I. Motivation — pourquoi parler d'indépendance ?
Dans la leçon précédente sur les probabilités conditionnelles, nous avons vu que connaître la réalisation d'un événement \(B\) peut changer la probabilité d'un événement \(A\) : on calcule alors \(P(A \mid B)\). Mais il arrive que cette information ne change rien du tout : savoir que \(B\) s'est produit ne modifie pas nos chances d'observer \(A\). Cette situation s'appelle l'indépendance.
L'indépendance n'est pas juste un confort de calcul — c'est un concept fondamental qui modélise des phénomènes où deux processus n'ont aucune influence l'un sur l'autre : le résultat d'un lancer de dé ne dépend pas du résultat du lancer précédent ; la récolte de mil dans un champ de Kaya ne dépend pas de ce qui se passe dans un champ à Banfora.
II. Définition formelle de l'indépendance
On donne ici la définition officielle, puis on explique pourquoi elle est la bonne.
Deux événements \(A\) et \(B\) d'un espace probabilisé \((\Omega, P)\) sont dits indépendants si et seulement si :
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]
Supposons \(P(B) > 0\). Si \(A\) et \(B\) sont indépendants au sens intuitif (« \(B\) n'apporte aucune information sur \(A\) »), alors \(P(A \mid B) = P(A)\). En utilisant la définition de la probabilité conditionnelle :
\(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)\)
On obtient donc : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\) \(\quad \square\)
La définition formelle a l'avantage de ne pas requérir \(P(B) > 0\) : elle s'applique même quand \(P(B) = 0\) (auquel cas \(P(A \cap B) = 0 = P(A) \times 0\), et tout événement est indépendant d'un événement impossible).
L'égalité \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) peut se lire ainsi : la probabilité que \(A\) et \(B\) se produisent simultanément est exactement le produit de leurs probabilités individuelles. Il n'y a ni « effet de synergie » qui augmenterait cette coïncidence, ni « effet d'exclusion » qui la diminuerait.
Attention : l'indépendance est une propriété quantitative, pas intuitive. Deux événements peuvent sembler « sans lien » et pourtant ne pas être indépendants au sens mathématique — et inversement.
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III. Propriétés fondamentales
L'indépendance possède plusieurs propriétés remarquables que l'on utilise constamment dans les calculs de probabilités.
Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(B\) et \(A\) sont indépendants.
(Trivial : \(P(A \cap B) = P(B \cap A)\).)
Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors les paires suivantes sont aussi indépendantes :
- \(\bar{A}\) et \(B\)
- \(A\) et \(\bar{B}\)
- \(\bar{A}\) et \(\bar{B}\)
On doit montrer que \(P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B)\).
On écrit \(B = (A \cap B) \cup (\bar{A} \cap B)\), avec ces deux événements disjoints :
\(P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\)
\(P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)\)
Comme \(A\) et \(B\) sont indépendants, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) :
\(P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A) \cdot P(B) = P(B)\bigl(1 - P(A)\bigr) = P(\bar{A}) \cdot P(B) \quad \square\)
Des événements \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) sont dits mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble \(\{i_1, \ldots, i_k\} \subseteq \{1, \ldots, n\}\) :
\[P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) \cdot P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k})\]
IV. Indépendance vs incompatibilité — une confusion fréquente
Beaucoup d'élèves confondent les événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs) et les événements indépendants. Ce sont deux notions très différentes, voire opposées.
\(A \cap B = \emptyset\), donc \(P(A \cap B) = 0\).
Ils ne peuvent jamais se produire ensemble.
Exemple : obtenir « pile » et « face » sur le même lancer.
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).
L'un n'influence pas l'autre — mais ils peuvent se produire ensemble.
Exemple : deux lancers de dés successifs.
V. Représentation par tableau croisé
Lorsqu'on travaille avec deux événements sur une population finie, un tableau à double entrée (ou tableau de contingence) permet de lire les probabilités et de tester l'indépendance directement.
