I. Définition et vocabulaire
Un système d'équations linéaires est un ensemble de plusieurs équations du premier degré portant sur les mêmes inconnues, que l'on doit satisfaire simultanément. La solution est le couple \((x\,;\,y)\) — ou triplet \((x\,;\,y\,;\,z)\) — qui vérifie toutes les équations à la fois.
Les coefficients \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) sont des réels donnés. Les inconnues apparaissent à la puissance 1, ce qui en fait un système linéaire. Un tel système peut admettre une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions.
.png)
II. Interprétation graphique
Chaque équation linéaire à deux inconnues représente une droite dans le plan. Résoudre le système revient à trouver le point d'intersection de ces deux droites.
Les trois cas selon la position relative des droites
| Configuration | Droites | Nombre de solutions |
|---|---|---|
| Sécantes | Se coupent en un point | 1 solution unique \((x_0\,;\,y_0)\) |
| Parallèles distinctes | Mêmes pentes, ordonnées différentes | Aucune solution — \(S = \emptyset\) |
| Confondues | Équations proportionnelles | Infinité de solutions |
III. Méthode par substitution
La substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre grâce à l'une des équations, puis à remplacer dans la seconde pour obtenir une équation à une seule inconnue.
- Choisir l'équation la plus simple et isoler l'une des inconnues, par exemple \(y\) en fonction de \(x\).
- Remplacer cette expression dans l'autre équation — on obtient une équation en \(x\) seulement.
- Résoudre cette équation du premier degré en \(x\).
- Calculer \(y\) en substituant la valeur de \(x\) dans l'expression de l'étape 1.
- Vérifier le couple \((x\,;\,y)\) dans les deux équations initiales.
IV. Méthode par combinaison linéaire
La combinaison linéaire (ou méthode d'addition-soustraction) consiste à multiplier chaque équation par un coefficient bien choisi afin de faire disparaître une inconnue par addition des deux équations.
- Choisir l'inconnue à éliminer — celle dont les coefficients sont les plus simples à rendre opposés.
- Multiplier chaque équation par un coefficient adapté pour que les coefficients de cette inconnue deviennent opposés.
- Additionner les deux équations membre à membre — l'inconnue visée disparaît.
- Résoudre l'équation à une inconnue obtenue.
- Retrouver la seconde inconnue par substitution, puis vérifier le couple solution.
V. Exemples travaillés
Résoudre le système : \(\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}\)
De la première équation, on isole \(x\) :
\(x = 7 - 2y\)
On substitue dans la deuxième équation :
\(3(7 - 2y) - y = 7\)
\(21 - 6y - y = 7\)
\(21 - 7y = 7\)
\(-7y = -14 \implies y = 2\)
On remplace \(y = 2\) dans l'expression de \(x\) :
\(x = 7 - 2 \times 2 = 3\)
Vérification dans les deux équations :
\(3 + 2 \times 2 = 7\) ✓ \(3 \times 3 - 2 = 7\) ✓
Résoudre le système : \(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - y = 10 \end{cases}\)
On veut éliminer \(y\). On multiplie la deuxième équation par 3 :
\(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 12x - 3y = 30 \end{cases}\)
On additionne membre à membre :
\((2x + 12x) + (3y - 3y) = 12 + 30\)
\(14x = 42 \implies x = 3\)
On remplace \(x = 3\) dans la deuxième équation de départ :
\(4 \times 3 - y = 10 \implies 12 - y = 10 \implies y = 2\)
Vérification : \(2 \times 3 + 3 \times 2 = 12\) ✓ \(4 \times 3 - 2 = 10\) ✓
Résoudre le système : \(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 7 \end{cases}\)
On multiplie la première équation par 2 :
\(\begin{cases} 4x + 2y = 10 \\ 4x + 2y = 7 \end{cases}\)
On soustrait membre à membre :
\(0 = 3\) → Impossible !
Les deux droites sont parallèles et distinctes — elles ne se croisent jamais.
