I. Définition et équation standard
Un cercle est l'ensemble des points du plan équidistants d'un point fixe appelé centre. La distance commune à tous ces points est le rayon. En coordonnées, cette définition se traduit directement par une équation.
Un point \(M(x\,;\,y)\) est sur le cercle si et seulement si \(\Omega M = r\).
Par la formule de la distance : \(\Omega M = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\).
D'où la condition \(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} = r\), qu'on élève au carré :
\((x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \quad \square\)
L'élévation au carré est une équivalence ici car \(r > 0\) et une distance est toujours \(\geq 0\).
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II. Équation générale du cercle
En développant l'équation standard, on obtient une forme plus générale. Réciproquement, reconnaître un cercle dans une équation développée nécessite de la mettre sous forme standard par complétion du carré.
On part de \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) et on groupe les termes en \(x\) et en \(y\) :
\(\left(x^2+Dx+\frac{D^2}{4}\right)+\left(y^2+Ey+\frac{E^2}{4}\right) = \frac{D^2}{4}+\frac{E^2}{4}-F\)
\(\left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2+E^2-4F}{4}\)
On compare avec \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) :
\(a = -\frac{D}{2}, \quad b = -\frac{E}{2}, \quad r^2 = \frac{D^2+E^2-4F}{4}\)
Pour que ce soit un vrai cercle, il faut \(r^2 > 0\), soit \(D^2+E^2-4F > 0\). \(\square\)
Si \(D^2+E^2-4F = 0\) : un seul point. Si \(D^2+E^2-4F < 0\) : ensemble vide.
III. Positions relatives d'une droite et d'un cercle
Une droite et un cercle peuvent être dans trois positions relatives selon la distance du centre à la droite, comparée au rayon.
On peut aussi trouver les intersections en substituant l'équation de la droite dans l'équation du cercle. On obtient une équation du second degré en \(x\) (ou \(y\)) dont le discriminant \(\Delta\) détermine les positions relatives :
\(\Delta > 0\) : sécante (2 intersections)
\(\Delta = 0\) : tangente (1 intersection)
\(\Delta < 0\) : extérieure (0 intersection)
Les deux méthodes (distance vs discriminant) sont équivalentes et donnent toujours le même résultat. La méthode par la distance est plus rapide quand on ne cherche pas les coordonnées des intersections.
IV. Tangente à un cercle en un point
La tangente à un cercle en un de ses points est la droite qui touche le cercle exactement en ce point. Elle est perpendiculaire au rayon en ce point — c'est sa propriété fondamentale.
Le rayon \(\Omega T\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\Omega T} = \binom{x_T-a}{y_T-b}\).
La tangente en \(T\) est perpendiculaire à \(\Omega T\), donc elle a \(\overrightarrow{\Omega T}\) comme vecteur normal. Son équation (passant par \(T\)) est :
\((x_T-a)(x-x_T) + (y_T-b)(y-y_T) = 0\)
On développe et on ajoute \((x_T-a)^2+(y_T-b)^2 = r^2\) des deux côtés :
\((x_T-a)(x-a) + (y_T-b)(y-b) = (x_T-a)^2+(y_T-b)^2 = r^2 \quad \square\)
V. Représentation graphique
Cercle \((x-2)^2+(y-1)^2=4\) avec ses trois types de positions relatives avec des droites horizontales
VI. Positions relatives de deux cercles
Deux cercles peuvent être dans plusieurs positions l'un par rapport à l'autre, déterminées par la distance entre leurs centres comparée à leurs rayons.
