Leçon 5 — Produit scalaire dans le plan

Définition, propriétés algébriques, calcul en coordonnées, angle entre vecteurs et applications géométriques

I. Motivation — mesurer l'alignement entre deux vecteurs

Le produit scalaire est une opération qui associe à deux vecteurs un nombre réel encodant à la fois leurs longueurs et l'angle entre eux. Contrairement au produit habituel des nombres, le résultat n'est pas un vecteur mais un scalaire — d'où le nom.

🔍 Pourquoi le produit scalaire ?

Trois problèmes géométriques fondamentaux se réduisent au produit scalaire :

1. Perpendicularité : deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul.

2. Angle : l'angle entre deux vecteurs s'obtient depuis leur produit scalaire par \(\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\).

3. Projection : le produit scalaire mesure combien un vecteur "va dans la direction" d'un autre.

En physique, le travail d'une force \(\vec{F}\) sur un déplacement \(\vec{d}\) est \(W = \vec{F}\cdot\vec{d}\) — le produit scalaire capture l'idée que seule la composante de la force dans la direction du déplacement produit du travail.

Nerveux explique : Au marché de Rood Woko à Ouagadougou, un porteur pousse une charrette avec une force \(\vec{F}\) à un angle \(\theta\) par rapport au sol. Seule la composante horizontale de sa force fait avancer la charrette — la composante verticale est "gaspillée" contre le sol. Le travail utile est \(W = |\vec{F}| \times |\vec{d}| \times \cos\theta = \vec{F}\cdot\vec{d}\). Si \(\theta = 0°\), toute la force est utile. Si \(\theta = 90°\), le travail est nul — le porteur pousse perpendiculairement au mouvement et n'avance pas ! C'est l'intuition physique du produit scalaire.

II. Définition — trois formules équivalentes

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) peut être défini de plusieurs façons équivalentes. Chacune est utile dans un contexte différent.

Définition par l'angle : \[\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta\] où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (\(0 \leq \theta \leq \pi\))

Définition par les coordonnées (dans un repère orthonormé) : \[\text{Si } \vec{u}\binom{x_1}{y_1} \text{ et } \vec{v}\binom{x_2}{y_2},\quad \vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\] La formule la plus pratique pour les calculs — simple et directe

Formule de polarisation : \[\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{|\vec{u}+\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2}{2} = \frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2 - |\vec{u}-\vec{v}|^2}{2}\] Utile pour passer de la géométrie aux longueurs sans calculer les angles

📐 Équivalence des trois définitions — preuve de la formule par coordonnées

On vérifie que \(x_1x_2+y_1y_2 = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) dans un repère orthonormé.

On écrit \(\vec{u} = x_1\vec{i}+y_1\vec{j}\) et \(\vec{v} = x_2\vec{i}+y_2\vec{j}\).

En développant \(|\vec{u}-\vec{v}|^2\) et en utilisant la loi des cosinus dans le triangle formé par \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{u}-\vec{v}\) :

\(|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\)

D'où \(|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta = \frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-|\vec{u}-\vec{v}|^2}{2}\).

Dans le repère orthonormé : \(|\vec{u}|^2 = x_1^2+y_1^2\), \(|\vec{v}|^2=x_2^2+y_2^2\), \(|\vec{u}-\vec{v}|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\).

En substituant :

\(\frac{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-(x_1-x_2)^2-(y_1-y_2)^2}{2} = \frac{2x_1x_2+2y_1y_2}{2} = x_1x_2+y_1y_2 \quad \square\)

III. Propriétés algébriques

Symétrie

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\)

Le produit scalaire est commutatif.

Bilinéarité

\((\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}\)
\((\lambda\vec{u})\cdot\vec{v} = \lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})\)

Distributif sur l'addition, homogène.

Carré scalaire

\(\vec{u}\cdot\vec{u} = |\vec{u}|^2\)

\(\vec{u}\cdot\vec{u} = |\vec{u}|^2\cos0° = |\vec{u}|^2\). En coordonnées : \(\vec{u}\cdot\vec{u}=x^2+y^2\).

\(|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\)

Perpendicularité

\(\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0\)

Si \(\vec{u}\neq\vec{0}\) et \(\vec{v}\neq\vec{0}\), \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\iff\theta=90°\).

\(x_1x_2+y_1y_2=0\)

Attention : Le produit scalaire n'est pas associatif : \((\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}\) n'a pas de sens car \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) est un scalaire et on ne peut pas faire le produit scalaire d'un scalaire avec un vecteur. Il n'y a donc pas de "règle d'association" pour le produit scalaire.

