I. Deux principes fondamentaux pour les volumes
Avant de donner les formules, il est essentiel de comprendre les deux principes qui les sous-tendent et permettent de les retrouver ou de les adapter.
Si deux solides ont la même hauteur \(h\) et si, à chaque hauteur \(z\in[0,h]\), les sections horizontales ont la même aire, alors les deux solides ont le même volume.
En termes simples : si on découpe deux solides en tranches horizontales infiniment minces et que chaque paire de tranches correspondantes a la même aire, les volumes sont égaux — même si les formes sont complètement différentes.
Le volume d'un prisme ou d'un cylindre est toujours \(V = \mathscr{A}_{\text{base}} \times h\), quel que soit l'angle d'inclinaison (prisme droit ou oblique). Cela découle de Cavalieri : à chaque hauteur, la section est congruente à la base.
Ce facteur \(\frac{1}{3}\) surprend souvent. On peut le comprendre par deux approches :
Approche 1 — Dissection du cube : un cube peut être découpé exactement en 3 pyramides congruentes de même base et même hauteur. Chacune a donc le volume \(\frac{1}{3}\times\text{côté}^3 = \frac{1}{3}\times\text{base}\times\text{hauteur}\).
Approche 2 — Cavalieri : la section d'une pyramide de hauteur \(h\) à la hauteur \(z\) est semblable à la base avec un rapport \(\frac{h-z}{h}\). Son aire est \(\mathscr{A}_{\text{base}}\times\left(\frac{h-z}{h}\right)^2\). L'intégrale de \(0\) à \(h\) donne \(\mathscr{A}_{\text{base}}\times\frac{h}{3}\).
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II. Tableau des solides — formules d'aire et de volume
Volume : \(V = a^3\)
Diagonale : \(d = a\sqrt{3}\)
6 faces carrées identiques
Volume : \(V = abc\)
Diagonale : \(d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Généralise le cube
Aire lat. : \(S_{\text{lat}} = P_{\text{base}} \times h\)
Aire tot. : \(S = S_{\text{lat}} + 2\mathscr{A}_{\text{base}}\)
Arêtes latérales \(\perp\) à la base
Aire lat. (base carrée) : \(S_{\text{lat}} = \frac{P_{\text{base}}\times a}{2}\)
\(a\) = apothème de la face latérale
Facteur \(\frac{1}{3}\) : le cube se découpe en 3 pyramides égales
Aire lat. : \(S_{\text{lat}} = 2\pi r h\)
Aire tot. : \(S = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)\)
Limite d'un prisme à \(n\to\infty\) côtés
Générateur : \(l = \sqrt{r^2+h^2}\)
Aire lat. : \(S_{\text{lat}} = \pi r l\)
Aire tot. : \(S = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l+r)\)
Limite d'une pyramide à \(n\to\infty\) côtés
Aire de surface : \(S = 4\pi R^2\)
La surface est 4 fois l'aire d'un grand cercle
\(V = \frac{1}{3}\times S\times R\) (élégant !)
Génératrice : \(l = \sqrt{h^2+(r_1-r_2)^2}\)
Aire lat. : \(S_{\text{lat}} = \pi(r_1+r_2)l\)
Cône coupé par un plan parallèle à la base
III. Preuves choisies
Un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) est « empilé » de disques circulaires. À la hauteur \(z\), la section est un disque de rayon \(r\) et d'aire \(\pi r^2\) — constante pour tout \(z\).
\(V = \int_0^h \pi r^2 \,\mathrm{d}z = \pi r^2 h \quad \square\)
Sans intégrale : le cylindre est la limite d'un prisme à \(n\) côtés dont la base a une aire tendant vers \(\pi r^2\). Par la formule du prisme : \(V=\mathscr{A}\times h\to\pi r^2 h\).
