I. Qu'est-ce qu'une asymptote ?
Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment sans jamais la toucher (ou en la touchant seulement un nombre fini de fois). Les asymptotes révèlent le comportement global d'une fonction.
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Nerveux explique : Imagine la route nationale qui relie Ouagadougou à la frontière du Ghana.
Plus tu avances vers le sud, plus tu t'approches du 11e parallèle —
mais tu ne l'atteins jamais exactement (ce n'est qu'une ligne imaginaire sur une carte).
C'est exactement ça une asymptote : une droite que la courbe frôle à l'infini
sans jamais la rejoindre.
II. Les trois types d'asymptotes
Asymptote Verticale
x = a
Condition :
\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)
Se produit souvent quand le dénominateur s'annule en a.
\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)
Se produit souvent quand le dénominateur s'annule en a.
Asymptote Horizontale
y = L
Condition :
\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\) ∈ ℝ
La courbe se stabilise vers une valeur finie à l'infini.
\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\) ∈ ℝ
La courbe se stabilise vers une valeur finie à l'infini.
Asymptote Oblique
y = ax + b
Condition :
limx→±∞ [f(x)−(ax+b)] = 0
La courbe s'approche d'une droite non horizontale.
limx→±∞ [f(x)−(ax+b)] = 0
La courbe s'approche d'une droite non horizontale.
Illustrations des trois types
III. Méthode pour trouver chaque asymptote
Asymptote verticale en x = a
Méthode : Chercher les valeurs a où f n'est pas définie (zéros du dénominateur, etc.).
Calculer limx→a⁺ f(x) et limx→a⁻ f(x).
Si l'une vaut ±∞ → asymptote verticale x = a.
Asymptote horizontale y = L
Méthode : Calculer limx→+∞ f(x) et limx→−∞ f(x).
Si le résultat est un réel fini L → asymptote horizontale y = L.
(Les deux limites peuvent donner des asymptotes différentes.)
Asymptote oblique y = ax + b
Méthode en 2 temps :
1. Calculer a = limx→±∞ f(x)/x. Si a est fini et non nul → possible asymptote oblique.
2. Calculer b = limx→±∞ [f(x) − ax]. Si b est fini → asymptote oblique y = ax + b.
Astuce pour les fractions rationnelles : effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
1. Calculer a = limx→±∞ f(x)/x. Si a est fini et non nul → possible asymptote oblique.
2. Calculer b = limx→±∞ [f(x) − ax]. Si b est fini → asymptote oblique y = ax + b.
Astuce pour les fractions rationnelles : effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
IV. Plan d'une étude complète de fonction
Les 7 étapes de l'étude complète
- Domaine de définition Df — identifier les restrictions.
- Parité / Imparité — réduire le domaine d'étude si possible.
- Limites aux bornes et asymptotes — comportement à l'infini et aux valeurs interdites.
- Dérivée f'(x) — calculer et factoriser.
- Tableau de variations — signe de f', extrema, valeurs remarquables.
- Points particuliers — intersection avec les axes (f(0), f(x) = 0).
- Tracé de la courbe — tracer les asymptotes en pointillés, puis la courbe.
V. Exemples détaillés
Exemple 1 — Asymptotes d'une fonction homographique
Trouver les asymptotes de \(f(x) = \dfrac{2x+3}{x-1}\)
Asymptote verticale : dénominateur nul en x = 1.
\(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) → AV : \(x = 1\)
Asymptote horizontale :
\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{2x+3}{x-1} = \lim\frac{2x}{x} = 2\) → AH : \(y = 2\)
Asymptote verticale : x = 1 | Asymptote horizontale : y = 2
Exemple 2 — Asymptote oblique
Trouver l'asymptote oblique de \(f(x) = \dfrac{x^2+2x+3}{x+1}\)
limx→±∞ f(x) = ±∞ → pas d'asymptote horizontale.