IV. Identités remarquables

En développant les produits scalaires, on obtient des identités vectorielles analogues aux identités algébriques classiques.

\[|\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2\] \[|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2\] \[(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\] Identités de développement — analogues à \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) et \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)

📐 Preuve de \(|\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2\)

\(|\vec{u}+\vec{v}|^2 = (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})\)

\(= \vec{u}\cdot\vec{u} + \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v}\) (bilinéarité)

\(= |\vec{u}|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2 \quad \square\) (symétrie : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\))

V. Calcul de l'angle entre deux vecteurs

La formule \(\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) permet de calculer l'angle entre deux vecteurs en coordonnées.

Pour \(\vec{u}\binom{x_1}{y_1}\) et \(\vec{v}\binom{x_2}{y_2}\) non nuls : \[\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\] L'angle \(\theta\) est dans \([0\,;\,\pi]\). Si \(\cos\theta > 0\) : angle aigu ; si \(\cos\theta < 0\) : angle obtus ; si \(\cos\theta = 0\) : angle droit

Application à l'angle d'un triangle : Pour calculer l'angle \(\hat{A}\) du triangle \(ABC\), on utilise les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) issus du sommet \(A\) : \[\cos\hat{A} = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}\]

VI. Visualisation géométrique du produit scalaire

Gauche : le produit scalaire est la longueur de la projection de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) multipliée par \(|\vec{v}|\). Droite : signe selon l'angle.

VII. Applications géométriques

Pythagore et sa réciproque

\(ABC\) rectangle en \(A\) \[\iff \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0\] \[\iff BC^2 = AB^2+AC^2\]

Le produit scalaire unifie Pythagore et la perpendicularité.

Médiane d'un triangle

Si \(M\) est le milieu de \([BC]\) : \[\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\]

La médiane issue de A est perpendiculaire à BC si et seulement si \(AB = AC\) (triangle isocèle).

Al-Kashi (loi des cosinus)

Dans un triangle \(ABC\) : \[BC^2 = AB^2+AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\]

\(a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\hat{A}\)

Lieu perpendiculaire

L'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) est le cercle de diamètre \([AB]\) (théorème de Thalès).

Car \(\angle AMB = 90°\) pour tout \(M\) sur ce cercle.

📐 Preuve de la loi des cosinus depuis le produit scalaire

On utilise \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).

\(BC^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 = |-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AC}|^2\)

\(= AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = c^2+b^2 - 2bc\cos\hat{A} \quad \square\)

La loi des cosinus est donc une conséquence directe de la bilinéarité du produit scalaire — c'est sa formulation la plus élégante.

VIII. Exemples travaillés

Exemple 1 — Calcul du produit scalaire en coordonnées

Soient \(\vec{u}\binom{3}{-1}\) et \(\vec{v}\binom{2}{5}\). Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(|\vec{u}|\), \(|\vec{v}|\) et l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times2+(-1)\times5 = 6-5 = 1\)

\(|\vec{u}| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\)

\(|\vec{v}| = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}\)

\(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{10}\,\sqrt{29}} = \dfrac{1}{\sqrt{290}} \approx 0{,}0587\)

\(\theta \approx \arccos(0{,}0587) \approx 86{,}6°\)

L'angle est presque droit — les vecteurs sont presque perpendiculaires.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=1\) | \(\theta \approx 86{,}6°\)

Exemple 2 — Vérifier qu'un triangle est rectangle et calculer ses angles

Triangle \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,6)\) et \(C(7\,;\,3)\). Déterminer la nature du triangle.

\(\overrightarrow{AB}=\binom{3}{4}\), \(\overrightarrow{AC}=\binom{6}{1}\), \(\overrightarrow{BC}=\binom{3}{-3}\)

Test de perpendicularité :

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3\times6+4\times1 = 22 \neq 0\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} = 3\times3+4\times(-3) = 9-12 = -3 \neq 0\)

\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC} = 6\times3+1\times(-3) = 18-3 = 15 \neq 0\)

Aucun angle droit → triangle scalène non rectangle.

Calcul de l'angle en \(A\) :

\(\cos\hat{A} = \dfrac{22}{\sqrt{25}\,\sqrt{37}} = \dfrac{22}{5\sqrt{37}} \approx \dfrac{22}{30{,}4} \approx 0{,}724 \implies \hat{A} \approx 43{,}6°\)

Triangle scalène non rectangle | \(\hat{A} \approx 43{,}6°\)

Exemple 3 — Lieu géométrique : cercle de diamètre

Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) avec \(A(1\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,1)\).