Critère d'indépendance sur un tableau : \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si chaque cellule du tableau vérifie :
On interroge 200 lycéens de Ouagadougou sur leur pratique du sport et leur résultat au BAC blanc. On obtient le tableau suivant :
| Admis (A) | Non admis (\(\bar{A}\)) | Total | |
|---|---|---|---|
| Pratique sport (S) | 72 | 48 | 120 |
| Ne pratique pas (\(\bar{S}\)) | 48 | 32 | 80 |
| Total | 120 | 80 | 200 |
Testons si \(S\) et \(A\) sont indépendants.
\(P(S) = \dfrac{120}{200} = 0{,}6 \qquad P(A) = \dfrac{120}{200} = 0{,}6\)
\(P(S) \times P(A) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36\)
\(P(S \cap A) = \dfrac{72}{200} = 0{,}36\)
Les deux valeurs sont égales : \(P(S \cap A) = P(S) \times P(A)\).
VI. Calculs avec des événements indépendants
L'indépendance simplifie considérablement les calculs : dès que les événements sont indépendants, on peut multiplier les probabilités sans avoir à calculer de probabilités conditionnelles.
La Direction Régionale de la Santé du Burkina Faso envoie des vaccins dans trois centres de santé indépendants les uns des autres. La probabilité que la livraison arrive à temps est :
\(P(\text{Centre 1}) = 0{,}9 \qquad P(\text{Centre 2}) = 0{,}85 \qquad P(\text{Centre 3}) = 0{,}95\)
Quelle est la probabilité que les trois livraisons arrivent à temps ?
Les livraisons étant indépendantes :
\(P(\text{tous à temps}) = 0{,}9 \times 0{,}85 \times 0{,}95\)
\(= 0{,}765 \times 0{,}95 = 0{,}72675\)
Probabilité qu'au moins une livraison soit en retard :
\(P(\text{au moins un retard}) = 1 - 0{,}72675 = 0{,}27325\)
VII. Représentation par arbre de probabilités
L'arbre de probabilités est l'outil visuel de référence pour les expériences successives indépendantes. Chaque niveau correspond à une expérience ; les probabilités se multiplient le long des branches.
Les probabilités se multiplient le long des branches — la somme de toutes les feuilles vaut 1
Imaginez \(P(A) = 0{,}6\) : on prend 60 % des cas. Parmi eux, \(P(B) = 0{,}4\) : on prend à nouveau 40 %. On a sélectionné \(0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24\), soit 24 % de l'ensemble de départ — exactement \(P(A \cap B)\) quand ils sont indépendants. L'indépendance, c'est l'idée que « prendre une fraction de ce qu'on a déjà pris » donne bien le produit des fractions.
VIII. Application concrète — Situations réelles ⭐
Dans la province du Sanmatenga, un agriculteur cultive simultanément une parcelle de mil et une parcelle de sorgho. D'après les données météorologiques de la Direction Générale de la Météorologie du Burkina Faso, une bonne récolte de mil dépend des pluies en juillet, et une bonne récolte de sorgho dépend des pluies en août. Les deux périodes pluvieuses étant indépendantes d'une année à l'autre :
- La probabilité d'une bonne récolte de mil est \(P(M) = 0{,}7\).
- La probabilité d'une bonne récolte de sorgho est \(P(S) = 0{,}6\).
Calculer :
- a) La probabilité d'avoir une bonne récolte des deux cultures.
- b) La probabilité d'avoir au moins une bonne récolte.
- c) La probabilité de n'avoir aucune bonne récolte.
- d) Sachant qu'il y a eu une bonne récolte de mil, la probabilité d'avoir aussi une bonne récolte de sorgho.
On pose \(P(M) = 0{,}7\) et \(P(S) = 0{,}6\), avec \(M\) et \(S\) indépendants.
a) Bonne récolte des deux :
\(P(M \cap S) = P(M) \times P(S) = 0{,}7 \times 0{,}6 = 0{,}42\)
b) Au moins une bonne récolte (formule de la réunion) :
\(P(M \cup S) = P(M) + P(S) - P(M \cap S)\)
\(= 0{,}7 + 0{,}6 - 0{,}42 = 0{,}88\)
c) Aucune bonne récolte :
\(P(\bar{M} \cap \bar{S}) = P(\bar{M}) \times P(\bar{S})\) (indépendance conservée par complémentaire)
\(= 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12\)
Vérification : \(1 - 0{,}88 = 0{,}12\) ✓
d) Probabilité conditionnelle :
\(P(S \mid M) = \dfrac{P(S \cap M)}{P(M)} = \dfrac{0{,}42}{0{,}7} = 0{,}6 = P(S)\)
On retrouve bien \(P(S \mid M) = P(S)\) — la définition même de l'indépendance.