Étape 1 : a = limx→+∞ f(x)/x = lim (x²+2x+3)/(x(x+1)) = lim x²/x² = 1
Étape 2 : Division euclidienne : \(x^2+2x+3 = (x+1)(x+1) + 2\)
Donc \(f(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x+1}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}[f(x)-(x+1)] = \lim\frac{2}{x+1} = 0\) ✓
Asymptote oblique : y = x + 1 (et AV : x = −1)
Exemple 3 — Étude complète
Étudier complètement \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-2}\) et tracer sa courbe.
1. Domaine : x ≠ 2 → Df = ]−∞, 2[ ∪ ]2, +∞[
2. Parité : Df non symétrique → ni paire ni impaire.
3. Asymptotes :
AV : limx→2⁺ f(x) = +∞ limx→2⁻ f(x) = −∞ → AV : x = 2
Division : x²−1 = (x−2)(x+2) + 3 → f(x) = x+2 + 3/(x−2)
lim [f(x)−(x+2)] = 0 → AO : y = x + 2
4. Dérivée :
f'(x) = [(2x)(x−2) − (x²−1)·1] / (x−2)²
= [2x²−4x−x²+1] / (x−2)² = (x²−4x+1) / (x−2)²
f'(x) = 0 → x²−4x+1 = 0 → x = 2 ± √3
x₁ = 2−√3 ≈ 0.27 (dans ]−∞,2[) x₂ = 2+√3 ≈ 3.73 (dans ]2,+∞[)
5. Valeurs :
f(x₁) = f(2−√3) = (3−4√3)/(−√3) = (−3+4√3)/√3 ≈ −√3+4 ≈ 2.27 − 3.46 ≈ 2−2√3 ≈ −1.46
f(x₂) = 2+2√3 ≈ 5.46 (symétrie par rapport à l'AO)
| x | −∞ | x₁ | AV2 | x₂ | +∞ | ||||
| f'(x) | + | 0 | − | || | − | 0 | + | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | 2−2√3 | ↘ | −∞ | +∞ | ↘ | 2+2√3 | ↗ | +∞ |
AV : x = 2 | AO : y = x+2 | Max local ≈ −1.46 en x₁ ≈ 0.27 | Min local ≈ 5.46 en x₂ ≈ 3.73
Courbe de f(x) = (x²−1)/(x−2)
Exemple 4 — Application concrète (Burkina Faso)
Le prix unitaire (en FCFA) d'un sac de farine à Dédougou évolue selon
P(t) = (300t + 500) / (t + 2), où t est le nombre de mois depuis janvier 2024.
Déterminer les asymptotes et interpréter économiquement.
DP : t ≠ −2. Dans le contexte, t ≥ 0 → pas de problème.
AH : limt→+∞ (300t+500)/(t+2) = lim 300t/t = 300 FCFA
AV : t = −2 → hors contexte (t ≥ 0), donc pas d'asymptote verticale pertinente.
P(0) = 500/2 = 250 FCFA (prix au départ)
P'(t) = [(300)(t+2) − (300t+500)] / (t+2)² = (600−500)/(t+2)² = 100/(t+2)² > 0
Le prix augmente toujours mais se stabilise vers 300 FCFA à long terme.
Il part de 250 FCFA et tend vers 300 FCFA sans jamais dépasser ce plafond :
c'est un phénomène de saturation du marché.