\(\overrightarrow{MA} = \binom{1-x}{3-y}\) et \(\overrightarrow{MB} = \binom{5-x}{1-y}\)

\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = (1-x)(5-x)+(3-y)(1-y) = 0\)

\(5-6x+x^2+3-4y+y^2 = 0\)

\(x^2+y^2-6x-4y+8 = 0\)

On complète le carré : \((x-3)^2+(y-2)^2 = 9+4-8 = 5\)

C'est le cercle de centre \(\Omega(3\,;\,2)\) (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(\sqrt{5} = \frac{AB}{2}\) ✓

Cercle de diamètre \([AB]\) : \((x-3)^2+(y-2)^2=5\)

IX. Application concrète ⭐

⭐ Situation concrète Travail d'un porteur au marché de Rood Woko

Au marché de Rood Woko à Ouagadougou, un porteur déplace une charrette de marchandises. La force exercée est \(\vec{F}\binom{80}{30}\) Newtons et le déplacement est \(\vec{d}\binom{15}{5}\) mètres.

a) Calculer le travail \(W = \vec{F}\cdot\vec{d}\).
b) Calculer l'angle entre la force et le déplacement.
c) Quelle fraction du travail total est "utile" (dans la direction du déplacement) ?
d) Si le porteur exerce une force \(\vec{F'}\binom{a}{b}\) perpendiculaire au déplacement \(\vec{d}\), trouver une relation entre \(a\) et \(b\).

Exemple 4 — Porteur au marché de Rood Woko

a) Travail :

\(W = \vec{F}\cdot\vec{d} = 80\times15+30\times5 = 1200+150 = \mathbf{1350}\) J (joules)

b) Angle entre \(\vec{F}\) et \(\vec{d}\) :

\(|\vec{F}| = \sqrt{6400+900} = \sqrt{7300} \approx 85{,}4\) N

\(|\vec{d}| = \sqrt{225+25} = \sqrt{250} \approx 15{,}8\) m

\(\cos\theta = \dfrac{1350}{85{,}4\times15{,}8} \approx \dfrac{1350}{1349{,}3} \approx 1{,}0 \implies \theta \approx 0{,}03°\)

L'angle est presque nul — la force et le déplacement sont presque colinéaires.

c) Travail maximum si force et déplacement colinéaires :

\(W_{\max} = |\vec{F}||\vec{d}| \approx 85{,}4\times15{,}8 \approx 1350\) J

Fraction utile : \(\frac{W}{W_{\max}} \approx \frac{1350}{1350} \approx 100\%\). La force est presque entièrement utile.

d) Condition de perpendicularité :

\(\vec{F'}\cdot\vec{d} = 0 \implies 15a+5b=0 \implies b = -3a\)

Tout vecteur de la forme \(\binom{a}{-3a}\) est perpendiculaire au déplacement.

\(W = 1350\) J | \(\theta \approx 0°\) | Force ⊥ à \(\vec{d}\) : \(b = -3a\)

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Calculs fondamentaux

Soient \(\vec{u}\binom{2}{-3}\), \(\vec{v}\binom{4}{1}\) et \(\vec{w}\binom{-1}{2}\).

a) Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\vec{u}\cdot\vec{w}\) et \(\vec{v}\cdot\vec{w}\).
b) Calculer \(|\vec{u}+\vec{v}|^2\) deux façons : directement et via l'identité remarquable.
c) Trouver \(k\) tel que \(\vec{u}\) et \(k\vec{v}+\vec{w}\) soient perpendiculaires.

a) \(\vec{u}\cdot\vec{v}=8-3=5\) ; \(\vec{u}\cdot\vec{w}=-2-6=-8\) ; \(\vec{v}\cdot\vec{w}=-4+2=-2\)

b) Directement : \(\vec{u}+\vec{v}=\binom{6}{-2}\). \(|\vec{u}+\vec{v}|^2=36+4=40\).
Via identité : \(|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2=13+10+17=40\) ✓

c) \(\vec{u}\cdot(k\vec{v}+\vec{w})=k(\vec{u}\cdot\vec{v})+\vec{u}\cdot\vec{w}=5k-8=0 \implies k=\frac{8}{5}\)

Exercice 2 — Nature et angles d'un triangle

Soient \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\) et \(C(1\,;\,3)\).

a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\).
b) Le triangle est-il rectangle ? Isocèle ?
c) Calculer les trois angles et vérifier leur somme.

a) \(\overrightarrow{AB}=\binom{4}{0}\), \(\overrightarrow{AC}=\binom{1}{3}\), \(\overrightarrow{BC}=\binom{-3}{3}\), \(\overrightarrow{BA}=\binom{-4}{0}\), \(\overrightarrow{CA}=\binom{-1}{-3}\), \(\overrightarrow{CB}=\binom{3}{-3}\).
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times1+0\times3=4\).
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-4)(-3)+(0)(3)=12\).
\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-1)(3)+(-3)(-3)=-3+9=6\).

b) Aucun produit nul → pas rectangle. \(AB=4\), \(AC=\sqrt{10}\), \(BC=3\sqrt{2}\). Tous différents → scalène.

c) \(\cos\hat{A}=\frac{4}{4\times\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\approx0{,}316 \implies \hat{A}\approx71{,}6°\).
\(\cos\hat{B}=\frac{12}{4\times3\sqrt{2}}=\frac{12}{12\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \hat{B}=45°\).
\(\hat{C}=180°-71{,}6°-45°=63{,}4°\). Somme : \(71{,}6+45+63{,}4=180°\) ✓

