Leçon 6 — Transformations du plan

Translations, rotations, symétries et homothéties — définitions rigoureuses, formules en coordonnées et conservation des propriétés géométriques

I. Qu'est-ce qu'une transformation du plan ?

Une transformation du plan est une application bijective de l'ensemble des points du plan vers lui-même. Elle associe à chaque point \(M\) un unique point image \(M'\), et tout point est image d'un unique point antécédent. On dit que \(M'\) est l'image de \(M\) par la transformation.

🔍 Isométrie vs homothétie — conserver ou changer les distances

Parmi les transformations, on distingue :

Isométries (ou déplacements + réflexions) : conservent toutes les distances. L'image d'une figure est une figure congruente — même forme, même taille. Exemples : translations, rotations, symétries axiales et centrales.

Similitudes : conservent les angles mais multiplient toutes les distances par un rapport constant. L'image est une figure semblable — même forme, taille différente. Exemple : homothéties.

Les quatre transformations fondamentales de cette leçon sont : translation, rotation, symétrie axiale (réflexion), symétrie centrale et homothétie.

Nerveux explique : Les motifs des nattes tressées du marché de Saponé sont créés par répétition de figures géométriques — c'est de la translation. Les motifs des masques Bobo et Mossi présentent des symétries axiales et centrales. Les architectes du quartier Ouaga 2000 utilisent des rotations pour orienter les bâtiments selon l'ensoleillement. Et quand on fait une photocopie à 75 %, c'est une homothétie de rapport \(0{,}75\). Les transformations sont partout — elles sont le langage de la symétrie et de la répétition.

II. Les quatre transformations fondamentales

➡️

Translation de vecteur \(\vec{t}\)

M'= M + \vec{t} ↔ \(\begin{cases}x'=x+a\\y'=y+b\end{cases}\)

Aucun point fixe (si \(\vec{t}\neq\vec{0}\))
Conserve distances, angles, orientation
Image d'une droite : droite parallèle
Image d'un cercle : cercle de même rayon

🔄

Rotation de centre \(\Omega\), angle \(\theta\)

\(\begin{cases}x'-a=(x-a)\cos\theta-(y-b)\sin\theta\\y'-b=(x-a)\sin\theta+(y-b)\cos\theta\end{cases}\)

Un seul point fixe : le centre \(\Omega(a,b)\)
Conserve distances, angles, orientation
\(\Omega M' = \Omega M\) et \(\widehat{M\Omega M'}=\theta\)
Rotation d'angle 0 = identité

↔️

Symétrie axiale d'axe \((d)\)

M' symétrique de M / droite (d)
\((d)\) médiatrice de \([MM']\)

Points fixes : tous les points de l'axe
Conserve distances et angles
Renverse l'orientation
Axe \(x\) : \((x,y)\mapsto(x,-y)\)
Axe \(y\) : \((x,y)\mapsto(-x,y)\)

🔍

Homothétie de centre \(\Omega\), rapport \(k\)

\(\overrightarrow{\Omega M'} = k\,\overrightarrow{\Omega M}\)
\(\begin{cases}x'=a+k(x-a)\\y'=b+k(y-b)\end{cases}\)

Point fixe : le centre \(\Omega\)
Multiplie toutes les distances par \(|k|\)
\(k>0\) : même sens ; \(k<0\) : sens contraire
Image d'un cercle : cercle de rayon \(|k|r\)
\(k=-1\) : symétrie centrale de centre \(\Omega\)

III. Translation — formules et propriétés

La translation de vecteur \(\vec{t}\binom{a}{b}\) déplace chaque point du même vecteur \(\vec{t}\). C'est la transformation la plus simple : le plan "glisse" dans la direction de \(\vec{t}\).

