Leçon 5 — Tableaux de signes

Analyser le signe d'un produit ou d'un quotient d'expressions sur tout \(\mathbb{R}\)

I. Pourquoi les tableaux de signes ?

Résoudre une inéquation comme \((2x - 4)(x + 1) > 0\) ou \(\dfrac{x - 3}{x + 2} \leq 0\) en développant puis en isolant \(x\) est impossible directement — on ne peut pas diviser une inéquation par un facteur sans savoir son signe. Le tableau de signes est la méthode systématique qui permet d'analyser le signe d'un produit ou d'un quotient sur l'ensemble des réels, en combinant les signes de chaque facteur.

🔍 La règle des signes — le cœur de la méthode

Le signe d'un produit ou d'un quotient dépend uniquement des signes de ses facteurs :

\((+) \times (+) = (+)\) \((-) \times (-) = (+)\) \((+) \times (-) = (-)\) \((-) \times (+) = (-)\)

En résumé : même signe → positif ; signes opposés → négatif. C'est la même règle que pour la multiplication de nombres relatifs, appliquée à des expressions algébriques.

Nerveux explique : Au marché artisanal de Ouagadougou, un vendeur de masques culturels raisonne en bénéfice. Quand ses recettes et ses économies sont toutes les deux positives, il gagne de l'argent. Quand l'une est positive et l'autre négative, il perd. C'est exactement la règle des signes. Un tableau de signes, c'est juste une façon d'organiser ce raisonnement pour chaque intervalle entre les racines des facteurs, comme des saisons de marché : avant la fête, pendant, et après.

Racine→Valeur où le facteur s'annule

Facteur→Chaque expression du produit

Quotient→\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) avec \(g(x) \neq 0\)

II. Structure d'un tableau de signes

Un tableau de signes comporte toujours les mêmes lignes, lues de haut en bas :

Ligne \(x\) : les valeurs remarquables (racines de chaque facteur) dans l'ordre croissant, séparées par \(-\infty\) et \(+\infty\) aux extrémités.
Lignes des facteurs : une ligne par facteur, indiquant son signe (\(+\), \(-\), ou \(0\)) sur chaque intervalle.
Ligne du résultat : signe du produit ou quotient obtenu par la règle des signes. Pour un quotient, la valeur interdite est marquée \(\||\) (double barre).

Convention : Un facteur linéaire \(ax + b\) change de signe en sa racine \(x = -b/a\). Pour \(a > 0\) : négatif avant la racine, positif après. Pour \(a < 0\) : positif avant la racine, négatif après. On vérifie toujours avec un test numérique dans un intervalle.

III. Méthode complète

Factoriser l'expression si elle ne l'est pas déjà — on doit avoir un produit ou un quotient de facteurs simples.
Trouver les racines de chaque facteur : résoudre chaque facteur \(= 0\).
Placer les racines dans la ligne \(x\) du tableau, dans l'ordre croissant.
Remplir le signe de chaque facteur sur chaque intervalle (tester une valeur dans l'intervalle).
Calculer le signe du résultat ligne par ligne en appliquant la règle des signes.
Lire la solution : relever les intervalles où le résultat a le signe voulu.

IV. Exemples travaillés

Exemple 1 — Signe d'un produit simple : \((x - 2)(x + 3) \geq 0\)

Les racines des facteurs sont \(x = 2\) et \(x = -3\). On les place dans l'ordre : \(-3\) puis \(2\).

On détermine le signe de chaque facteur sur chaque intervalle en testant une valeur :

Pour \((x - 2)\) : négatif avant \(x = 2\), positif après.

Pour \((x + 3)\) : négatif avant \(x = -3\), positif après.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-3\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(x + 3\)	−	−	0	+	+	+	+
\(x - 2\)	−	−	−	−	0	+	+
Produit	+	+	0	−	0	+	+

On cherche les intervalles où le produit est \(\geq 0\) : en vert dans le tableau, plus les deux racines (où le produit vaut 0).

\(S = ]{-}\infty\,;\,-3] \cup [2\,;\,+\infty[\)

Exemple 2 — Signe d'un quotient : \(\dfrac{x - 1}{x + 4} < 0\)

Racines et valeur interdite : numérateur \(= 0\) pour \(x = 1\) ; dénominateur \(= 0\) pour \(x = -4\) (valeur interdite, notée \(\|\)).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-4\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(x - 1\)	−	−	−	−	0	+	+
\(x + 4\)	−	−	\(\\|\)	+	+	+	+
Quotient	+	+	\(\\|\)	−	0	+	+

On cherche strictement \(< 0\) : seulement en rouge dans le tableau. La valeur \(x = -4\) est exclue (quotient non défini) et \(x = 1\) est aussi exclue (le quotient vaut 0, pas strictement négatif).

\(S = ]-4\,;\,1[\)

Exemple 3 — Produit de trois facteurs : \((x+2)(x-1)(x-4) \leq 0\)

Trois racines dans l'ordre : \(x = -2\), \(x = 1\), \(x = 4\). Cela crée quatre intervalles.