Résoudre le système : \(\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}\)
On remarque que la deuxième équation est exactement 2 fois la première :
\(2 \times (x + 2y = 4) \implies 2x + 4y = 8\) — identique à la 2ème.
Les deux équations représentent la même droite. On exprime \(x\) en fonction de \(y\) :
\(x = 4 - 2y\), pour tout \(y \in \mathbb{R}\).
Tout couple \((4 - 2y\,;\,y)\) est solution — il y en a une infinité.
VI. Règle de Cramer — formule directe
La règle de Cramer donne les solutions d'un système \(2 \times 2\) directement via des déterminants, sans passer par les étapes intermédiaires. Elle est particulièrement utile quand les coefficients sont complexes.
Pour \(\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\), on pose :
\[D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \qquad D_x = c_1 b_2 - c_2 b_1 \qquad D_y = a_1 c_2 - a_2 c_1\]
Si \(D \neq 0\), la solution unique est \(x = \dfrac{D_x}{D}\) et \(y = \dfrac{D_y}{D}\).
Si \(D = 0\), le système est incompatible ou indéterminé selon \(D_x\) et \(D_y\).
Résoudre : \(\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - 4y = -6 \end{cases}\)
On identifie \(a_1=3,\ b_1=2,\ c_1=8\) et \(a_2=1,\ b_2=-4,\ c_2=-6\).
Déterminant principal :
\(D = 3 \times (-4) - 1 \times 2 = -12 - 2 = -14\)
Déterminant de \(x\) :
\(D_x = 8 \times (-4) - (-6) \times 2 = -32 + 12 = -20\)
Déterminant de \(y\) :
\(D_y = 3 \times (-6) - 1 \times 8 = -18 - 8 = -26\)
Solutions :
\(x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-20}{-14} = \dfrac{10}{7}\) \(y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-26}{-14} = \dfrac{13}{7}\)
Vérification dans l'équation 1 : \(3 \times \dfrac{10}{7} + 2 \times \dfrac{13}{7} = \dfrac{30+26}{7} = 8\) ✓
VII. Application concrète
Au marché artisanal de Ouagadougou, Aminata achète 2 chapeaux de Saponé et 1 paire de sandales en cuir pour 18 500 FCFA. Son ami Boureima achète 1 chapeau de Saponé et 3 paires de sandales pour 26 500 FCFA. Quel est le prix d'un chapeau ? D'une paire de sandales ?
Soit \(x\) le prix d'un chapeau et \(y\) le prix d'une paire de sandales (en FCFA).
On pose le système :
\(\begin{cases} 2x + y = 18\,500 \\ x + 3y = 26\,500 \end{cases}\)
De la première équation : \(y = 18\,500 - 2x\). On substitue dans la deuxième :
\(x + 3(18\,500 - 2x) = 26\,500\)
\(x + 55\,500 - 6x = 26\,500\)
\(-5x = -29\,000 \implies x = 5\,800\)
Puis : \(y = 18\,500 - 2 \times 5\,800 = 18\,500 - 11\,600 = 6\,900\)
Vérification : \(2 \times 5800 + 6900 = 18500\) ✓ \(5800 + 3 \times 6900 = 26500\) ✓
✏️ Exercices d'application
Résoudre par substitution :
- a) \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}\)
- b) \(\begin{cases} x = 3 - y \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}\)
\(3x + (2x-1) = 9 \implies 5x = 10 \implies x = 2\)
Puis \(y = 2 \times 2 - 1 = 3\). Vérif. : \(3 \times 2 + 3 = 9\) ✓ \(S = \{(2\,;\,3)\}\)
b) On substitue \(x = 3-y\) dans la deuxième :
\(2(3-y) - 3y = 1 \implies 6 - 2y - 3y = 1 \implies -5y = -5 \implies y = 1\)
Puis \(x = 3 - 1 = 2\). \(S = \{(2\,;\,1)\}\)
Résoudre par combinaison :
- a) \(\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - 2y = 0 \end{cases}\)
- b) \(\begin{cases} 5x + 3y = 11 \\ 2x - y = 0 \end{cases}\)
\(4x = 16 \implies x = 4\). Depuis la 2ème : \(4 - 2y = 0 \implies y = 2\). \(S = \{(4\,;\,2)\}\)
b) On multiplie la 2ème équation par 3 : \(6x - 3y = 0\). On additionne avec la 1ère :
\(11x = 11 \implies x = 1\). Puis \(2 \times 1 - y = 0 \implies y = 2\). \(S = \{(1\,;\,2)\}\)
Le Musée National propose deux tarifs : adulte et enfant.