Translation de vecteur \(\vec{t}\binom{a}{b}\) : \[M(x\,;\,y) \xmapsto{T_{\vec{t}}} M'(x+a\,;\,y+b)\] Caractérisation vectorielle : \(\overrightarrow{MM'} = \vec{t}\) pour tout point \(M\)

📐 L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle

Soit la droite \((d)\,:\,ax+by+c=0\) et la translation de vecteur \(\binom{p}{q}\). Un point \(M(x\,;\,y)\) est sur \((d)\) si et seulement si son image \(M'(x+p\,;\,y+q)\) vérifie :

\(a(x'+(-p))+b(y'+(-q))+c=0 \iff ax'+by'+(-ap-bq+c)=0\)

La droite image est \(ax+by+(-ap-bq+c)=0\) — même coefficients \(a\) et \(b\), donc même vecteur normal, donc parallèle à \((d)\). \(\square\)

IV. Symétrie centrale

La symétrie centrale de centre \(\Omega\) est le cas particulier de la rotation d'angle \(\pi\) (180°) de centre \(\Omega\). Elle est aussi l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k = -1\).

Symétrie centrale de centre \(\Omega(a\,;\,b)\) : \[M(x\,;\,y) \xmapsto{S_\Omega} M'(2a-x\,;\,2b-y)\] Le centre \(\Omega\) est le milieu de \([MM']\) — caractérisation fondamentale

📐 Preuve de la formule de la symétrie centrale

\(\Omega\) est le milieu de \([MM']\) si et seulement si :

\(x_\Omega = \frac{x+x'}{2} \implies x' = 2a-x\) et \(y_\Omega = \frac{y+y'}{2} \implies y' = 2b-y \quad \square\)

V. Symétrie axiale

La symétrie axiale (ou réflexion) d'axe \((d)\) est la transformation qui envoie chaque point \(M\) sur son symétrique \(M'\) par rapport à la droite \((d)\). La droite \((d)\) est la médiatrice du segment \([MM']\).

Cas particuliers importants : \[\text{Axe } Ox : (x,y)\mapsto(x,-y) \qquad \text{Axe } Oy : (x,y)\mapsto(-x,y)\] \[\text{Droite } y=x : (x,y)\mapsto(y,x) \qquad \text{Droite } y=-x : (x,y)\mapsto(-y,-x)\] Pour un axe quelconque, on projette M sur l'axe puis on prolonge d'autant de l'autre côté

🔍 Formule générale — symétrie par rapport à \(ax + by + c = 0\)

Pour la droite \((d)\,:\,ax+by+c=0\) (avec \(a^2+b^2\neq0\)), l'image de \(M(x_0\,;\,y_0)\) est :

\(x' = x_0 - \dfrac{2a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\) et \(y' = y_0 - \dfrac{2b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\)

La quantité \(\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\) est le paramètre \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = -2\lambda\vec{n}\) où \(\vec{n}\binom{a}{b}\) est le vecteur normal à \((d)\).

VI. Rotation d'angle \(\pi/2\) et \(\pi\)

Les rotations d'angles remarquables ont des formules simples qui méritent d'être connues par cœur.

Rotations de centre \(O\) d'angles courants : \[\text{Angle }\frac{\pi}{2} \text{ (90°)} : (x,y)\mapsto(-y,x)\] \[\text{Angle }\pi \text{ (180°)} : (x,y)\mapsto(-x,-y)\quad\text{[= symétrie centrale]}\] \[\text{Angle }-\frac{\pi}{2} \text{ (−90°)} : (x,y)\mapsto(y,-x)\] Ces formules se déduisent de la formule générale avec \(\cos90°=0\), \(\sin90°=1\)

📐 Preuve de la rotation de 90° de centre O

On applique la formule générale avec \(\theta=\pi/2\), \(a=b=0\) :

\(x' = x\cos\frac{\pi}{2}-y\sin\frac{\pi}{2} = x\times0-y\times1 = -y\)

\(y' = x\sin\frac{\pi}{2}+y\cos\frac{\pi}{2} = x\times1+y\times0 = x \quad \square\)

Vérification : le vecteur \(\binom{1}{0}\) devient \(\binom{0}{1}\) — on a bien tourné de 90° dans le sens direct ✓

VII. Homothétie — formules et image d'un cercle

L'homothétie de centre \(\Omega(a\,;\,b)\) et de rapport \(k\neq0\) envoie chaque point \(M\) sur le point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M}\). C'est la transformation de "zoom" — elle agrandit ou réduit les figures en les conservant semblables.

