I. Définition et notations
Une inéquation est une inégalité faisant intervenir une ou plusieurs inconnues. Résoudre une inéquation, c'est trouver l'ensemble de toutes les valeurs de l'inconnue qui la rendent vraie. Cet ensemble de solutions est en général un intervalle de \(\mathbb{R}\).
Contrairement à une équation qui cherche des valeurs précises, une inéquation donne une infinité de solutions formant un intervalle. Il est essentiel de bien distinguer les symboles : \(<\) (strictement inférieur), \(\leq\) (inférieur ou égal), \(>\) (strictement supérieur), \(\geq\) (supérieur ou égal).
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II. Notation intervalle et droite numérique
L'ensemble des solutions d'une inéquation est un intervalle de \(\mathbb{R}\). On le note avec des crochets : le crochet fermé \([\,]\) indique que la borne est incluse (\(\leq\) ou \(\geq\)), le crochet ouvert \(]\,[\) indique qu'elle est exclue (\(<\) ou \(>\)).
| Inéquation | Intervalle | Borne incluse ? |
|---|---|---|
| \(x > a\) | \(]a\,;\,+\infty[\) | Non — exclue (cercle vide) |
| \(x \geq a\) | \([a\,;\,+\infty[\) | Oui — incluse (cercle plein) |
| \(x < a\) | \(]{-}\infty\,;\,a[\) | Non — exclue (cercle vide) |
| \(x \leq a\) | \(]{-}\infty\,;\,a]\) | Oui — incluse (cercle plein) |
| \(a \leq x \leq b\) | \([a\,;\,b]\) | Oui — les deux bornes |
| \(a < x \leq b\) | \(]a\,;\,b]\) | Gauche exclue, droite incluse |
Cercle vide = borne exclue (\(<\) ou \(>\)) — Cercle plein = borne incluse (\(\leq\) ou \(\geq\))
III. Règles de transformation — la règle cruciale du signe
Comme pour les équations, on peut transformer une inéquation sans changer son ensemble-solution. Cependant, il existe une règle fondamentalement différente qui distingue les inéquations des équations : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Prenons un exemple concret : on sait que \(3 < 5\). Si on multiplie les deux membres par \(-1\) :
\(3 \times (-1) = -3\) et \(5 \times (-1) = -5\)
Or \(-3 > -5\) sur la droite numérique. L'inégalité s'est bien inversée. En multipliant par un négatif, on retourne l'axe des réels : ce qui était à droite passe à gauche. C'est pourquoi \(<\) devient \(>\) et \(\leq\) devient \(\geq\). C'est l'erreur la plus fréquente dans les inéquations — ne jamais l'oublier.
IV. Méthode de résolution
- Développer toutes les parenthèses des deux membres.
- Regrouper les termes en \(x\) d'un côté, les constantes de l'autre.
- Réduire chaque membre.
- Diviser par le coefficient de \(x\) — si ce coefficient est négatif, inverser le sens !
- Écrire la solution sous forme d'intervalle et la représenter sur la droite numérique.
V. Exemples travaillés
Résoudre \(3x - 4 > 5\).
On ajoute 4 aux deux membres :
\(3x > 9\)
On divise par 3 — positif, le sens ne change pas :
\(x > 3\)
Sur la droite numérique : cercle vide en 3, flèche vers \(+\infty\).
Résoudre \(-2x + 6 \leq 12\).
On soustrait 6 des deux membres :
\(-2x \leq 6\)
On divise par \(-2\) — coefficient négatif : le sens s'inverse !
\(x \geq \dfrac{6}{-2} \implies x \geq -3\)
Sur la droite numérique : cercle plein en \(-3\), flèche vers \(+\infty\).
Résoudre \(2(x + 3) < 5x - 3\).
On développe le membre gauche :
\(2x + 6 < 5x - 3\)
On regroupe les \(x\) à gauche, les constantes à droite :
\(2x - 5x < -3 - 6\)
\(-3x < -9\)
On divise par \(-3\) — négatif : le sens s'inverse !
\(x > 3\)
Résoudre \(-1 \leq 3x + 2 \leq 11\).
On travaille sur les trois membres simultanément. On soustrait 2 partout :
\(-3 \leq 3x \leq 9\)
On divise par 3 — positif, sens conservé :
\(-1 \leq x \leq 3\)
Les deux bornes sont incluses — cercles pleins aux deux extrémités.
Résoudre \(\dfrac{x - 1}{2} \geq \dfrac{2x + 3}{5}\).
On multiplie les deux membres par 10 (PPCM de 2 et 5) — positif, sens conservé :
\(5(x - 1) \geq 2(2x + 3)\)
\(5x - 5 \geq 4x + 6\)
On regroupe :
\(x \geq 11\)
Contrainte de budget : \(4500n \leq 58\,500\).
Contrainte de commande : \(n \geq 6\).
