I. La fonction composée — enchaîner deux machines
Composer deux fonctions, c'est appliquer l'une après l'autre. On donne d'abord x à g, qui produit g(x), puis on donne ce résultat à f, qui produit f(g(x)). La fonction obtenue s'appelle la composée de f par g.
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
On lit : « f rond g de x » — on applique g en premier, f en second
xentrée
→
g1ʳᵉ machine
→
g(x)résultat intermédiaire
→
f2ᵉ machine
→
f(g(x))sortie finale
La composée f ∘ g : on traverse g, puis f
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Nerveux explique : Imagine une unité de transformation du karité à Dédougou.
D'abord la première machine concasse les noix et produit de la pâte (c'est g).
Ensuite la deuxième machine chauffe la pâte et extrait le beurre (c'est f).
La fonction composée f ∘ g, c'est toute la chaîne d'un seul coup :
noix → beurre de karité, sans voir l'étape intermédiaire.
⚠ L'ordre est crucial ! En général, f ∘ g ≠ g ∘ f.
Appliquer f puis g ne donne pas le même résultat qu'appliquer g puis f.
La composition n'est pas commutative.
II. Exemples de fonctions composées
La première étape est toujours d'identifier g et f : g est ce qu'on calcule en premier (l'intérieur), f est ce qu'on applique ensuite (l'extérieur).
1
Repérer g(x) — l'expression à l'intérieur de la fonction principale.
2
Repérer f — la fonction qui s'applique à g(x).
3
Écrire (f ∘ g)(x) = f(g(x)) et calculer.
Exemple 1 — Identifier la décomposition
Soit h(x) = e^(3x+1). Exprimer h comme une composée f ∘ g.
On repère que l'exponentielle s'applique à (3x + 1).
g(x) = 3x + 1 (la fonction intérieure)
f(x) = eˣ (la fonction extérieure)
Vérification : f(g(x)) = f(3x+1) = e^(3x+1) = h(x) ✓
h = f ∘ g avec g(x) = 3x+1 et f(x) = eˣ
Exemple 2 — Calculer (f ∘ g)(x)
Soient f(x) = x² + 1 et g(x) = 2x − 3. Calculer (f ∘ g)(x) et (g ∘ f)(x).
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x − 3) = (2x − 3)² + 1
= 4x² − 12x + 9 + 1
(f ∘ g)(x) = 4x² − 12x + 10
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x² + 1) = 2(x² + 1) − 3
= 2x² + 2 − 3
(g ∘ f)(x) = 2x² − 1 ← différent de f ∘ g !
Exemple 3 — Composée avec ln et exp
Soient f(x) = ln(x) et g(x) = eˣ. Calculer (f ∘ g)(x) et (g ∘ f)(x).
(f ∘ g)(x) = ln(eˣ) = x pour tout x ∈ ℝ
(g ∘ f)(x) = e^(ln x) = x pour tout x > 0
C'est exceptionnel ! Ici f ∘ g = g ∘ f = identité — ln et exp sont réciproques l'une de l'autre.
ln et exp sont les seules fonctions où (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x) = x
III. Fonction réciproque — revenir en arrière
Une fonction réciproque (ou inverse) est une fonction qui annule l'effet de la première. Si f envoie x sur y, alors f⁻¹ renvoie y sur x.
f⁻¹ est la réciproque de f ⟺ f(f⁻¹(y)) = y et f⁻¹(f(x)) = x
La composée d'une fonction et de sa réciproque donne toujours l'identité
Condition d'existence : Une fonction admet une réciproque si et seulement si
elle est strictement monotone (entièrement croissante ou entièrement décroissante).
Dans ce cas, chaque valeur de sortie correspond à une unique valeur d'entrée.
Méthode pour trouver f⁻¹
1
Écrire y = f(x) — poser la relation de départ.
2
Isoler x en fonction de y — résoudre l'équation pour x.
3
Remplacer y par x — on obtient f⁻¹(x).
4
Préciser le domaine de f⁻¹ = l'ensemble image de f.
Exemple 4 — Trouver la fonction réciproque
Trouver la réciproque de f(x) = 2x + 5.
Étape 1 : y = 2x + 5
Étape 2 : y − 5 = 2x ⟹ x = (y − 5) / 2
Étape 3 : f⁻¹(x) = (x − 5) / 2
Vérification : f(f⁻¹(x)) = 2·(x−5)/2 + 5 = x − 5 + 5 = x ✓
f⁻¹(x) = (x − 5) / 2, définie sur ℝ
Exemple 5 — Réciproque de l'exponentielle
Retrouver que la réciproque de f(x) = eˣ est ln(x).