Image d'un cercle de centre \(C(e\,;\,f)\) et rayon \(r\) par l'homothétie \((\Omega, k)\) : \[\text{Cercle image : centre } C'(a+k(e-a)\,;\,b+k(f-b)), \text{ rayon } |k|r\] L'image d'un cercle est toujours un cercle (sauf si le centre coïncide avec \(\Omega\) et \(k=0\))

VIII. Visualisation des quatre transformations

Les quatre transformations fondamentales et leurs propriétés de conservation

IX. Exemples travaillés

Exemple 1 — Image d'un point par translation et rotation

Soit \(A(2\,;\,3)\). Calculer son image par :

a) La translation de vecteur \(\vec{t}\binom{-3}{4}\)

\(A' = (2+(-3)\,;\,3+4) = (-1\,;\,7)\)

b) La rotation de centre \(\Omega(1\,;\,1)\) et d'angle \(90°\)

\(x' - 1 = (2-1)\cos90° - (3-1)\sin90° = 1\times0-2\times1 = -2 \implies x'=-1\)

\(y' - 1 = (2-1)\sin90° + (3-1)\cos90° = 1\times1+2\times0 = 1 \implies y'=2\)

\(A' = (-1\,;\,2)\)

Vérification : \(\Omega A = \sqrt{1+4}=\sqrt{5}\) et \(\Omega A' = \sqrt{4+1}=\sqrt{5}\) ✓ (la rotation conserve les distances)

Translation : \(A'(-1\,;\,7)\) | Rotation 90° autour de \(\Omega(1\,;\,1)\) : \(A'(-1\,;\,2)\)

Exemple 2 — Image par symétrie centrale et homothétie

Soit \(B(5\,;\,-2)\). Calculer son image par :

a) La symétrie centrale de centre \(\Omega(2\,;\,1)\)

\(B' = (2\times2-5\,;\,2\times1-(-2)) = (-1\,;\,4)\)

b) L'homothétie de centre \(\Omega(0\,;\,0)\) et de rapport \(k=-2\)

\(B' = (-2\times5\,;\,-2\times(-2)) = (-10\,;\,4)\)

Vérification : \(\Omega B' = \sqrt{100+16}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}\) et \(\Omega B = \sqrt{25+4}=\sqrt{29}\). Rapport : \(\frac{2\sqrt{29}}{\sqrt{29}}=2=|k|\) ✓

Sym. centrale : \(B'(-1\,;\,4)\) | Homothétie \(k=-2\) : \(B'(-10\,;\,4)\)

Exemple 3 — Image d'une droite par une translation

Trouver l'image de la droite \((d)\,:\,2x-3y+1=0\) par la translation de vecteur \(\vec{t}\binom{2}{-1}\).

Un point \(M'(x'\,;\,y')\) est sur la droite image si et seulement si son antécédent \(M(x'-2\,;\,y'+1)\) est sur \((d)\) :

\(2(x'-2)-3(y'+1)+1=0\)

\(2x'-4-3y'-3+1=0\)

\(2x'-3y'-6=0\)

La droite image est \(2x-3y-6=0\), parallèle à \((d)\) (mêmes coefficients pour \(x\) et \(y\)) ✓

Droite image : \(2x-3y-6=0\) — parallèle à la droite originale

Exemple 4 — Image d'un cercle par une homothétie

Trouver l'image du cercle \(\mathscr{C}\,:\,(x-1)^2+(y-2)^2=4\) par l'homothétie de centre \(\Omega(3\,;\,0)\) et de rapport \(k=\frac{1}{2}\).

Centre \(C(1\,;\,2)\), rayon \(r=2\).

