3(x² − 6x + 5) = −3(x−1)(x−5)
P'(x) = 0 → x = 1 ou x = 5
b) Signe de P'(x) = −3(x−1)(x−5) sur [0,8] :
Sur ]0,1[ : −3(−)(−) < 0 → ↘
Sur ]1,5[ : −3(+)(−) > 0 → ↗
Sur ]5,8[ : −3(+)(+) < 0 → ↘
Valeurs :
P(0) = −7 | P(1) = −1+9−15−7 = −14 (minimum)
P(5) = −125+225−75−7 = 18 (maximum local)
P(8) = −512+576−120−7 = −63
c) Le profit maximal est 18 000 FCFA, obtenu pour x = 5 sacs. En dessous d'1 sac, le profit est minimal (−14 000 FCFA). Il faut donc produire au moins quelques sacs avant de commencer à en tirer un bénéfice croissant.
P'(x) = 0 → x = 1 ou x = 5
b) Signe de P'(x) = −3(x−1)(x−5) sur [0,8] :
Sur ]0,1[ : −3(−)(−) < 0 → ↘
Sur ]1,5[ : −3(+)(−) > 0 → ↗
Sur ]5,8[ : −3(+)(+) < 0 → ↘
Valeurs :
P(0) = −7 | P(1) = −1+9−15−7 = −14 (minimum)
P(5) = −125+225−75−7 = 18 (maximum local)
P(8) = −512+576−120−7 = −63
c) Le profit maximal est 18 000 FCFA, obtenu pour x = 5 sacs. En dessous d'1 sac, le profit est minimal (−14 000 FCFA). Il faut donc produire au moins quelques sacs avant de commencer à en tirer un bénéfice croissant.
À retenir — Tableau de variations et extrema
- f'(x) > 0 sur un intervalle → f croissante sur cet intervalle.
- f'(x) < 0 sur un intervalle → f décroissante sur cet intervalle.
- f'(c) = 0 et f' change de + à − en c → maximum local en c.
- f'(c) = 0 et f' change de − à + en c → minimum local en c.
- f'(c) = 0 sans changement de signe → point d'inflexion (pas un extremum).
- Sur un intervalle fermé [a, b], le maximum/minimum global est à chercher parmi les extrema locaux et les valeurs aux bornes f(a) et f(b).
- Le tableau de variations se lit de gauche à droite : flèche ↗ = croissance, ↘ = décroissance.