Exploration interactive — Desmos
Visualise les asymptotes horizontales, verticales et obliques
Exercices d'application
Exercice 1 — Identifier les asymptotes
Trouver toutes les asymptotes de chaque fonction :
- a) f(x) = 3 / (x − 4)
- b) g(x) = (x² + 1) / x
- c) h(x) = (2x − 1) / (x + 3)
a) f(x) = 3/(x−4) :
AV : x = 4 (limx→4 = ±∞)
AH : limx→±∞ 3/(x−4) = 0 → y = 0
b) g(x) = (x²+1)/x = x + 1/x :
AV : x = 0 (limx→0 = ±∞)
Pas d'AH (lim = ±∞)
AO : g(x) = x + 1/x → lim [g(x)−x] = lim 1/x = 0 → y = x
c) h(x) = (2x−1)/(x+3) :
AV : x = −3
AH : limx→±∞ = 2 → y = 2
AV : x = 4 (limx→4 = ±∞)
AH : limx→±∞ 3/(x−4) = 0 → y = 0
b) g(x) = (x²+1)/x = x + 1/x :
AV : x = 0 (limx→0 = ±∞)
Pas d'AH (lim = ±∞)
AO : g(x) = x + 1/x → lim [g(x)−x] = lim 1/x = 0 → y = x
c) h(x) = (2x−1)/(x+3) :
AV : x = −3
AH : limx→±∞ = 2 → y = 2
Exercice 2 — Asymptote oblique par division euclidienne
Soit f(x) = (2x² − x + 3) / (x − 2).
Effectuer la division euclidienne de 2x²−x+3 par x−2, puis en déduire l'asymptote oblique.
Division : 2x²−x+3 ÷ (x−2)
2x² − x + 3 = (x−2)(2x+3) + 9
Vérification : (x−2)(2x+3) = 2x²+3x−4x−6 = 2x²−x−6 ; −6+9 = 3 ✓
Donc : f(x) = 2x+3 + 9/(x−2)
limx→±∞ [f(x)−(2x+3)] = lim 9/(x−2) = 0
Asymptote oblique : y = 2x + 3
Asymptote verticale : x = 2
2x² − x + 3 = (x−2)(2x+3) + 9
Vérification : (x−2)(2x+3) = 2x²+3x−4x−6 = 2x²−x−6 ; −6+9 = 3 ✓
Donc : f(x) = 2x+3 + 9/(x−2)
limx→±∞ [f(x)−(2x+3)] = lim 9/(x−2) = 0
Asymptote oblique : y = 2x + 3
Asymptote verticale : x = 2
Exercice 3 — Étude complète
Étudier complètement f(x) = x + 4/x sur ]0, +∞[ :
domaine, asymptotes, dérivée, tableau de variations, minimum.
Domaine : Df = ]0, +∞[ (x > 0 imposé)
Asymptotes :
AV : limx→0⁺ (x + 4/x) = 0 + (+∞) = +∞ → AV : x = 0
AO : limx→+∞ f(x)/x = lim (1 + 4/x²) = 1 ; lim [f(x)−x] = lim 4/x = 0 → AO : y = x
Dérivée : f'(x) = 1 − 4/x² = (x²−4)/x² = (x−2)(x+2)/x²
Sur ]0,+∞[ : x+2 > 0 et x² > 0, donc signe de f' = signe de (x−2)
f'(x) < 0 sur ]0, 2[ et f'(x) > 0 sur ]2, +∞[
f(2) = 2 + 2 = 4 (minimum)
Tableau : 0 ↘ min(4) ↗ +∞
Minimum global : 4 en x = 2. (Inégalité classique x + 4/x ≥ 4 pour x > 0)
Asymptotes :
AV : limx→0⁺ (x + 4/x) = 0 + (+∞) = +∞ → AV : x = 0
AO : limx→+∞ f(x)/x = lim (1 + 4/x²) = 1 ; lim [f(x)−x] = lim 4/x = 0 → AO : y = x
Dérivée : f'(x) = 1 − 4/x² = (x²−4)/x² = (x−2)(x+2)/x²
Sur ]0,+∞[ : x+2 > 0 et x² > 0, donc signe de f' = signe de (x−2)
f'(x) < 0 sur ]0, 2[ et f'(x) > 0 sur ]2, +∞[
f(2) = 2 + 2 = 4 (minimum)
Tableau : 0 ↘ min(4) ↗ +∞
Minimum global : 4 en x = 2. (Inégalité classique x + 4/x ≥ 4 pour x > 0)
Exercice 4 — Étude complète avec contexte (Burkina Faso) ⭐
Le rendement moyen R (en kg/ha) d'une parcelle de sorgho dans la région
du Centre-Nord est modélisé par :
R(x) = (800x + 1200) / (x + 3)
où x ≥ 0 est la quantité d'engrais (en kg) utilisée par hectare.