Image du centre :

\(x'_{C} = 3+\frac{1}{2}(1-3) = 3-1 = 2\)

\(y'_{C} = 0+\frac{1}{2}(2-0) = 1\)

Centre image : \(C'(2\,;\,1)\).

Rayon image : \(r' = |k|r = \frac{1}{2}\times2 = 1\)

Équation du cercle image : \((x-2)^2+(y-1)^2=1\)

Cercle image : \((x-2)^2+(y-1)^2=1\) — centre \(C'(2\,;\,1)\), rayon \(1\)

X. Application concrète ⭐

⭐ Situation concrète Motifs des nattes de Saponé — symétries et translations

Un artisan de Saponé crée des motifs géométriques sur ses nattes tressées. Le motif de base est le triangle \(T\) de sommets \(A(0\,;\,0)\), \(B(2\,;\,0)\) et \(C(1\,;\,2)\).

a) L'artisan reproduit le motif par translation de vecteur \(\vec{t}\binom{4}{0}\). Donner les coordonnées du triangle image \(T'\).
b) Il crée un motif symétrique en appliquant la symétrie axiale d'axe \(x=2\) au triangle original \(T\). Calculer les images de \(A\), \(B\) et \(C\).
c) Il agrandit le motif par une homothétie de centre \(O(0\,;\,0)\) et de rapport \(k=3\). Calculer les sommets du motif agrandi et son aire (sachant que l'aire originale est 2 unités²).
d) Vérifier que la translation de \(T\) par \(\vec{t}\binom{4}{0}\) puis la symétrie centrale de centre \((3\,;\,1)\) donne le même résultat que la symétrie centrale de centre \((1\,;\,1)\) directement appliquée à \(T\).

Exemple 5 — Motifs de Saponé

a) Translation \(\vec{t}\binom{4}{0}\) :

\(A'(4\,;\,0)\), \(B'(6\,;\,0)\), \(C'(5\,;\,2)\)

b) Symétrie axiale d'axe \(x=2\) :

L'image de \((x,y)\) par rapport à \(x=2\) est \((4-x\,;\,y)\).

\(A \to A''(4\,;\,0)\), \(B(2\,;\,0) \to B''(2\,;\,0)\) (sur l'axe, donc fixe), \(C(1\,;\,2) \to C''(3\,;\,2)\)

c) Homothétie \(O\), \(k=3\) :

\(A\to A_3(0\,;\,0)\), \(B\to B_3(6\,;\,0)\), \(C\to C_3(3\,;\,6)\)

Aire agrandie \(= k^2 \times \text{aire originale} = 9\times2 = \mathbf{18}\) unités²

d) Composition :

Translation de \(A(0,0)\) par \(\binom{4}{0}\) → \(A'(4,0)\). Sym. centrale de centre \((3,1)\) → \(A''(2\times3-4\,;\,2\times1-0)=(2\,;\,2)\).

Sym. centrale directe de centre \((1,1)\) appliquée à \(A(0,0)\) : \(A''=(2\times1-0\,;\,2\times1-0)=(2\,;\,2)\) ✓

Aire agrandie \(=k^2\times\text{aire}=9\times2=18\) unités² | Composition vérifiée ✓

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Images de points

Calculer l'image du point \(M(3\,;\,-1)\) par chacune des transformations suivantes :

a) Translation de vecteur \(\vec{t}\binom{-2}{5}\)
b) Rotation de centre \(O(0\,;\,0)\) et d'angle \(-90°\)
c) Symétrie centrale de centre \(I(1\,;\,2)\)
d) Homothétie de centre \(A(1\,;\,0)\) et de rapport \(k=3\)

a) \(M'(3-2\,;\,-1+5)=(1\,;\,4)\)

b) Rotation \(-90°\) de centre O : \((x,y)\mapsto(y,-x)\). \(M'(-1\,;\,-3)\)

c) \(M'(2\times1-3\,;\,2\times2-(-1))=(-1\,;\,5)\)

d) \(x'=1+3(3-1)=7\) ; \(y'=0+3(-1-0)=-3\). \(M'(7\,;\,-3)\)