- Un groupe de 4 adultes et 6 enfants paie 22 000 FCFA.
- Un groupe de 2 adultes et 5 enfants paie 14 000 FCFA.
Trouver le tarif adulte et le tarif enfant.
\(\begin{cases} 4a + 6e = 22\,000 \\ 2a + 5e = 14\,000 \end{cases}\)
On multiplie la 2ème équation par 2 : \(4a + 10e = 28\,000\).
On soustrait la 1ère : \(4e = 6\,000 \implies e = 1\,500\)
Puis : \(2a + 5 \times 1500 = 14\,000 \implies 2a = 6\,500 \implies a = 3\,250\)
Tarif adulte : 3 250 FCFA — Tarif enfant : 1 500 FCFA.
Vérif. : \(4 \times 3250 + 6 \times 1500 = 13\,000 + 9\,000 = 22\,000\) ✓
Lors du FESPACO à Ouagadougou, des vendeurs proposent brochettes et jus de bissap.
- Kofi achète 3 brochettes et 2 jus pour 2 700 FCFA.
- Awa achète 5 brochettes et 1 jus pour 3 100 FCFA.
Trouver le prix d'une brochette et d'un jus de bissap.
\(\begin{cases} 3b + 2j = 2\,700 \\ 5b + j = 3\,100 \end{cases}\)
De la 2ème : \(j = 3100 - 5b\). On substitue dans la 1ère :
\(3b + 2(3100 - 5b) = 2700 \implies 3b + 6200 - 10b = 2700 \implies -7b = -3500 \implies b = 500\)
Puis : \(j = 3100 - 5 \times 500 = 600\)
Brochette : 500 FCFA — Jus de bissap : 600 FCFA.
Vérif. : \(3 \times 500 + 2 \times 600 = 1500 + 1200 = 2700\) ✓
Un artisan fabrique deux types de masques culturels : des masques Bobo à 8 000 FCFA pièce et des masques Mossi à 5 000 FCFA pièce.
- Il produit en tout 30 masques par semaine.
- Son chiffre d'affaires hebdomadaire est de 192 000 FCFA.
a) Poser le système d'équations.
b) Résoudre et dire combien de masques de chaque type il produit.
\(\begin{cases} b + m = 30 \\ 8000b + 5000m = 192\,000 \end{cases}\)
De la 1ère : \(b = 30 - m\). On substitue dans la 2ème :
\(8000(30-m) + 5000m = 192\,000\)
\(240\,000 - 8000m + 5000m = 192\,000\)
\(-3000m = -48\,000 \implies m = 16\)
\(b = 30 - 16 = 14\)
L'artisan fabrique 14 masques Bobo et 16 masques Mossi par semaine.
Vérif. : \(8000 \times 14 + 5000 \times 16 = 112\,000 + 80\,000 = 192\,000\) ✓
À retenir
- Système : plusieurs équations à satisfaire simultanément sur les mêmes inconnues.
- Graphiquement : chaque équation = une droite ; la solution = leur intersection.
- Substitution : isoler une inconnue, la remplacer dans l'autre équation.
- Combinaison : rendre les coefficients d'une inconnue opposés, puis additionner.
- Si \(0 = k\) avec \(k \neq 0\) : droites parallèles, \(S = \emptyset\).
- Si \(0 = 0\) : droites confondues, infinité de solutions.
- Cramer : \(x = D_x/D\), \(y = D_y/D\) — formule directe si \(D \neq 0\).
- Toujours vérifier le couple solution dans les deux équations de départ.