Soit une pyramide de base d'aire \(\mathscr{A}_0\) et de hauteur \(h\). La section à la hauteur \(z\) (depuis le sommet) est semblable à la base avec le rapport \(\frac{z}{h}\). Son aire est donc :
\(\mathscr{A}(z) = \mathscr{A}_0 \times \left(\frac{z}{h}\right)^2\)
En intégrant de \(0\) à \(h\) :
\(V = \int_0^h \mathscr{A}_0\frac{z^2}{h^2}\,\mathrm{d}z = \frac{\mathscr{A}_0}{h^2}\left[\frac{z^3}{3}\right]_0^h = \frac{\mathscr{A}_0}{h^2}\times\frac{h^3}{3} = \frac{\mathscr{A}_0 h}{3} \quad \square\)
Ce résultat est universel — quelle que soit la forme de la base (carrée, triangulaire, hexagonale…), le volume est toujours \(\frac{1}{3}\mathscr{A}_0 h\).
En déroulant la surface latérale d'un cône de rayon \(r\) et de génératrice \(l\), on obtient un secteur de cercle de rayon \(l\) et d'arc \(2\pi r\) (le périmètre de la base).
L'angle \(\theta\) de ce secteur vérifie : arc \(= l\theta = 2\pi r\), donc \(\theta = \frac{2\pi r}{l}\).
L'aire du secteur est :
\(S_{\text{lat}} = \frac{1}{2}l^2\theta = \frac{1}{2}l^2 \times \frac{2\pi r}{l} = \pi r l \quad \square\)
La sphère peut être imaginée comme étant composée d'une infinité de pyramides minuscules dont le sommet est le centre et les bases sont des petits morceaux de la surface. Pour chaque pyramide élémentaire, \(\mathrm{d}V = \frac{1}{3}\mathrm{d}S\times R\). En sommant :
\(V = \int \frac{1}{3}R\,\mathrm{d}S = \frac{R}{3}\int\mathrm{d}S = \frac{R}{3}\times 4\pi R^2 = \frac{4}{3}\pi R^3 \quad \square\)
C'est une des plus belles formules de la géométrie : volume = \(\frac{1}{3}\) × surface × rayon, valable pour la sphère comme pour un cône et une pyramide !
IV. Visualisation des solides fondamentaux
Cube, cylindre, pyramide et sphère — les quatre familles de solides fondamentaux
V. Similitude et homothétie — effect sur les aires et volumes
Quand on multiplie toutes les longueurs d'un solide par un facteur \(k\) (homothétie de rapport \(k\)), les aires sont multipliées par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\). C'est une conséquence directe des dimensions des grandeurs (longueur, surface, volume).
Cette loi d'échelle a des conséquences biologiques profondes. Le poids d'un animal est proportionnel à son volume (\(\propto k^3\)), mais la résistance de ses os est proportionnelle à leur section transversale (\(\propto k^2\)). Si on multiplie toutes les dimensions d'une souris par 10, son poids est multiplié par 1000 mais ses os ne sont que 100 fois plus résistants — ils ne pourraient pas la porter !
C'est pourquoi les gros animaux ont des membres proportionnellement plus épais que les petits. Ce principe, dit de Galilée, s'applique aussi aux structures architecturales — un pont 10 fois plus grand ne peut pas être simplement une copie agrandie.
VI. Exemples travaillés
Un grenier à mil cylindrique traditionnel du Centre-Nord burkinabè a un diamètre de 1,8 m et une hauteur de 2,2 m. La toiture est un cône de même rayon et de hauteur 0,8 m. Calculer le volume total et l'aire extérieure de la toiture.
Données : \(r=0{,}9\) m, \(h_{\text{cyl}}=2{,}2\) m, \(h_{\text{cône}}=0{,}8\) m.
Volume du cylindre :
\(V_{\text{cyl}}=\pi r^2 h=\pi\times0{,}81\times2{,}2\approx5{,}60\) m³
Volume du cône :
\(V_{\text{cône}}=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi\times0{,}81\times0{,}8\approx0{,}68\) m³
Volume total :
\(V_{\text{total}}\approx5{,}60+0{,}68=\mathbf{6{,}28}\) m³ (\(\approx 6\,280\) litres de mil)
Aire latérale de la toiture (cône) :
\(l=\sqrt{r^2+h_{\text{cône}}^2}=\sqrt{0{,}81+0{,}64}=\sqrt{1{,}45}\approx1{,}204\) m
\(S_{\text{lat}}=\pi r l=\pi\times0{,}9\times1{,}204\approx3{,}40\) m²
Le minaret de la Grande Mosquée de Ouagadougou est coiffé d'une pyramide à base carrée de côté 2 m et de hauteur 3 m. Calculer le volume et l'aire totale de cette pyramide.