IX. Comment vérifier l'indépendance en pratique
En dehors des situations où l'indépendance est posée par hypothèse (expériences successives, tirages avec remise), il faut la vérifier numériquement. Voici les trois méthodes selon le contexte.
Calculer \(P(A \cap B)\), \(P(A)\) et \(P(B)\).
Vérifier : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
Si \(P(B) > 0\), calculer \(P(A \mid B)\).
Vérifier : \(P(A \mid B) = P(A)\).
Pour chaque cellule \((i, j)\), vérifier que : \(\text{effectif}_{ij} = \dfrac{\text{total ligne}_i \times \text{total colonne}_j}{N}\). Si cette égalité est vérifiée pour toutes les cellules, les deux critères sont indépendants.
Un centre médical de Bobo-Dioulasso enregistre, pour 400 patients, leur zone d'habitation (urbain / rural) et leur résultat au test de paludisme (positif / négatif).
| Test positif (P) | Test négatif (\(\bar{P}\)) | Total | |
|---|---|---|---|
| Urbain (U) | 60 | 140 | 200 |
| Rural (R) | 90 | 110 | 200 |
| Total | 150 | 250 | 400 |
Testons l'indépendance entre zone d'habitation et résultat du test.
\(P(U) = \dfrac{200}{400} = 0{,}5 \qquad P(P) = \dfrac{150}{400} = 0{,}375\)
\(P(U) \times P(P) = 0{,}5 \times 0{,}375 = 0{,}1875\)
\(P(U \cap P) = \dfrac{60}{400} = 0{,}15\)
Or \(0{,}15 \neq 0{,}1875\) — l'égalité n'est pas vérifiée.
On peut aussi comparer les probabilités conditionnelles :
\(P(P \mid U) = \dfrac{60}{200} = 0{,}30\)
\(P(P \mid R) = \dfrac{90}{200} = 0{,}45\)
Ces deux probabilités sont différentes : la zone d'habitation influence le résultat du test.
✏️ Exercices d'application
On dispose de deux événements \(A\) et \(B\) avec \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\).
- a) \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier.
- b) Calculer \(P(A \cup B)\).
- c) Calculer \(P(\bar{A} \cap B)\).
b) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7\)
c) \(\bar{A}\) et \(B\) sont indépendants (théorème), donc :
\(P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3\)
Vérif. : \(P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}3\) ✓
Le système d'irrigation du barrage de Bagré comporte deux pompes indépendantes. La probabilité de panne de la pompe A dans la journée est \(0{,}05\), et celle de la pompe B est \(0{,}08\).
- a) Quelle est la probabilité que les deux pompes tombent en panne le même jour ?
- b) Quelle est la probabilité qu'aucune pompe ne tombe en panne ?
- c) Quelle est la probabilité qu'exactement une pompe tombe en panne ?
a) \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}05 \times 0{,}08 = 0{,}004\) (indépendance)
b) \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0{,}95 \times 0{,}92 = 0{,}874\)
c) « Exactement une panne » = « A en panne et B OK » ou « A OK et B en panne »
\(P = P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)\)
\(= 0{,}05 \times 0{,}92 + 0{,}95 \times 0{,}08 = 0{,}046 + 0{,}076 = 0{,}122\)
Vérif. : \(0{,}004 + 0{,}874 + 0{,}122 = 1\) ✓
L'INSD recense dans une commune de Koudougou 500 jeunes selon leur genre et leur niveau d'études :
| Lycée (L) | Pas au lycée (\(\bar{L}\)) | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles (F) | 120 | 130 | 250 |
| Garçons (G) | 150 | 100 | 250 |
| Total | 270 | 230 | 500 |
- a) Calculer \(P(F)\), \(P(L)\) et \(P(F \cap L)\).
