I. Définition et domaine
La tangente est définie comme le rapport du sinus sur le cosinus. Elle n'existe donc pas lorsque le cosinus vaut zéro.
tan x = sin x / cos x
Domaine : ℝ privé des valeurs où cos x = 0, c'est-à-dire Dtan = ℝ \ { π/2 + kπ, k ∈ ℤ }
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Nerveux explique : Imagine un camion qui monte une colline à Bobo-Dioulasso.
La tangente, c'est exactement la pente de la route : combien de mètres on monte
pour chaque mètre qu'on avance horizontalement. Quand la route devient
verticale (angle de 90°), on ne peut plus avancer — la pente devient infinie !
C'est exactement là que tan n'est pas définie : en π/2, 3π/2…
tan x=sin x / cos x
Période→π
Domaine→ℝ \ {π/2 + kπ}
⚠ Attention : La tangente n'est pas définie en x = π/2, −π/2, 3π/2, −3π/2, …
En ces points, cos x = 0 et la fraction sin x / cos x n'a pas de sens.
La courbe présente des asymptotes verticales en ces valeurs.
II. Valeurs remarquables
Les valeurs de tan se déduisent directement de celles de sin et cos. Rappel : tan x = sin x / cos x.
| Angle x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 0 |
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1/2 | −√2/2 | −1 |
| tan x | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∄ | −√3 | −1 | 0 |
Valeurs clés à retenir :
tan(0) = 0 | tan(π/4) = 1 | tan(π/3) = √3 | tan(π/6) = 1/√3 = √3/3
tan(π) = 0 | tan(3π/4) = −1
tan(0) = 0 | tan(π/4) = 1 | tan(π/3) = √3 | tan(π/6) = 1/√3 = √3/3
tan(π) = 0 | tan(3π/4) = −1
III. Courbe représentative
La courbe de tan présente des asymptotes verticales en x = π/2 + kπ et est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine.
Courbe de y = tan(x) — asymptotes verticales en rouge, strictement croissante par morceaux
IV. Propriétés fondamentales
🔄 Périodicité
tan est π-périodique (période deux fois plus courte que sin et cos) :
tan(x + π) = tan x
↔ Parité
tan est une fonction impaire :
tan(−x) = −tan x
Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
📈 Croissance
Sur chaque intervalle ]−π/2 + kπ ; π/2 + kπ[, tan est strictement croissante.
tan'(x) = 1/cos²x = 1 + tan²x
∞ Limites
Aux bords de chaque intervalle :
lim → (π/2)⁻ tan x = +∞
lim → (−π/2)⁺ tan x = −∞
Relation utile : 1 + tan²x = 1 / cos²x
Découle de cos²x + sin²x = 1, en divisant par cos²x
V. Formules de symétrie
Comme pour sin et cos, certaines formules permettent de transformer ou simplifier tan :
| Formule | Résultat | Remarque |
|---|---|---|
| Imparité | tan(−x) = −tan x | Fonction impaire |
| Translation de π | tan(x + π) = tan x | Période de π |
| Symétrie par rapport à π | tan(π − x) = −tan x | Change de signe |
| Complémentarité | tan(π/2 − x) = 1/tan x | Co-tangente |
✅ Applications correctes
- tan(5π/4) = tan(π/4 + π) = tan(π/4) = 1
- tan(−π/3) = −tan(π/3) = −√3
- tan(3π/4) = tan(π − π/4) = −tan(π/4) = −1
- tan(7π/6) = tan(π/6 + π) = tan(π/6) = 1/√3
❌ Pièges fréquents
- tan(π/2) n'existe pas !