Aire de la base : \(\mathscr{A}_{\text{base}}=2^2=4\) m²
Volume :
\(V=\frac{1}{3}\times4\times3=\mathbf{4}\) m³
Apothème de la face latérale : La hauteur de chaque face triangulaire isocèle va du milieu d'un côté de la base au sommet.
\(a=\sqrt{h^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\) m
Aire latérale : 4 faces triangulaires de base 2 m et de hauteur \(\sqrt{10}\) m.
\(S_{\text{lat}}=4\times\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{10}=4\sqrt{10}\approx12{,}65\) m²
Aire totale :
\(S_{\text{tot}}=4\sqrt{10}+4\approx12{,}65+4=\mathbf{16{,}65}\) m²
Un réservoir d'eau sphérique à Bobo-Dioulasso a un rayon de 3 m. On veut construire un second réservoir de volume double. Quel rayon faut-il ?
\(V_1=\frac{4}{3}\pi\times27=36\pi\) m³. On veut \(V_2=2V_1=72\pi\) m³.
\(\frac{4}{3}\pi R_2^3=72\pi\implies R_2^3=54\implies R_2=\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\approx3\times1{,}260=\mathbf{3{,}78}\) m
Le rapport de similitude est \(k=\sqrt[3]{2}\approx1{,}26\). Pour doubler le volume, les dimensions n'augmentent que d'un facteur \(1{,}26\) — pas de 2. C'est la loi \(k^3=2\).
Un mortier traditionnel en bois a la forme d'un tronc de cône creux. Ses dimensions intérieures : rayon supérieur \(r_1=15\) cm, rayon inférieur \(r_2=8\) cm, hauteur \(h=40\) cm. Calculer sa contenance.
On applique la formule du tronc de cône :
\(V=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)=\frac{40\pi}{3}(225+120+64)=\frac{40\pi\times409}{3}\)
\(=\frac{16\,360\pi}{3}\approx17\,139\) cm³ \(\approx\mathbf{17{,}1}\) litres
VII. Application concrète ⭐
Un château d'eau dans la ville de Kaya (Centre-Nord) est constitué d'un cylindre surmonté d'une demi-sphère, le tout reposant sur un support cylindrique mince. Dimensions :
- Cuve cylindrique : rayon \(R=4\) m, hauteur \(H=6\) m
- Dôme demi-sphérique de rayon \(R=4\) m
- a) Calculer le volume d'eau total que peut contenir la cuve (cylindre + demi-sphère).
- b) Calculer l'aire totale extérieure de la cuve (surface latérale du cylindre + surface de la demi-sphère + base circulaire).
- c) La peinture anti-rouille coûte 3 500 FCFA le litre et couvre 8 m² par litre. Combien coûte la peinture de toute la surface extérieure ?
- d) Si le château d'eau alimente 4 000 personnes utilisant chacune 50 litres par jour, combien de fois par semaine faut-il le remplir complètement ?