Exercice 2 — Image d'une figure géométrique

Soit le carré \(ABCD\) avec \(A(0\,;\,0)\), \(B(2\,;\,0)\), \(C(2\,;\,2)\) et \(D(0\,;\,2)\).

a) Trouver l'image du carré par la rotation d'angle \(90°\) de centre \(I(1\,;\,1)\) (centre du carré).
b) Trouver l'image par la symétrie axiale d'axe \(y=x\) (diagonale du carré).
c) Calculer l'image par l'homothétie de centre \(A\) et de rapport \(2\). Quel est le carré image ?

a) Rotation 90° autour de \(I(1,1)\). Pour chaque sommet : \(x'-1=-(y-1)\), \(y'-1=(x-1)\).
\(A(0,0)\to(2,0)=B\), \(B(2,0)\to(2,2)=C\), \(C(2,2)\to(0,2)=D\), \(D(0,2)\to(0,0)=A\). Le carré se retrouve identique — c'est une symétrie du carré ✓

b) Sym. axiale \(y=x\) : \((x,y)\mapsto(y,x)\). \(A(0,0)\to(0,0)\), \(B(2,0)\to(0,2)=D\), \(C(2,2)\to(2,2)\), \(D(0,2)\to(2,0)=B\). Le carré est fixe (la diagonale en est un axe de symétrie) ✓

c) Homothétie de centre \(A(0,0)\), \(k=2\) : \((x,y)\mapsto(2x,2y)\). \(A\to A\), \(B\to(4,0)\), \(C\to(4,4)\), \(D\to(0,4)\). Carré image de côté 4.

Exercice 3 — Compositions de transformations

Soit \(P(1\,;\,3)\).

a) Calculer l'image de \(P\) par la composition : symétrie centrale de centre \(A(2\,;\,0)\) suivie de la translation \(\vec{t}\binom{1}{-2}\).
b) La composition de deux symétries centrales de centres \(A(1\,;\,0)\) et \(B(4\,;\,0)\) est-elle une translation ? Si oui, de quel vecteur ?

a) Sym. centrale de centre \(A(2,0)\) : \(P'=(4-1\,;\,0-3)=(3\,;\,-3)\).
Translation \(\binom{1}{-2}\) : \(P''=(4\,;\,-5)\).

b) Sym. de centre \(A\) : \(M\to M_1=(2-x\,;\,-y)\).
Sym. de centre \(B\) : \(M_1\to M_2=(8-(2-x)\,;\,y)=(6+x\,;\,y)\).
La transformation \(M\to(x+6\,;\,y)\) est une translation de vecteur \(\binom{6}{0}=2\overrightarrow{AB}\) ✓.

Exercice 4 — Mosaïque de la Grande Mosquée de Bobo-Dioulasso

La Grande Mosquée de Bobo-Dioulasso est ornée de mosaïques dont les motifs sont créés par symétries et rotations. Un motif de base est le carré unité \(OABC\) avec \(O(0,0)\), \(A(1,0)\), \(B(1,1)\) et \(C(0,1)\).

a) Calculer l'image du carré par la rotation de \(45°\) de centre \(O\). (Utiliser \(\cos45°=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\).)
b) Calculer l'image par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\sqrt{2}\). Quel est le côté du carré image ?
c) Comment appelle-t-on la transformation qui est une homothétie de rapport \(\sqrt{2}\) composée avec une rotation de \(45°\) ? (C'est une similitude directe.)

a) \(\cos45°=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}707\).
\(A(1,0)\to(\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2})\) ; \(B(1,1)\to(0\,;\,\sqrt{2})\) ; \(C(0,1)\to(-\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2})\).

b) Homothétie \(k=\sqrt{2}\) de centre \(O\) : \(A\to(\sqrt{2}\,;\,0)\), \(B\to(\sqrt{2}\,;\,\sqrt{2})\), \(C\to(0\,;\,\sqrt{2})\).
Côté du carré image : \(|\sqrt{2}-0|=\sqrt{2}\).

c) La composition d'une homothétie et d'une rotation est une similitude directe (conserve les angles et l'orientation, multiplie les longueurs par \(\sqrt{2}\)). L'image est un carré tourné de 45° et de côté \(\sqrt{2}\).