- tan(a + b) ≠ tan a + tan b
- La période de tan est π, pas 2π
- tan(x)² ≠ tan(x²)
Exploration interactive
Trace tan(x) et observe les asymptotes verticales
✏️ Exercices d'application
Exercice 1 — Valeurs exactes
Calculer sans calculatrice :
- a) tan(π/4)
- b) tan(2π/3)
- c) tan(−π/6)
- d) tan(5π/4)
a) tan(π/4) = sin(π/4)/cos(π/4) = (√2/2)/(√2/2) = 1
b) tan(2π/3) = tan(π − π/3) = −tan(π/3) = −√3
c) tan(−π/6) = −tan(π/6) = −(1/2)/(√3/2) = −1/√3 = −√3/3
d) tan(5π/4) = tan(π/4 + π) = tan(π/4) = 1
b) tan(2π/3) = tan(π − π/3) = −tan(π/3) = −√3
c) tan(−π/6) = −tan(π/6) = −(1/2)/(√3/2) = −1/√3 = −√3/3
d) tan(5π/4) = tan(π/4 + π) = tan(π/4) = 1
Exercice 2 — Domaine et asymptotes
Pour la fonction f(x) = tan(2x) :
a) Trouver le domaine de définition.
b) Identifier les équations des asymptotes verticales sur [−π ; π].
a) tan(2x) est définie quand cos(2x) ≠ 0, soit 2x ≠ π/2 + kπ, soit x ≠ π/4 + kπ/2.
Df = ℝ \ { π/4 + kπ/2, k ∈ ℤ }
b) Sur [−π ; π], les valeurs exclues sont :
x = −3π/4, x = −π/4, x = π/4, x = 3π/4
Les asymptotes verticales ont pour équations : x = −3π/4, x = −π/4, x = π/4, x = 3π/4
Df = ℝ \ { π/4 + kπ/2, k ∈ ℤ }
b) Sur [−π ; π], les valeurs exclues sont :
x = −3π/4, x = −π/4, x = π/4, x = 3π/4
Les asymptotes verticales ont pour équations : x = −3π/4, x = −π/4, x = π/4, x = 3π/4
Exercice 3 — Résolution d'équation
Résoudre sur ]−π/2 ; π/2[ :
- a) tan x = 1
- b) tan x = −√3
- c) tan x = 0
a) tan x = 1 ⟹ x = π/4 (valeur remarquable)
Solution : x = π/4
b) tan x = −√3 ⟹ x = −π/3 (car tan(π/3) = √3 et tan est impaire)
Solution : x = −π/3
c) tan x = 0 ⟹ sin x = 0 ⟹ x = 0 sur ]−π/2 ; π/2[
Solution : x = 0
Solution : x = π/4
b) tan x = −√3 ⟹ x = −π/3 (car tan(π/3) = √3 et tan est impaire)
Solution : x = −π/3
c) tan x = 0 ⟹ sin x = 0 ⟹ x = 0 sur ]−π/2 ; π/2[
Solution : x = 0
Exercice 4 — Relation 1 + tan²x
Sachant que tan x = 2 et que x ∈ ]0 ; π/2[, calculer cos²x, puis cos x et sin x.
On utilise : 1 + tan²x = 1/cos²x
1 + 4 = 1/cos²x ⟹ cos²x = 1/5
Comme x ∈ ]0 ; π/2[, cos x > 0, donc cos x = 1/√5 = √5/5
sin x = tan x × cos x = 2 × (1/√5) = 2/√5 = 2√5/5
Vérification : cos²x + sin²x = 1/5 + 4/5 = 1 ✓
1 + 4 = 1/cos²x ⟹ cos²x = 1/5
Comme x ∈ ]0 ; π/2[, cos x > 0, donc cos x = 1/√5 = √5/5
sin x = tan x × cos x = 2 × (1/√5) = 2/√5 = 2√5/5
Vérification : cos²x + sin²x = 1/5 + 4/5 = 1 ✓
À retenir
- Définition : tan x = sin x / cos x, non définie quand cos x = 0.
- Domaine : ℝ \ { π/2 + kπ, k ∈ ℤ } — asymptotes verticales en ces points.
- Période : π (deux fois plus courte que sin et cos).
- Parité : tan est impaire — tan(−x) = −tan x.
- Croissance : strictement croissante sur chaque intervalle ]−π/2 + kπ ; π/2 + kπ[.
- Relation clé : 1 + tan²x = 1/cos²x.
- Valeurs clés : tan(0) = 0, tan(π/4) = 1, tan(π/3) = √3, tan(π/6) = √3/3.