- a) Déterminer les asymptotes de R sur [0, +∞[.
- b) Calculer R'(x) et montrer que R est croissante.
- c) Calculer R(0), R(3), R(10), R(50). Que vaut la limite ?
- d) Interpréter : quel est le rendement maximal atteignable ?
a) AV : x = −3 (hors contexte, pas pertinente pour x ≥ 0)
AH : limx→+∞ (800x+1200)/(x+3) = 800 kg/ha
b) R'(x) = [800(x+3) − (800x+1200)] / (x+3)²
= [800x+2400−800x−1200] / (x+3)² = 1200/(x+3)²
R'(x) > 0 pour tout x ≥ 0 → R est strictement croissante. ✓
c) R(0) = 1200/3 = 400 kg/ha
R(3) = (2400+1200)/6 = 3600/6 = 600 kg/ha
R(10) = 9200/13 ≈ 708 kg/ha
R(50) = 41200/53 ≈ 777 kg/ha
limx→+∞ R(x) = 800 kg/ha
d) Le rendement augmente toujours avec l'engrais, mais il y a un plafond de 800 kg/ha qu'on ne peut jamais dépasser. Au-delà d'une certaine quantité d'engrais, les gains deviennent de plus en plus faibles : c'est la loi des rendements décroissants. Un agriculteur rationnel s'arrêtera dès que le coût de l'engrais supplémentaire dépasse le gain de rendement.
AH : limx→+∞ (800x+1200)/(x+3) = 800 kg/ha
b) R'(x) = [800(x+3) − (800x+1200)] / (x+3)²
= [800x+2400−800x−1200] / (x+3)² = 1200/(x+3)²
R'(x) > 0 pour tout x ≥ 0 → R est strictement croissante. ✓
c) R(0) = 1200/3 = 400 kg/ha
R(3) = (2400+1200)/6 = 3600/6 = 600 kg/ha
R(10) = 9200/13 ≈ 708 kg/ha
R(50) = 41200/53 ≈ 777 kg/ha
limx→+∞ R(x) = 800 kg/ha
d) Le rendement augmente toujours avec l'engrais, mais il y a un plafond de 800 kg/ha qu'on ne peut jamais dépasser. Au-delà d'une certaine quantité d'engrais, les gains deviennent de plus en plus faibles : c'est la loi des rendements décroissants. Un agriculteur rationnel s'arrêtera dès que le coût de l'engrais supplémentaire dépasse le gain de rendement.
À retenir — Asymptotes et étude complète
- AV x = a : \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\) (souvent : dénominateur nul).
- AH y = L : \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\) (réel fini).
- AO y = ax+b : a = lim f(x)/x, puis b = lim [f(x)−ax] — ou division euclidienne.
- Une fraction rationnelle a une AO si degré numérateur = degré dénominateur + 1.
- Une même courbe peut avoir plusieurs asymptotes (une AV et une AH, une AV et une AO…).
- Plan d'étude complète : Df → parité → asymptotes → f' → tableau → points → courbe.
- En contexte réel, une AH représente souvent un plafond de saturation ou un coût plancher.
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Module II — Terminé !
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Ces outils sont la base de l'étude de fonction.
L1 — Qu'est-ce qu'une fonction ?
L2 — Fonctions de référence
L3 — Domaine de définition
L4 — Fonctions paires et impaires
L5 — Limites d'une fonction
L6 — Continuité et TVI
L7 — La dérivée
L8 — Tableau de variations et extrema
L9 — Asymptotes et étude complète✓