a) Volume total :
\(V_{\text{cyl}}=\pi R^2 H=\pi\times16\times6=96\pi\approx301{,}6\) m³
\(V_{\text{demi-sphère}}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi\times64=\frac{128\pi}{3}\approx134{,}0\) m³
\(V_{\text{total}}=96\pi+\frac{128\pi}{3}=\frac{288\pi+128\pi}{3}=\frac{416\pi}{3}\approx\mathbf{435{,}6}\) m³ \(=435\,600\) litres
b) Aire extérieure :
\(S_{\text{lat cyl}}=2\pi RH=2\pi\times4\times6=48\pi\approx150{,}8\) m²
\(S_{\text{demi-sphère}}=\frac{1}{2}\times4\pi R^2=2\pi\times16=32\pi\approx100{,}5\) m²
\(S_{\text{base}}=\pi R^2=16\pi\approx50{,}3\) m²
\(S_{\text{tot}}=48\pi+32\pi+16\pi=96\pi\approx\mathbf{301{,}6}\) m²
c) Coût de la peinture :
Litres nécessaires : \(\frac{301{,}6}{8}\approx37{,}7\) litres → on arrondit à 38 litres
Coût : \(38\times3\,500=\mathbf{133\,000}\) FCFA
d) Remplissages par semaine :
Consommation journalière : \(4\,000\times50=200\,000\) litres/jour
Consommation hebdomadaire : \(200\,000\times7=1\,400\,000\) litres/semaine
Remplissages : \(\frac{1\,400\,000}{435\,600}\approx3{,}21\) → il faut remplir 4 fois par semaine (arrondi vers le haut pour ne pas manquer d'eau).
✏️ Exercices d'application
- a) Calculer le volume et l'aire d'une sphère de rayon \(5\) cm.
- b) Calculer le volume et l'aire totale d'un cône de rayon \(4\) cm et de hauteur \(3\) cm.
- c) Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés \(3\), \(4\) et \(5\) cm et une hauteur de \(8\) cm. Calculer son volume et son aire latérale.
b) \(l=\sqrt{16+9}=5\) cm. \(V=\frac{1}{3}\pi\times16\times3=16\pi\approx50{,}3\) cm³.
\(S=\pi rl+\pi r^2=20\pi+16\pi=36\pi\approx113{,}1\) cm².
c) Aire base = \(\frac{1}{2}\times3\times4=6\) cm². Périmètre base = \(3+4+5=12\) cm.
\(V=6\times8=48\) cm³. \(S_{\text{lat}}=12\times8=96\) cm².
\(S_{\text{tot}}=96+2\times6=108\) cm².
- a) Une pyramide de hauteur 6 m et de base carrée de 4 m est réduite à l'échelle \(\frac{1}{3}\). Calculer le volume de la maquette.
- b) Deux sphères ont des volumes dans le rapport \(8:27\). Quel est le rapport de leurs rayons ? de leurs surfaces ?
- c) On verse du sable dans un cône (pointe en bas) de rayon 10 cm et hauteur 12 cm. À quelle hauteur le sable arrive-t-il quand la moitié du volume est remplie ?
b) \(V_1/V_2=8/27=(k)^3\implies k=\sqrt[3]{8/27}=2/3\). Rayons dans le rapport \(2:3\). Surfaces dans le rapport \((2/3)^2=4:9\).
c) À la hauteur \(z\), le rayon du sable est \(r(z)=\frac{z\times10}{12}=\frac{5z}{6}\). Volume : \(V(z)=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{5z}{6}\right)^2 z=\frac{25\pi z^3}{108}\). Moitié du volume total = \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\pi\times100\times12=200\pi\).
\(\frac{25\pi z^3}{108}=200\pi\implies z^3=864\implies z=\sqrt[3]{864}=6\sqrt[3]{4}\approx9{,}52\) cm.
Une natte de Saponé est roulée en cylindre creux. Le cylindre extérieur a un rayon de \(8\) cm, le cylindre intérieur (espace vide) a un rayon de \(3\) cm, et la longueur de la natte roulée est de \(60\) cm.
- a) Calculer le volume de matière de la natte (cylindre creux).
- b) La natte est faite de végétaux de densité \(0{,}6\) g/cm³. Calculer sa masse.
- c) Déroulée et étalée, la natte forme un rectangle de largeur 60 cm. Quelle est sa longueur ?
b) Masse = \(3300\pi\times0{,}6=1980\pi\approx6\,220\) g \(\approx\mathbf{6{,}2}\) kg.
c) La natte déroulée est un rectangle de largeur 60 cm et d'épaisseur \(e=R_{\text{ext}}-R_{\text{int}}=5\) cm. La longueur est le développé du cylindre moyen : \(L=2\pi R_{\text{moy}}=2\pi\times5{,}5=11\pi\approx34{,}6\) cm. La surface de la natte = \(60\times34{,}6\approx2\,075\) cm².