Règle pratique : on teste le signe du produit dans \(]{-}\infty\,;\,-2[\) en prenant par exemple \(x = -10\) :

\((-10+2)(-10-1)(-10-4) = (-8)(-11)(-14) = -1232 < 0\)

Le produit est négatif sur le premier intervalle. Ensuite le signe alterne à chaque racine (car chaque facteur change de signe une fois) :

\(x\)	\(-\infty\)	\(-2\)		\(1\)		\(4\)	\(+\infty\)
\(x + 2\)	−	0	+	+	+	+	+
\(x - 1\)	−	−	−	0	+	+	+
\(x - 4\)	−	−	−	−	−	0	+
Produit	−	0	+	0	−	0	+

On cherche \(\leq 0\) : intervalles en rouge plus les trois racines (où le produit vaut 0).

\(S = ]{-}\infty\,;\,-2] \cup [1\,;\,4]\)

Exemple 4 — Mise en forme nécessaire : \(x^2 - x > 6\)

On ne peut pas appliquer directement un tableau de signes à \(x^2 - x > 6\). Il faut d'abord tout passer d'un côté :

\(x^2 - x - 6 > 0\)

On factorise : on cherche deux nombres dont le produit vaut \(-6\) et la somme \(-1\) : \((-3)\) et \((+2)\).

\((x - 3)(x + 2) > 0\)

Racines : \(x = 3\) et \(x = -2\). Tableau de signes :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(x + 2\)	−	−	0	+	+	+	+
\(x - 3\)	−	−	−	−	0	+	+
Produit	+	+	0	−	0	+	+

On cherche \(> 0\) strictement : les deux zones vertes, sans les racines (qui donnent 0).

\(S = ]{-}\infty\,;\,-2[ \;\cup\; ]3\,;\,+\infty[\)

Exemple 5 — Bénéfice de l'artisan de masques

On cherche \((x - 3)(8 - x) > 0\). Racines : \(x = 3\) et \(x = 8\).

On place les racines et on remplit le tableau :

\(x\)	\(-\infty\)		\(3\)		\(8\)		\(+\infty\)
\(x - 3\)	−	−	0	+	+	+	+
\(8 - x\)	+	+	+	+	0	−	−
\(B(x)\)	−	−	0	+	0	−	−

Le bénéfice est strictement positif sur \(]3\,;\,8[\). Comme \(x\) est un nombre entier de masques, les valeurs possibles sont \(x \in \{4, 5, 6, 7\}\).

L'artisan est bénéficiaire pour \(x \in ]3\,;\,8[\), soit de 4 à 7 masques produits par semaine.

V. Application concrète — ⭐

⭐ Situation concrète Bénéfice d'un artisan — masques Bobo et Mossi

Un artisan de Ouagadougou fabrique des masques culturels. Son bénéfice hebdomadaire (en milliers de FCFA) selon le nombre \(x\) de masques produits est :

\(B(x) = (x - 3)(8 - x)\)

Pour quelles valeurs de \(x\) l'artisan est-il bénéficiaire, c'est-à-dire \(B(x) > 0\) ?

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Tableau de signes d'un produit Facile

Dresser le tableau de signes et résoudre chaque inéquation :

a) \((x - 5)(x + 2) \geq 0\)
b) \((3 - x)(x + 1) > 0\)

a) Racines : \(x = 5\) et \(x = -2\).
Sur \(]{-}\infty\,;\,-2[\) : \((-)(-)= +\). Sur \(]-2\,;\,5[\) : \((-)(+) = -\). Sur \(]5\,;\,+\infty[\) : \((+)(+) = +\).
On cherche \(\geq 0\) : inclure les racines. \(S = ]{-}\infty\,;\,-2] \cup [5\,;\,+\infty[\)

b) Racines : \(x = 3\) et \(x = -1\).
Sur \(]{-}\infty\,;\,-1[\) : \((+)(-) = -\). Sur \(]-1\,;\,3[\) : \((+)(+) = +\). Sur \(]3\,;\,+\infty[\) : \((-)(+) = -\).
On cherche \(> 0\) strictement : exclure les racines. \(S = ]-1\,;\,3[\)

Exercice 2 — Tableau de signes d'un quotient Facile

Résoudre en dressant le tableau de signes :

a) \(\dfrac{x + 3}{x - 2} > 0\)
b) \(\dfrac{2x - 6}{x + 1} \leq 0\)

a) Racine du numérateur : \(x = -3\). Valeur interdite : \(x = 2\).
Sur \(]{-}\infty\,;\,-3[\) : \((-)/(-) = +\). Sur \(]-3\,;\,2[\) : \((+)/(-) = -\). Sur \(]2\,;\,+\infty[\) : \((+)/(+) = +\).
On cherche \(> 0\) : \(S = ]{-}\infty\,;\,-3[ \;\cup\; ]2\,;\,+\infty[\)

b) Racine du numérateur : \(2x = 6 \implies x = 3\). Valeur interdite : \(x = -1\).
Sur \(]{-}\infty\,;\,-1[\) : \((-)/(-) = +\). Sur \(]-1\,;\,3[\) : \((-)/+) = -\). Sur \(]3\,;\,+\infty[\) : \((+)/(+) = +\).
On cherche \(\leq 0\) : inclure \(x=3\) (quotient nul), exclure \(x=-1\). \(S = ]-1\,;\,3]\)