On résout la contrainte de budget :
\(n \leq \dfrac{58\,500}{4\,500} = 13\)
On combine les deux contraintes :
\(6 \leq n \leq 13\)
Comme \(n\) est un entier (on ne produit pas de demi-paire !), les valeurs sont \(n \in \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}\).
VI. Application concrète — Situations réelles ⭐
Un artisan cordonnier de Koudougou fabrique des chaussures à semelles en cuir. Chaque paire lui coûte 4 500 FCFA en matières premières. Il dispose d'un budget hebdomadaire de 58 500 FCFA et doit produire au moins 6 paires par semaine pour honorer ses commandes.
Trouver tous les nombres de paires \(n\) qu'il peut produire.
✏️ Exercices d'application
Résoudre chaque inéquation et écrire la solution sous forme d'intervalle :
- a) \(4x + 1 > 9\)
- b) \(-3x \leq 12\)
- c) \(2x - 5 < x + 3\)
- d) \(5 - x \geq 2x - 4\)
b) \(-3x \leq 12\). On divise par \(-3\) — sens inverse : \(x \geq -4\). \(S = [-4\,;\,+\infty[\)
c) \(2x - x < 3 + 5 \implies x < 8\). \(S = ]{-}\infty\,;\,8[\)
d) \(5 + 4 \geq 2x + x \implies 9 \geq 3x \implies x \leq 3\). \(S = ]{-}\infty\,;\,3]\)
Résoudre les encadrements suivants :
- a) \(2 \leq 2x - 4 \leq 8\)
- b) \(-5 < 3 - 2x < 7\)
b) On soustrait 3 partout : \(-8 < -2x < 4\).
On divise par \(-2\) — sens inverse : \(4 > x > -2\), soit \(-2 < x < 4\). \(S = ]-2\,;\,4[\)
Au site des Sculptures de Laongo, un sentier ne peut supporter qu'un poids total inférieur ou égal à 2 000 kg. Un groupe de touristes de poids moyen 72 kg souhaite l'emprunter avec un guide pesant 80 kg.
- a) Écrire une inéquation en \(n\) (nombre de touristes).
- b) Résoudre et donner le nombre maximum de touristes autorisés.
b) \(72n \leq 1920 \implies n \leq \dfrac{1920}{72} = 26{,}6\ldots\)
Comme \(n\) est un entier : \(n \leq 26\).
Le sentier peut accueillir au maximum 26 touristes en plus du guide.
Un artisan vend des masques culturels au marché de Ouagadougou. Chaque masque se vend 7 500 FCFA et ses charges fixes hebdomadaires sont de 45 000 FCFA.
- a) Exprimer son bénéfice \(B\) en fonction du nombre \(n\) de masques vendus.
- b) Pour combien de masques son bénéfice est-il strictement positif ?
- c) Pour combien de masques son bénéfice dépasse-t-il 30 000 FCFA ?
b) \(B > 0 \implies 7500n > 45\,000 \implies n > 6\).
Il doit vendre au moins 7 masques pour être bénéficiaire.
c) \(7500n - 45\,000 > 30\,000 \implies 7500n > 75\,000 \implies n > 10\).
Il doit vendre au moins 11 masques pour dépasser 30 000 FCFA de bénéfice.
La Mare aux Caïmans de Sabou organise des visites guidées. Un guide perçoit un forfait de 10 000 FCFA plus 1 500 FCFA par visiteur. Pour que la visite soit rentable, la recette doit dépasser 40 000 FCFA. Pour des raisons de sécurité, le groupe ne peut pas dépasser 20 personnes.
- a) Écrire les deux inéquations en \(n\) (nombre de visiteurs).
- b) Trouver les valeurs de \(n\) satisfaisant les deux contraintes à la fois.
b) Contrainte de rentabilité : \(1500n > 30\,000 \implies n > 20\).
On cherche \(n\) tel que \(n > 20\) et \(n \leq 20\) simultanément — ces deux conditions sont incompatibles. Aucun entier ne peut vérifier les deux à la fois.
Conclusion : avec les tarifs et la capacité actuels, aucune visite ne peut être à la fois rentable et sûre. C'est un signal que le site doit revoir son tarif ou sa capacité. En modélisation, un ensemble-solution vide est une information importante, pas une erreur !
À retenir
- Inéquation : inégalité à une inconnue — la solution est un intervalle de \(\mathbb{R}\).
- Notation : \([\,]\) pour une borne incluse (\(\leq\) ou \(\geq\)) ; \(]\,[\) pour exclue (\(<\) ou \(>\)).
- Addition/soustraction : le sens de l'inégalité ne change pas.
- × ou ÷ par un positif : le sens ne change pas.
- × ou ÷ par un négatif : le sens s'inverse obligatoirement.
- Double inégalité : on opère sur les trois membres simultanément.
- En contexte : toujours vérifier que les solutions ont un sens réel (entiers, valeurs positives…).
- Ensemble vide : possible si deux contraintes sont incompatibles — c'est une information utile !