- b) Le genre et la scolarisation au lycée sont-ils indépendants dans cette commune ?
- c) Calculer \(P(L \mid F)\) et \(P(L \mid G)\). Commenter.
b) \(P(F) \times P(L) = 0{,}5 \times 0{,}54 = 0{,}27 \neq 0{,}24 = P(F \cap L)\).
Genre et scolarisation sont dépendants dans cette commune.
c) \(P(L \mid F) = \dfrac{120}{250} = 0{,}48\) — \(P(L \mid G) = \dfrac{150}{250} = 0{,}60\)
Les garçons ont une probabilité de scolarisation au lycée plus élevée que les filles dans cet échantillon.
La SOFITEX suit trois producteurs de coton indépendants dans la région des Hauts-Bassins. Pour chaque producteur, la probabilité d'atteindre son quota de production est \(p = 0{,}8\).
- a) Quelle est la probabilité que les trois producteurs atteignent leur quota ?
- b) Quelle est la probabilité qu'exactement deux producteurs sur trois atteignent leur quota ?
- c) Quelle est la probabilité qu'au moins un producteur n'atteigne pas son quota ?
a) \(P(\text{les 3 atteignent}) = p^3 = 0{,}8^3 = 0{,}512\)
b) « Exactement 2 sur 3 » : il y a \(\binom{3}{2} = 3\) façons de choisir les 2 qui réussissent :
\(P = 3 \times p^2 \times q = 3 \times 0{,}64 \times 0{,}2 = 0{,}384\)
c) « Au moins un n'atteint pas » = complémentaire de « tous atteignent » :
\(P = 1 - 0{,}512 = 0{,}488\)
On lance deux dés équilibrés. Considérons les événements :
- \(A\) = « Le premier dé donne un nombre pair »
- \(B\) = « Le second dé donne un nombre pair »
- \(C\) = « La somme des deux dés est paire »
a) Calculer \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(C)\).
b) Vérifier que \(A\) et \(B\), \(A\) et \(C\), \(B\) et \(C\) sont indépendants deux à deux.
c) Calculer \(P(A \cap B \cap C)\). En déduire si \(A\), \(B\), \(C\) sont mutuellement indépendants.
La somme est paire si les deux dés ont la même parité : (pair, pair) ou (impair, impair).
\(P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
b) \(P(A \cap B) = \frac{1}{4} = P(A) \times P(B)\) ✓ indépendants
\(A \cap C\) = « dé 1 pair ET somme paire » ⟹ dé 2 aussi pair : \(P(A \cap C) = \frac{1}{4} = P(A) \times P(C)\) ✓
De même \(P(B \cap C) = \frac{1}{4} = P(B) \times P(C)\) ✓
c) \(A \cap B \cap C\) = « dé 1 pair ET dé 2 pair ET somme paire ».
Mais si dé 1 et dé 2 sont pairs, la somme est automatiquement paire : \(A \cap B \subseteq C\).
Donc \(P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B) = \frac{1}{4}\).
Or \(P(A) \times P(B) \times P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{4}\).
Conclusion : \(A\), \(B\), \(C\) sont indépendants deux à deux mais pas mutuellement indépendants ! Cet exemple illustre que l'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance mutuelle.
À retenir
- Définition : \(A\) et \(B\) indépendants \(\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
- Équivalence : si \(P(B) > 0\), indépendance \(\Leftrightarrow P(A \mid B) = P(A)\).
- Complémentaires : si \(A \perp B\), alors \(\bar{A} \perp B\), \(A \perp \bar{B}\) et \(\bar{A} \perp \bar{B}\).
- Incompatibilité ≠ indépendance : des événements incompatibles (de probabilité non nulle) sont toujours dépendants.
- Indépendance mutuelle : exige que toutes les combinaisons vérifient la formule produit — pas seulement les paires.
- Arbre : on multiplie les probabilités le long des branches ; les feuilles se somment à 1.
- Tableau : indépendance \(\Leftrightarrow\) effectif cellule \(= \dfrac{\text{total ligne} \times \text{total colonne}}{N}\).
- Toujours justifier si l'indépendance est posée par hypothèse ou doit être vérifiée numériquement.