Exercice 5 — Plan d'urbanisme de Ouaga 2000 ⭐

Dans le plan d'urbanisme du quartier Ouaga 2000, un bloc d'immeubles est modélisé par le rectangle \(R\) de sommets \(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,1)\), \(C(5\,;\,3)\) et \(D(1\,;\,3)\).

a) Calculer les coordonnées de l'image \(R'\) par la symétrie centrale de centre \(I(3\,;\,2)\) (centre du rectangle).
b) L'urbaniste veut dupliquer ce bloc par translation de vecteur \(\binom{0}{4}\). Donner les coordonnées du bloc \(R''\).
c) Il veut ensuite agrandir tout l'ensemble (les deux blocs) par une homothétie de centre \(O(0\,;\,0)\) et de rapport \(\frac{3}{2}\). Calculer les coordonnées des blocs agrandis et la surface totale occupée (sachant que l'aire d'un bloc est 8 unités²).

a) Sym. centrale de centre \(I(3,2)\) : \((x,y)\mapsto(6-x\,;\,4-y)\).
\(A\to(5\,;\,3)=C\), \(B\to(1\,;\,3)=D\), \(C\to(1\,;\,1)=A\), \(D\to(5\,;\,1)=B\). Le rectangle se retrouve lui-même — \(I\) est son centre de symétrie ✓

b) Translation \(\binom{0}{4}\) : tous les \(y\) augmentent de 4.
\(R''\) : \(A''(1,5)\), \(B''(5,5)\), \(C''(5,7)\), \(D''(1,7)\).

c) Homothétie \(k=3/2\) de centre \(O\) : \((x,y)\mapsto(\frac{3x}{2}\,;\,\frac{3y}{2})\).
\(R\) agrandie : \(A_3(\frac{3}{2}\,;\,\frac{3}{2})\), \(B_3(\frac{15}{2}\,;\,\frac{3}{2})\), \(C_3(\frac{15}{2}\,;\,\frac{9}{2})\), \(D_3(\frac{3}{2}\,;\,\frac{9}{2})\).
\(R''\) agrandie : \(A_3''(\frac{3}{2}\,;\,\frac{15}{2})\), \(B_3''(\frac{15}{2}\,;\,\frac{15}{2})\), \(C_3''(\frac{15}{2}\,;\,\frac{21}{2})\), \(D_3''(\frac{3}{2}\,;\,\frac{21}{2})\).
Aire de chaque bloc agrandi : \(k^2\times8=\frac{9}{4}\times8=18\) unités².
Surface totale des deux blocs agrandis : \(2\times18=\mathbf{36}\) unités².

À retenir

Translation \(\vec{t}\binom{a}{b}\) : \((x,y)\mapsto(x+a\,;\,y+b)\) — conserve tout, image d'une droite = droite parallèle.
Rotation centre \(\Omega(a,b)\), angle \(\theta\) : formule matricielle — conserve distances, angles et orientation.
Rotation 90° centre O : \((x,y)\mapsto(-y,x)\) ; rotation \(-90°\) : \((x,y)\mapsto(y,-x)\).
Sym. centrale centre \(\Omega(a,b)\) : \((x,y)\mapsto(2a-x\,;\,2b-y)\) — \(\Omega\) est le milieu de \([MM']\).
Sym. axiale : axe \(Ox\) → \((x,-y)\) ; axe \(Oy\) → \((-x,y)\) ; droite \(y=x\) → \((y,x)\).
Homothétie centre \(\Omega(a,b)\), rapport \(k\) : \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}\) — multiplie les distances par \(|k|\), l'aire par \(k^2\).
Image d'un cercle par homothétie : cercle de même centre image, rayon multiplié par \(|k|\).
Composition : appliquer les transformations de droite à gauche — en général non commutative.

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