| Position | Condition sur \(d = \Omega_1\Omega_2\) | Points communs |
|---|---|---|
| Extérieurs | \(d > r_1 + r_2\) | 0 — cercles séparés |
| Tangents extérieurement | \(d = r_1 + r_2\) | 1 — point de tangence externe |
| Sécants | \(|r_1 - r_2| < d < r_1+r_2\) | 2 — points d'intersection |
| Tangents intérieurement | \(d = |r_1 - r_2|\) | 1 — point de tangence interne |
| Intérieur (l'un dans l'autre) | \(d < |r_1 - r_2|\) | 0 — pas de point commun |
| Concentriques | \(d = 0\) et \(r_1 \neq r_2\) | 0 — même centre, rayons différents |
VII. Exemples travaillés
Donner le centre et le rayon des cercles :
a) \((x-3)^2+(y+2)^2=25\)
Centre \(\Omega(3\,;\,-2)\), rayon \(r=5\).
b) \(x^2+y^2=9\)
Centre \(O(0\,;\,0)\), rayon \(r=3\) (cercle de centre l'origine).
c) \(x^2+y^2-4x+6y-3=0\) — forme générale
On complète le carré :
\((x^2-4x+4)+(y^2+6y+9) = 3+4+9 = 16\)
\((x-2)^2+(y+3)^2=16\)
Centre \(\Omega(2\,;\,-3)\), rayon \(r=4\).
Étudier la position de la droite \((d)\,:\,3x+4y-5=0\) par rapport au cercle \((x-1)^2+(y-1)^2=9\).
Centre \(\Omega(1\,;\,1)\), rayon \(r=3\).
Distance du centre à la droite :
\(d(\Omega,(d)) = \dfrac{|3(1)+4(1)-5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|2|}{5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
Comme \(0{,}4 < 3 = r\), la droite est sécante au cercle.
Coordonnées des intersections : On substitue \(y = \frac{5-3x}{4}\) dans l'équation du cercle :
\((x-1)^2+\left(\frac{5-3x}{4}-1\right)^2=9\)
\((x-1)^2+\left(\frac{1-3x}{4}\right)^2=9\)
\(16(x-1)^2+(1-3x)^2=144\)
\(16(x^2-2x+1)+(1-6x+9x^2)=144\)
\(25x^2-38x+17-144=0 \implies 25x^2-38x-127=0\)
\(\Delta = 1444+12700 = 14144\). \(\sqrt{14144} \approx 118{,}9\).
\(x_1 \approx \frac{38+118{,}9}{50} \approx 3{,}14\) et \(x_2 \approx \frac{38-118{,}9}{50} \approx -1{,}62\)
Trouver l'équation de la tangente au cercle \(x^2+y^2=25\) au point \(T(3\,;\,4)\).
On vérifie que \(T\) est sur le cercle : \(9+16=25\) ✓
On applique la formule avec \(a=b=0\) (cercle de centre l'origine) :
\(x_T(x-0)+y_T(y-0) = r^2\)
\(3x+4y=25\)
Vérification : Distance de \(O(0,0)\) à \(3x+4y-25=0\) : \(\frac{|25|}{\sqrt{9+16}}=\frac{25}{5}=5=r\) ✓ (tangente !)
Trouver l'équation du cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(1\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,-1)\).
Centre : milieu de \([AB]\) : \(\Omega = \left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{3+(-1)}{2}\right) = (3\,;\,1)\)
Rayon : \(r = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{16+16}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)
Équation :
\((x-3)^2+(y-1)^2=(2\sqrt{2})^2=8\)
Vérification : \(A\) sur le cercle : \((1-3)^2+(3-1)^2=4+4=8\) ✓
Propriété classique : si \([AB]\) est un diamètre, alors pour tout point \(M\) sur le cercle, \(\angle AMB = 90°\) (théorème de Thalès).
VIII. Application concrète ⭐
Une antenne de téléphonie mobile à Koudougou est modélisée par un cercle de couverture. Dans un repère centré sur la ville, l'antenne est en \(\Omega_1(2\,;\,3)\) avec un rayon de couverture de 5 km. Une deuxième antenne est en \(\Omega_2(8\,;\,-1)\) avec un rayon de 4 km.
- a) Écrire les équations des deux zones de couverture.
- b) La route modélisée par \(3x+4y-10=0\) est-elle entièrement dans la zone de l'antenne 1 ? Partiellement ? Ou hors de portée ?
