Module IX — Statistiques et Probabilités

Dans une classe de Terminale de Ouagadougou, 60 % des élèves ont révisé (R) et 40 % n'ont pas révisé (\(\bar{R}\)). Parmi ceux qui ont révisé, 80 % réussissent (S). Parmi ceux qui n'ont pas révisé, 30 % réussissent.

Formule des probabilités totales :

\(P(S)=P(S\mid R)\times P(R)+P(S\mid\bar{R})\times P(\bar{R})\)

\(=0{,}80\times0{,}60+0{,}30\times0{,}40=0{,}48+0{,}12=\mathbf{0{,}60}\)

Formule de Bayes — P(R | S) : Sachant qu'un élève a réussi, quelle est la probabilité qu'il ait révisé ?

\(P(R\mid S)=\dfrac{P(S\mid R)\times P(R)}{P(S)}=\dfrac{0{,}80\times0{,}60}{0{,}60}=\dfrac{0{,}48}{0{,}60}=\mathbf{0{,}80}\)

Interprétation : 80 % des élèves qui ont réussi avaient révisé.

En utilisant l'arbre ci-dessus (P(M)=0,15, sensibilité=0,95, spécificité=0,90) :

P(T+) par les probabilités totales :

\(P(T+)=P(T+\mid M)\times P(M)+P(T+\mid S)\times P(S)\)

\(=0{,}95\times0{,}15+0{,}10\times0{,}85=0{,}1425+0{,}0850=0{,}2275\)

Valeur prédictive positive (VPP) — formule de Bayes :

\(P(M\mid T+)\) = probabilité d'être vraiment malade sachant test positif :

\(P(M\mid T+)=\dfrac{P(T+\mid M)\times P(M)}{P(T+)}=\dfrac{0{,}1425}{0{,}2275}\approx\mathbf{0{,}626}\)

Malgré un test très précis (95 % sensibilité, 90 % spécificité), si la maladie est rare (15 %), un test positif n'est vrai que dans 62,6 % des cas — c'est le paradoxe du test de dépistage !

Une urne contient 5 boules rouges (R) et 3 boules bleues (B). On tire 2 boules successivement sans remise.

Arbre :

1er tirage : P(R₁) = 5/8, P(B₁) = 3/8.

2ème tirage sachant R₁ : P(R₂|R₁) = 4/7 (4 R restantes sur 7), P(B₂|R₁) = 3/7.

2ème tirage sachant B₁ : P(R₂|B₁) = 5/7, P(B₂|B₁) = 2/7.

P(R₁ ∩ R₂) :

\(P(R_1\cap R_2)=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}\)

P(une rouge et une bleue) :

\(P=(R_1\cap B_2)\text{ ou }(B_1\cap R_2)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\times\frac{5}{7}=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\)

b) Probabilité qu'une semence soit défectueuse (D) :

\(P(D)=P(D\mid V_A)\times P(V_A)+P(D\mid V_B)\times P(V_B)\)

\(=0{,}05\times0{,}60+0{,}12\times0{,}40=0{,}030+0{,}048=\mathbf{0{,}078}\)

7,8 % des semences sont défectueuses.

c) Probabilité que la semence défectueuse vienne de \(V_B\) — Bayes :

\(P(V_B\mid D)=\dfrac{P(D\mid V_B)\times P(V_B)}{P(D)}=\dfrac{0{,}048}{0{,}078}=\dfrac{48}{78}=\dfrac{8}{13}\approx\mathbf{61{,}5\%}\)

Bien que \(V_B\) ne représente que 40 % de la production, elle est responsable de 61,5 % des défauts — car son taux de défaut est plus de deux fois supérieur à celui de \(V_A\).

d) Exactement une défectueuse sur deux tirages indépendants :

\(P(D)=0{,}078\) et \(P(\bar{D})=0{,}922\).

\(P(\text{exactement 1})=P(D_1\cap\bar{D}_2)+P(\bar{D}_1\cap D_2)\)

\(=0{,}078\times0{,}922+0{,}922\times0{,}078=2\times0{,}078\times0{,}922\approx\mathbf{0{,}1438}\approx14{,}4\%\)