Module IX — Statistiques et Probabilités

On lance un dé cubique équilibré. \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(|\Omega|=6\).

A = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6} :

\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

B = "obtenir un multiple de 3" = {3, 6} :

\(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

\(A\cap B\) = "pair et multiple de 3" = {6} :

\(P(A\cap B) = \frac{1}{6}\)

\(P(A\cup B)\) = "pair ou multiple de 3" :

\(P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Vérification : \(A\cup B=\{2,3,4,6\}\), 4 issues sur 6 = 2/3 ✓

Dans un groupe de 8 étudiants de l'Université Joseph Ki-Zerbo, on doit choisir :

a) Un président, un secrétaire et un trésorier (rôles distincts, ordre compte) :

\(A_8^3 = 8\times7\times6 = 336\) façons

b) Un comité de 3 personnes (pas de rôles, ordre ne compte pas) :

\(\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!\times5!} = \frac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = \frac{336}{6} = 56\) façons

c) La probabilité que le comité contienne les deux étudiants les plus anciens (disons Ali et Binta) :

Comités favorables : les 2 fixés + 1 parmi les 6 restants = \(\binom{6}{1}=6\) comités.

\(P = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} \approx 0{,}107\)

Dans une urne contenant 4 boules rouges et 6 boules bleues, on tire 3 boules successivement avec remise. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.

L'événement contraire est "aucune boule rouge", soit "3 bleues".

\(P(\text{aucune rouge}) = \left(\frac{6}{10}\right)^3 = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}\)

\(P(\text{au moins une rouge}) = 1 - \frac{27}{125} = \frac{98}{125} = 0{,}784 = 78{,}4\%\)

Bien plus simple que de calculer directement P(1 rouge) + P(2 rouges) + P(3 rouges).

Dans une enquête sur 200 ménages de Ouagadougou, on a relevé :

118 ménages ont un téléphone portable (T), 95 ont accès à internet (I), 70 ont les deux.

Vérifier que les probabilités forment bien un modèle cohérent et calculer :

\(P(T)=\frac{118}{200}=0{,}59\)  ;  \(P(I)=\frac{95}{200}=0{,}475\)  ;  \(P(T\cap I)=\frac{70}{200}=0{,}35\)

\(P(T\cup I)\) = "téléphone ou internet" :

\(P(T\cup I)=0{,}59+0{,}475-0{,}35=0{,}715\)

Vérification directe : \(118+95-70=143\) ménages ont l'un ou l'autre, \(143/200=0{,}715\) ✓

Ménages sans téléphone ni internet :

\(P(\overline{T\cup I})=1-0{,}715=0{,}285\) soit 57 ménages sur 200 ✓

a) Définitions :

\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), \(|\Omega|=10\)

\(G=\{2,4,6,8,10\}\) (pairs gagnants), \(|G|=5\)

\(GP=\{4,8\}\) (divisibles par 4 dans \(\{1,\ldots,10\}\)), \(|GP|=2\)

b) Probabilités :

\(P(G)=5/10=1/2\)  ;  \(P(GP)=2/10=1/5\)

Remarque : \(GP\subseteq G\) car tout multiple de 4 est pair. Donc \(G\cap GP=GP\).

\(P(G\cap GP)=P(GP)=1/5\)

c) Union :

\(P(G\cup GP)=P(G)+P(GP)-P(G\cap GP)=1/2+1/5-1/5=1/2\)

Normal : puisque \(GP\subset G\), "G ou GP" = G. \(P(G\cup GP)=P(G)=1/2\).

d) Deux billets sans remise, tous deux gagnants :

Premier tirage gagnant : \(P_1=5/10=1/2\). Second gagnant sachant premier gagnant : \(P_2=4/9\) (4 gagnants restants sur 9 billets).

\(P=\frac{5}{10}\times\frac{4}{9}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\approx22{,}2\%\)

e) Tirage de 3 billets simultanément :

Tirages possibles : \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{6}=120\)

Cas favorables (exactement 2 gagnants) : choisir 2 parmi 5 gagnants ET 1 parmi 5 perdants :

\(\binom{5}{2}\times\binom{5}{1}=10\times5=50\)

\(P=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}\approx41{,}7\%\)