- c) Étudier la position relative des deux antennes (leurs zones se chevauchent-elles ?).
- d) Un habitant est en \(H(5\,;\,1)\). Est-il couvert par l'une des deux antennes ?
a) Équations :
\(\mathscr{C}_1 : (x-2)^2+(y-3)^2=25\)
\(\mathscr{C}_2 : (x-8)^2+(y+1)^2=16\)
b) Distance de \(\Omega_1(2\,;\,3)\) à la route \(3x+4y-10=0\) :
\(d = \dfrac{|3(2)+4(3)-10|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|6+12-10|}{5} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6 \text{ km}\)
Comme \(1{,}6 < 5 = r_1\), la route est sécante à la zone de couverture — la route passe partiellement dans la zone.
c) Position relative des deux cercles :
\(d(\Omega_1,\Omega_2) = \sqrt{(8-2)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} \approx 7{,}21\) km
On compare avec \(r_1+r_2 = 9\) et \(|r_1-r_2|=1\) :
\(1 < 7{,}21 < 9\) → \(|r_1-r_2| < d < r_1+r_2\) → sécants : les zones se chevauchent en 2 points.
d) L'habitant \(H(5\,;\,1)\) est-il couvert ?
\(\Omega_1 H = \sqrt{(5-2)^2+(1-3)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61 < 5\) → couvert par l'antenne 1 ✓
\(\Omega_2 H = \sqrt{(5-8)^2+(1+1)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61 < 4\) → couvert par l'antenne 2 aussi ✓
L'habitant est dans la zone de chevauchement des deux antennes.
✏️ Exercices d'application
- a) Écrire l'équation du cercle de centre \((−3\,;\,2)\) et de rayon \(6\).
- b) Mettre sous forme standard : \(x^2+y^2-6x+2y-6=0\). Identifier centre et rayon.
- c) Trouver l'équation du cercle de centre \(\Omega(1\,;\,-2)\) passant par \(A(4\,;\,2)\).
b) \((x^2-6x+9)+(y^2+2y+1)=6+9+1=16\). Donc \((x-3)^2+(y+1)^2=16\). Centre \(\Omega(3\,;\,-1)\), rayon \(r=4\).
c) \(r=\Omega A=\sqrt{(4-1)^2+(2+2)^2}=\sqrt{9+16}=5\). Équation : \((x-1)^2+(y+2)^2=25\).
Soit le cercle \(\mathscr{C}\,:\,(x-1)^2+(y-2)^2=16\).
- a) Étudier la position de la droite \(3x-4y+25=0\) par rapport à \(\mathscr{C}\).
- b) Étudier la position de la droite \(x+y-3=0\) par rapport à \(\mathscr{C}\).
- c) Trouver l'équation de la tangente à \(\mathscr{C}\) au point \(T(1+4\,;\,2)=(5\,;\,2)\).
a) \(d=\frac{|3(1)-4(2)+25|}{5}=\frac{|20|}{5}=4=r\) → tangente.
b) \(d=\frac{|1+2-3|}{\sqrt{2}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0 < 4\) → sécante. (La droite passe par le centre !)
c) \(T(5\,;\,2)\) sur \(\mathscr{C}\) ? \((5-1)^2+(2-2)^2=16\) ✓.
Tangente : \((5-1)(x-1)+(2-2)(y-2)=16 \implies 4(x-1)=16 \implies x=5\). C'est une droite verticale.
Soient les cercles \(\mathscr{C}_1\,:\,x^2+y^2-4x+2y-4=0\) et \(\mathscr{C}_2\,:\,x^2+y^2-8x-2y+8=0\).
- a) Mettre chaque cercle sous forme standard. Identifier centre et rayon.
- b) Calculer la distance entre les centres. Déterminer la position relative.
- c) L'axe radical est la droite des points équidistants des deux cercles, obtenue en soustrayant les deux équations. Trouver son équation.