Exercice 3 — Mise en forme puis tableau Moyen

Mettre sous forme factorisée puis résoudre :

a) \(x^2 + 3x - 10 \leq 0\)
b) \(x^2 - 9 > 0\)
c) \(2x^2 - 8x \geq 0\)

a) Factoriser : chercher \(a \times b = -10\) et \(a + b = 3\) : \(5\) et \(-2\).
\(x^2+3x-10 = (x+5)(x-2) \leq 0\)
Racines \(-5\) et \(2\). Produit négatif entre les racines. \(S = [-5\,;\,2]\)

b) \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3) > 0\)
Racines \(-3\) et \(3\). Produit positif à l'extérieur. \(S = ]{-}\infty\,;\,-3[ \;\cup\; ]3\,;\,+\infty[\)

c) \(2x^2 - 8x = 2x(x-4) \geq 0\)
Racines \(0\) et \(4\). Produit positif à l'extérieur et nul aux racines. \(S = ]{-}\infty\,;\,0] \cup [4\,;\,+\infty[\)

Exercice 4 — Chapeau de Saponé et coût de production Moyen

Un artisan fabrique des chapeaux de Saponé. Son profit hebdomadaire (en milliers de FCFA) est modélisé par :

\(P(x) = \dfrac{(x-2)(x-10)}{x - 5}\)

où \(x\) est le nombre de chapeaux produits, avec \(x \neq 5\).

a) Dresser le tableau de signes de \(P(x)\).
b) Pour quels nombres de chapeaux le profit est-il négatif (perte) ?

a) Racines : \(x = 2\) et \(x = 10\). Valeur interdite : \(x = 5\).
Ordre : \(2 < 5 < 10\). Quatre intervalles : \(]-\infty\,;\,2[\), \(]2\,;\,5[\), \(]5\,;\,10[\), \(]10\,;\,+\infty[\).

Signe de \((x-2)\) : \(-\) avant 2, \(+\) après.
Signe de \((x-10)\) : \(-\) avant 10, \(+\) après.
Signe de \((x-5)\) : \(-\) avant 5, \(+\) après.

Résultat : \((-)(-)/(-) = -\) sur \(]-\infty\,;\,2[\) ; \((+)(-)/(-) = +\) sur \(]2\,;\,5[\) ; \((+)(-)/( +) = -\) sur \(]5\,;\,10[\) ; \((+)(+)/(+) = +\) sur \(]10\,;\,+\infty[\).

b) \(P(x) < 0\) sur \(]{-}\infty\,;\,2[ \;\cup\; ]5\,;\,10[\).
L'artisan est en perte s'il produit moins de 2 chapeaux ou entre 6 et 9 chapeaux (valeurs entières).

Exercice 5 — Sculptures de Laongo : ratio visiteurs/guide ⭐ Difficile

Au site des Sculptures de Laongo, la qualité de la visite est mesurée par un indice \(Q\) défini par :

\(Q(x) = \dfrac{(x-4)(x-16)}{(x-1)}\)

où \(x > 1\) est le nombre de visiteurs par guide.

a) Dresser le tableau de signes de \(Q(x)\) sur \(]1\,;\,+\infty[\).
b) Pour quelles valeurs de \(x\) l'indice est-il positif ?
c) Interpréter : quelle fourchette de visiteurs par guide est à éviter ?

a) Sur \(]1\,;\,+\infty[\), le dénominateur \(x-1 > 0\) partout. Le signe de \(Q\) est donc celui de \((x-4)(x-16)\).
Racines : \(x = 4\) et \(x = 16\).

Sur \(]1\,;\,4[\) : \((-)(-)/(+) = +\).
Sur \(]4\,;\,16[\) : \((+)(-)/(+) = -\).
Sur \(]16\,;\,+\infty[\) : \((+)(+)/(+) = +\).

b) \(Q(x) > 0\) sur \(]1\,;\,4[ \;\cup\; ]16\,;\,+\infty[\).

c) L'indice est négatif entre 4 et 16 visiteurs par guide. La fourchette 4–16 visiteurs par guide dégrade la qualité de la visite. En dessous de 4 ou au-dessus de 16, la visite est de bonne qualité selon ce modèle.

À retenir

Tableau de signes : outil pour déterminer le signe d'un produit ou quotient sur tout \(\mathbb{R}\).
Règle des signes : même signe → \(+\) ; signes opposés → \(-\).
Structure : ligne \(x\) avec les racines, une ligne par facteur, ligne du résultat.
Avant le tableau : toujours factoriser et tout passer d'un côté (\(\square \;?\; 0\)).
Quotient : la valeur interdite (dénominateur \(=0\)) est marquée \(\|\) et toujours exclue de la solution.
Bornes incluses : si l'inéquation est \(\leq\) ou \(\geq\), les racines (où le résultat vaut 0) sont incluses. Si \(<\) ou \(>\), elles sont exclues.
En contexte : les valeurs de \(x\) sans sens physique (négatifs, non entiers…) sont à éliminer après la résolution.

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