Étape 1 : y = eˣ (avec y > 0)
Étape 2 : prendre le logarithme des deux membres → ln(y) = x
Étape 3 : f⁻¹(x) = ln(x), défini sur ]0 ; +∞[
La réciproque de eˣ est ln(x) — ce sont des fonctions réciproques l'une de l'autre
IV. Courbe de la fonction réciproque
La courbe de f⁻¹ est le symétrique de la courbe de f par rapport à la droite y = x. C'est une propriété géométrique fondamentale.
eˣ (bleu) et ln(x) (doré) sont symétriques par rapport à y = x (gris)
V. Fonctions réciproques usuelles
Voici les couples de fonctions réciproques les plus courants. Les connaître permet de résoudre rapidement de nombreuses équations.
| Fonction f | Réciproque f⁻¹ | Domaine de f | Domaine de f⁻¹ |
|---|---|---|---|
| eˣ | ln(x) | ℝ | ]0 ; +∞[ |
| ln(x) | eˣ | ]0 ; +∞[ | ℝ |
| x² | √x | [0 ; +∞[ | [0 ; +∞[ |
| sin(x) | arcsin(x) | [−π/2 ; π/2] | [−1 ; 1] |
| cos(x) | arccos(x) | [0 ; π] | [−1 ; 1] |
| tan(x) | arctan(x) | ]−π/2 ; π/2[ | ℝ |
✅ Applications directes
- Si e^(2x) = 5, alors 2x = ln(5) → x = ln(5)/2
- Si ln(x+1) = 3, alors x+1 = e³ → x = e³ − 1
- Si x² = 7 (x ≥ 0), alors x = √7
- arcsin(sin(π/5)) = π/5 (dans [−π/2 ; π/2])
❌ Erreurs fréquentes
- (f ∘ g)(x) ≠ f(x) · g(x) — c'est une composition, pas un produit
- f⁻¹(x) ≠ 1/f(x) — l'exposant −1 signifie réciproque, pas inverse
- sin⁻¹ ≠ 1/sin — arcsin est la réciproque, pas 1/sin
- √(x²) ≠ x en général — c'est |x|
Exploration interactive
Compose des fonctions et visualise f∘g en temps réel
✏️ Exercices d'application
Exercice 1 — Identifier et calculer des composées
Soient f(x) = 3x − 1 et g(x) = x² + 2. Calculer :
- a) (f ∘ g)(x)
- b) (g ∘ f)(x)
- c) (f ∘ g)(2)
- d) (f ∘ f)(x)
a) (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x² + 2) = 3(x² + 2) − 1 = 3x² + 5
b) (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(3x − 1) = (3x − 1)² + 2 = 9x² − 6x + 1 + 2 = 9x² − 6x + 3
➤ On confirme : f ∘ g ≠ g ∘ f !
c) (f ∘ g)(2) = 3(4) + 5 = 17 (ou directement : g(2) = 6, f(6) = 17)
d) (f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f(3x − 1) = 3(3x − 1) − 1 = 9x − 3 − 1 = 9x − 4
b) (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(3x − 1) = (3x − 1)² + 2 = 9x² − 6x + 1 + 2 = 9x² − 6x + 3
➤ On confirme : f ∘ g ≠ g ∘ f !
c) (f ∘ g)(2) = 3(4) + 5 = 17 (ou directement : g(2) = 6, f(6) = 17)
d) (f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f(3x − 1) = 3(3x − 1) − 1 = 9x − 3 − 1 = 9x − 4
Exercice 2 — Trouver la fonction réciproque
Déterminer la réciproque de chaque fonction et préciser son domaine :
- a) f(x) = 4x − 7
- b) g(x) = x³ (sur ℝ)
- c) h(x) = e^(2x − 1)
- d) k(x) = ln(x + 3)
a) y = 4x − 7 ⟹ x = (y + 7)/4 ⟹ f⁻¹(x) = (x + 7)/4, D = ℝ
b) y = x³ ⟹ x = ∛y ⟹ g⁻¹(x) = ∛x = x^(1/3), D = ℝ
c) y = e^(2x−1) ⟹ ln(y) = 2x − 1 ⟹ x = (ln(y) + 1)/2
h⁻¹(x) = (ln(x) + 1)/2, D = ]0 ; +∞[
d) y = ln(x + 3) ⟹ eʸ = x + 3 ⟹ x = eʸ − 3
k⁻¹(x) = eˣ − 3, D = ℝ
b) y = x³ ⟹ x = ∛y ⟹ g⁻¹(x) = ∛x = x^(1/3), D = ℝ
c) y = e^(2x−1) ⟹ ln(y) = 2x − 1 ⟹ x = (ln(y) + 1)/2
h⁻¹(x) = (ln(x) + 1)/2, D = ]0 ; +∞[
d) y = ln(x + 3) ⟹ eʸ = x + 3 ⟹ x = eʸ − 3
k⁻¹(x) = eˣ − 3, D = ℝ