Exercice 3 — Identités et simplifications

Prouver les identités vectorielles :

a) \(|\vec{u}+\vec{v}|^2+|\vec{u}-\vec{v}|^2 = 2(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2)\) — identité du parallélogramme
b) Si \(|\vec{u}| = |\vec{v}|\), alors \((\vec{u}+\vec{v})\perp(\vec{u}-\vec{v})\) — les diagonales d'un losange sont perpendiculaires

a) \(|\vec{u}+\vec{v}|^2+|\vec{u}-\vec{v}|^2 = (|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2)+(|\vec{u}|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2) = 2|\vec{u}|^2+2|\vec{v}|^2\) ✓

b) \((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = |\vec{u}|^2-|\vec{v}|^2 = 0\) si \(|\vec{u}|=|\vec{v}|\) ✓
(Les diagonales d'un losange — qui a 4 côtés égaux — sont bien perpendiculaires.)

Exercice 4 — Lieu géométrique : médiatrice

Soient \(A(2\,;\,0)\) et \(B(0\,;\,4)\). Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) équidistants de \(A\) et de \(B\) en utilisant le produit scalaire.

(Indication : \(MA = MB \iff MA^2 = MB^2 \iff (MA^2 - MB^2) = 0 \iff (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})\cdot\overrightarrow{AB}=0\))

Méthode directe : \(MA^2=MB^2 \implies (x-2)^2+y^2=x^2+(y-4)^2\).
\(x^2-4x+4+y^2=x^2+y^2-8y+16\)
\(-4x+4=-8y+16 \implies -4x+8y=12 \implies x-2y+3=0\).
C'est une droite (la médiatrice de \([AB]\)).
Vérification : passe par le milieu \(M_0(1\,;\,2)\) : \(1-4+3=0\) ✓. Pente \(=\frac{1}{2}\) ; pente de AB \(=\frac{4-0}{0-2}=-2\). Produit : \(\frac{1}{2}\times(-2)=-1\) → perpendiculaires ✓.

Exercice 5 — Toiture d'un bâtiment à Ouagadougou ⭐

La toiture d'un immeuble de Ouagadougou est triangulaire. Les trois sommets sont \(A(0\,;\,0)\), \(B(8\,;\,0)\) et \(C(4\,;\,6)\) (en mètres).

a) Montrer que le triangle est isocèle en \(C\) en comparant \(CA\) et \(CB\).
b) Calculer l'angle au sommet \(\hat{C}\) (angle à la pointe de la toiture).
c) La hauteur issue de \(C\) est-elle aussi la médiatrice de \([AB]\) ? Justifier avec le produit scalaire.
d) Calculer l'aire de la toiture par la formule \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|\sin\hat{C}\).

a) \(CA=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) ; \(CB=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\). \(CA=CB\) → isocèle en \(C\) ✓

b) \(\overrightarrow{CA}=\binom{-4}{-6}\), \(\overrightarrow{CB}=\binom{4}{-6}\).
\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-4)(4)+(-6)(-6)=-16+36=20\).
\(\cos\hat{C}=\frac{20}{2\sqrt{13}\times2\sqrt{13}}=\frac{20}{52}=\frac{5}{13}\approx0{,}385\).
\(\hat{C}=\arccos\frac{5}{13}\approx67{,}4°\).

c) Milieu de \([AB]\) : \(M=(4\,;\,0)\). \(\overrightarrow{CM}=\binom{0}{-6}\) (vertical). \(\overrightarrow{AB}=\binom{8}{0}\) (horizontal).
\(\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AB}=0\times8+(-6)\times0=0\) → perpendiculaires → la hauteur est aussi la médiatrice ✓ (triangle isocèle).

d) \(\sin\hat{C}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}\).
Aire \(=\frac{1}{2}\times2\sqrt{13}\times2\sqrt{13}\times\frac{12}{13}=\frac{1}{2}\times52\times\frac{12}{13}=\frac{1}{2}\times48=\mathbf{24}\) m².

À retenir

Définition : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta = x_1x_2+y_1y_2\) dans un repère orthonormé.
Propriétés : symétrique, bilinéaire — mais pas associatif (le résultat est un scalaire).
Perpendicularité : \(\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \iff x_1x_2+y_1y_2=0\).
Norme : \(|\vec{u}|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=x^2+y^2\).
Identités : \(|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2\) ; \((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=|\vec{u}|^2-|\vec{v}|^2\).
Angle : \(\cos\theta = \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\).
Loi des cosinus : \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
Lieu : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) ↔ cercle de diamètre \([AB]\) ; \(MA=MB\) ↔ médiatrice de \([AB]\).

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