La retenue d'eau du barrage de Bagré est approximativement modélisée par un prisme trapézoïdal (section transversale en trapèze) de longueur \(L=25\) km. La section transversale est un trapèze de bases \(b_1=80\) m (surface) et \(b_2=20\) m (fond) et de hauteur \(h=15\) m.
- a) Calculer l'aire de la section transversale.
- b) Calculer le volume d'eau en m³, puis en millions de m³.
- c) Si 10 % de ce volume s'évapore pendant la saison sèche, quel volume reste-t-il ?
- d) Ce volume restant alimente une population à raison de 200 litres/personne/jour. Combien de personnes peut-il alimenter pendant 6 mois (180 jours) ?
b) \(V=750\times25\,000=18\,750\,000\) m³ = \(\mathbf{18{,}75}\) millions de m³.
c) Volume après évaporation : \(0{,}9\times18\,750\,000=16\,875\,000\) m³.
d) Volume disponible : \(16\,875\,000\) m³ \(=16{,}875\times10^9\) litres.
Conso totale sur 180 j pour \(N\) personnes : \(200\times N\times180\) litres.
\(200\times N\times180=16{,}875\times10^9\implies N=\frac{16{,}875\times10^9}{36\,000}=468\,750\) personnes ≈ 470 000 personnes.
L'architecte du quartier Ouaga 2000 compare deux designs pour un bâtiment ayant la même empreinte (base) carrée de côté \(12\) m et la même hauteur totale de \(20\) m :
- Design A : parallélépipède rectangle (bâtiment cubique standard)
- Design B : prisme à base carrée surmonté d'une pyramide carrée de hauteur \(5\) m (bâtiment \(15\) m + pyramide \(5\) m)
- a) Calculer le volume habitable de chaque design.
- b) Calculer la surface extérieure de chaque design (sans les bases).
- c) Lequel maximise le volume pour une surface extérieure donnée ?
- d) Si la construction coûte 180 000 FCFA/m³ de volume intérieur, calculer la différence de coût entre les deux designs.
Design B : prisme \(V_{\text{prisme}}=144\times15=2\,160\) m³ + pyramide \(V_{\text{pyr}}=\frac{1}{3}\times144\times5=240\) m³. Total \(V_B=2\,400\) m³.
b) Design A : 4 faces latérales. \(S_A=4\times12\times20=960\) m².
Design B : 4 faces du prisme + 4 faces triangulaires de la pyramide.
Faces prisme : \(4\times12\times15=720\) m². Apothème pyramide : \(a=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}\approx7{,}81\) m.
Faces pyr : \(4\times\frac{1}{2}\times12\times7{,}81\approx187{,}4\) m². Total \(S_B\approx720+187=907\) m².
c) Design A : ratio \(V/S=2880/960=3\). Design B : ratio \(2400/907\approx2{,}65\). Design A a un meilleur ratio volume/surface.
d) Différence de volume : \(2880-2400=480\) m³. Coût supplémentaire du design A : \(480\times180\,000=\mathbf{86\,400\,000}\) FCFA ≈ 86,4 M FCFA de plus.
À retenir
- Prisme/Cylindre : \(V=\mathscr{A}_{\text{base}}\times h\) — Cavalieri : chaque section est congruente à la base.
- Pyramide/Cône : \(V=\frac{1}{3}\mathscr{A}_{\text{base}}\times h\) — le facteur \(\frac{1}{3}\) vient de l'intégrale \(\int_0^h(z/h)^2\,\mathrm{d}z=h/3\).
- Sphère : \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), \(S=4\pi R^2\), et \(V=\frac{1}{3}SR\).
- Tronc de cône : \(V=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\).
- Aire latérale du cône : \(S=\pi r l\) où \(l=\sqrt{r^2+h^2}\) est la génératrice.
- Similitude de rapport \(k\) : Aires \(\times k^2\), Volumes \(\times k^3\).
- Principe de Cavalieri : même hauteur, mêmes sections à toute altitude → mêmes volumes.