Exercice 3 — Décomposer une fonction composée
Pour chaque fonction h, trouver deux fonctions f et g telles que h = f ∘ g :
- a) h(x) = √(x² + 4)
- b) h(x) = ln(sin x)
- c) h(x) = (2x + 1)⁴
- d) h(x) = e^(−x²)
a) g(x) = x² + 4 et f(x) = √x ⟹ f(g(x)) = √(x²+4) ✓
b) g(x) = sin(x) et f(x) = ln(x) ⟹ f(g(x)) = ln(sin x) ✓
(Domaine : sin x > 0)
c) g(x) = 2x + 1 et f(x) = x⁴ ⟹ f(g(x)) = (2x+1)⁴ ✓
d) g(x) = −x² et f(x) = eˣ ⟹ f(g(x)) = e^(−x²) ✓
b) g(x) = sin(x) et f(x) = ln(x) ⟹ f(g(x)) = ln(sin x) ✓
(Domaine : sin x > 0)
c) g(x) = 2x + 1 et f(x) = x⁴ ⟹ f(g(x)) = (2x+1)⁴ ✓
d) g(x) = −x² et f(x) = eˣ ⟹ f(g(x)) = e^(−x²) ✓
Exercice 4 — Application concrète : Traitement de l'eau à Ouaga ⭐
L'ONEA (Office National de l'Eau et de l'Assainissement) modélise la concentration en bactéries C (en milliers/litre) dans un bassin de traitement d'eau à Ouagadougou par la fonction :
C(t) = e^(−0,5t + 2), où t est la durée de traitement en heures (t ≥ 0).
- a) Décomposer C comme une composée f ∘ g. Identifier f et g.
- b) Calculer C(0) et C(4). Interpréter dans le contexte.
- c) L'eau est potable quand C ≤ 1 (millier de bactéries/litre). Trouver le temps de traitement minimal nécessaire, en utilisant la fonction réciproque de f.
a) On reconnaît :
g(t) = −0,5t + 2 (fonction linéaire, la "durée transformée")
f(x) = eˣ (l'exponentielle)
Donc C = f ∘ g, car C(t) = f(g(t)) = e^(−0,5t + 2) ✓
b) C(0) = e^(0 + 2) = e² ≈ 7,39 milliers de bactéries/litre
Au début du traitement, la concentration est élevée (environ 7 390 bactéries/litre).
C(4) = e^(−2 + 2) = e⁰ = 1 millier de bactéries/litre
Après 4 heures, on est exactement à la limite de potabilité.
c) On cherche t tel que C(t) ≤ 1, soit e^(−0,5t + 2) ≤ 1.
La réciproque de eˣ est ln(x) :
Appliquer ln des deux membres (ln est croissante) :
−0,5t + 2 ≤ ln(1) = 0
−0,5t ≤ −2
t ≥ 4
Il faut au minimum 4 heures de traitement pour que l'eau soit potable.
g(t) = −0,5t + 2 (fonction linéaire, la "durée transformée")
f(x) = eˣ (l'exponentielle)
Donc C = f ∘ g, car C(t) = f(g(t)) = e^(−0,5t + 2) ✓
b) C(0) = e^(0 + 2) = e² ≈ 7,39 milliers de bactéries/litre
Au début du traitement, la concentration est élevée (environ 7 390 bactéries/litre).
C(4) = e^(−2 + 2) = e⁰ = 1 millier de bactéries/litre
Après 4 heures, on est exactement à la limite de potabilité.
c) On cherche t tel que C(t) ≤ 1, soit e^(−0,5t + 2) ≤ 1.
La réciproque de eˣ est ln(x) :
Appliquer ln des deux membres (ln est croissante) :
−0,5t + 2 ≤ ln(1) = 0
−0,5t ≤ −2
t ≥ 4
Il faut au minimum 4 heures de traitement pour que l'eau soit potable.
À retenir
- Composée : (f ∘ g)(x) = f(g(x)) — on applique g d'abord, puis f.
- Non-commutativité : en général, f ∘ g ≠ g ∘ f. L'ordre compte !
- Réciproque f⁻¹ : f(f⁻¹(x)) = x et f⁻¹(f(x)) = x — elle annule l'effet de f.
- Méthode : y = f(x) ⟹ isoler x ⟹ f⁻¹(x) = expression en x.
- Géométrie : la courbe de f⁻¹ est le symétrique de celle de f par rapport à y = x.
- Couples clés : eˣ ↔ ln(x) | x² ↔ √x | sin ↔ arcsin | tan ↔ arctan.
- Attention : f⁻¹(x) ne signifie pas 1/f(x) — c'est la réciproque, pas l'inverse multiplicatif !