\(\mathscr{C}_2\) : \((x-4)^2+(y-1)^2=9\). Centre \(\Omega_2(4\,;\,1)\), \(r_2=3\).
b) \(d=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\approx2{,}83\). Comparaison : \(|r_1-r_2|=0 < 2{,}83 < 6=r_1+r_2\) → sécants.
c) Soustraire les deux équations générales :
\((x^2+y^2-4x+2y-4)-(x^2+y^2-8x-2y+8)=0\)
\(4x+4y-12=0 \implies x+y-3=0\). Axe radical : \(x+y=3\).
Le rond-point de l'Indépendance à Ouagadougou est modélisé par un cercle de centre \(O(0\,;\,0)\) et de rayon 80 mètres dans un repère local (unité = 1 mètre).
- a) Écrire l'équation du rond-point.
- b) Une avenue est modélisée par \(3x-4y+500=0\). Quelle est sa position par rapport au rond-point ?
- c) Trouver l'équation de la tangente au cercle au point \(T(48\,;\,64)\). Vérifier que T est bien sur le cercle.
- d) Une voiture entre sur le rond-point au point \(A(-80\,;\,0)\) et en sort au point \(B(0\,;\,80)\). Quelle est la longueur de l'arc parcouru ?
b) \(d(O,(av))=\frac{|500|}{5}=100 > 80=r\) → extérieure. L'avenue ne passe pas dans le rond-point.
c) Vérif : \(48^2+64^2=2304+4096=6400\) ✓. Tangente : \(48x+64y=6400 \implies 3x+4y=400\).
d) L'angle \(\widehat{AOB}\) : \(\vec{OA}=(-1,0)\) et \(\vec{OB}=(0,1)\). Angle entre eux = 90°= \(\pi/2\) rad. Longueur de l'arc = \(r\theta=80\times\frac{\pi}{2}=40\pi\approx125{,}7\) m.
Dans la région du Sahel, trois forages d'eau à proximité de Dori sont aux positions \(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,0)\) et \(C(3\,;\,4)\) (coordonnées en km). On cherche le cercle passant par ces trois points (cercle circonscrit au triangle).
- a) L'équation générale du cercle est \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\). Écrire les trois équations obtenues en substituant les coordonnées de A, B et C.
- b) Résoudre le système pour trouver \(D\), \(E\), \(F\).
- c) Donner le centre et le rayon du cercle circonscrit. Interpréter géographiquement.
Point \(B(6,0)\) : \(36+6D+F=0 \implies 6D=-36 \implies D=-6\).
Point \(C(3,4)\) : \(9+16+3D+4E+F=0 \implies 25-18+4E=0 \implies 4E=-7 \implies E=-\frac{7}{4}\).
b) \(D=-6\), \(E=-7/4\), \(F=0\).
c) Centre : \(\Omega=\left(\frac{6}{2}\,;\,\frac{7/4}{2}\right)=\left(3\,;\,\frac{7}{8}\right)\).
Rayon : \(r=\sqrt{9+49/64}=\sqrt{576/64+49/64}=\sqrt{625/64}=\frac{25}{8}=3{,}125\) km.
Interprétation : le centre du cercle circonscrit est le point équidistant des 3 forages. C'est l'emplacement idéal pour un château d'eau alimentant les 3 sites à égale distance.
À retenir
- Équation standard : \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) — centre \(\Omega(a\,;\,b)\), rayon \(r\).
- Forme générale : \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) — compléter le carré pour retrouver la forme standard.
- Droite-cercle : comparer \(d(\Omega,(d))\) avec \(r\) — sécante si \(
- Tangente en \(T\) : \((x_T-a)(x-a)+(y_T-b)(y-b)=r^2\) — perpendiculaire au rayon \(\Omega T\).
- Deux cercles : comparer \(d=\Omega_1\Omega_2\) avec \(r_1+r_2\) et \(|r_1-r_2|\).
- Cercle par 3 points : substituer dans la forme générale → système 3×3 en \(D,E,F\).
- Diamètre \([AB]\) : centre = milieu, rayon = \(AB/2\).