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Leçon 3 — Fonctions sinus et cosinus

Les fonctions périodiques par excellence — oscillations, cercle trigonométrique et propriétés essentielles

I. Définition sur le cercle trigonométrique

On considère le cercle trigonométrique : un cercle de rayon 1 centré à l'origine. Pour tout angle x (en radians), on associe un point M sur ce cercle.

M = (cos x ; sin x) cos x est l'abscisse de M  |  sin x est l'ordonnée de M
x y O 1 1 −1 −1 M(cos x ; sin x) cos x sin x x

Cercle trigonométrique : cos x = abscisse, sin x = ordonnée du point M

mascotte Nerveux
Nerveux explique : Imagine que tu tournes autour du grand rond-point de l'Est à Ouagadougou, à exactement 1 mètre du centre. cos x, c'est ta distance à gauche ou à droite du centre, et sin x, c'est ta hauteur au-dessus ou en dessous. Quand tu fais un tour complet (2π radians), tu reviens exactement au même point — c'est la périodicité !
cos x→abscisse de M
sin x→ordonnée de M
x→angle en radians

II. Valeurs remarquables

Ces valeurs sont à connaître absolument. Elles se retrouvent constamment dans les calculs trigonométriques.

Angle x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
cos x 1 √3/2 √2/2 1/2 0 −1 0 1
sin x 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0 −1 0
Astuce mémo : Pour cos aux angles 0, π/6, π/4, π/3, π/2, les valeurs sont √4/2, √3/2, √2/2, √1/2, √0/2 — soit la suite √4 → √3 → √2 → √1 → √0, divisée par 2. Pour sin, c'est l'ordre inverse.

III. Propriétés fondamentales

🔄 Périodicité
cos et sin sont 2π-périodiques :
cos(x + 2π) = cos x
sin(x + 2π) = sin x
🔢 Relation fondamentale
Pour tout x ∈ ℝ :
cos²x + sin²x = 1
C'est le théorème de Pythagore appliqué au cercle unité.
↔ Parité
cos est paire : cos(−x) = cos x
sin est impaire : sin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x
📐 Complémentarité
Relation entre sin et cos :
cos(π/2 − x) = sin x
sin(π/2 − x) = cos x
Bornes : −1 ≤ cos x ≤ 1   et   −1 ≤ sin x ≤ 1   pour tout x ∈ ℝ cos et sin sont bornées — elles n'ont pas de limite en ±∞

IV. Courbes représentatives

Les courbes de sin et cos sont des sinusoïdes : elles ondulent entre −1 et 1 avec une période de 2π.

x y 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 1 −1 y = sin(x) y = cos(x)

Les courbes de sin (bleu) et cos (doré) — sinusoïdes de période 2π

On observe que la courbe de cos est simplement la courbe de sin décalée de π/2 vers la gauche : cos(x) = sin(x + π/2).

V. Formules de symétrie et de translation

Ces formules permettent de ramener tout angle à un angle du premier quadrant :

FormulePour cosPour sin
Symétrie par rapport à π cos(π − x) = −cos x sin(π − x) = sin x
Translation de π cos(π + x) = −cos x sin(π + x) = −sin x
Symétrie par rapport à 0 cos(−x) = cos x sin(−x) = −sin x
Décalage de π/2 cos(x − π/2) = sin x sin(x + π/2) = cos x
✅ Applications directes
  • cos(3π/4) = −cos(π/4) = −√2/2
  • sin(5π/6) = sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2
  • cos(−π/3) = cos(π/3) = 1/2
  • sin(7π/6) = −sin(π/6) = −1/2
❌ Erreurs fréquentes
  • sin(a + b) ≠ sin a + sin b
  • cos(2x) ≠ 2cos(x)
  • sin(π − x) ≠ −sin x (c'est +sin x !)
  • cos²x ≠ cos(x²)
📈
Exploration interactive
Explore sin(x) et cos(x) — modifie amplitude et période

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Valeurs exactes

Donner la valeur exacte de :

  • a) cos(π/4)
  • b) sin(2π/3)
  • c) cos(5π/6)
  • d) sin(−π/3)
a) cos(π/4) = √2/2  (valeur remarquable directe)
b) sin(2π/3) = sin(π − π/3) = sin(π/3) = √3/2
c) cos(5π/6) = cos(π − π/6) = −cos(π/6) = −√3/2
d) sin(−π/3) = −sin(π/3) = −√3/2  (sin est impaire)
Exercice 2 — Relation fondamentale

On sait que sin x = 3/5 et que x ∈ [0 ; π/2]. Calculer cos x, puis tan x = sin x / cos x.

cos²x = 1 − sin²x = 1 − 9/25 = 16/25
Comme x ∈ [0 ; π/2], cos x ≥ 0, donc cos x = 4/5
tan x = sin x / cos x = (3/5) / (4/5) = 3/4
Exercice 3 — Résolution d'équation

Résoudre sur [0 ; 2π] :

  • a) cos x = 1/2
  • b) sin x = −√2/2
a) cos x = 1/2 ⟹ x = π/3 ou x = −π/3 + 2π = 5π/3
Solutions sur [0 ; 2π] : x = π/3 et x = 5π/3

b) sin x = −√2/2. On cherche l'angle de référence : sin(π/4) = √2/2, donc le signe − indique le 3ème et 4ème quadrant.
x = π + π/4 = 5π/4   ou   x = 2π − π/4 = 7π/4
Solutions sur [0 ; 2π] : x = 5π/4 et x = 7π/4
Exercice 4 — Périodicité

Sachant que cos(x) = 0.6, donner les valeurs de cos(x + 2π), cos(x + 4π) et cos(−x). Justifier chaque réponse.

cos(x + 2π) = cos x = 0.6  (2π-périodicité)
cos(x + 4π) = cos(x + 2×2π) = cos x = 0.6  (deux périodes complètes)
cos(−x) = cos x = 0.6  (cos est une fonction paire)
mascotte

À retenir

  • Définition : Pour tout angle x, M = (cos x ; sin x) est le point du cercle unité.
  • Relation fondamentale : cos²x + sin²x = 1 (Pythagore sur le cercle).
  • Périodicité : cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x — période 2π.
  • Parité : cos est paire (cos(−x) = cos x) ; sin est impaire (sin(−x) = −sin x).
  • Bornes : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 pour tout x ∈ ℝ.
  • Valeurs clés : cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1, cos(π) = −1, sin(π) = 0.

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