I. Définition et importance des sections planes
Une section plane d'un solide est l'intersection d'un plan avec ce solide. Le résultat est une figure plane — une courbe ou un polygone — qui révèle la structure interne du solide. Les sections planes sont fondamentales en architecture (plans de coupe), en ingénierie (calcul des contraintes), en imagerie médicale (scanner, IRM) et en géométrie théorique.
La forme d'une section dépend à la fois du solide et de l'orientation du plan coupant. Pour un même solide, différentes orientations donnent des sections différentes :
Cube : triangle, carré, rectangle, hexagone régulier (!) selon l'inclinaison.
Cône : point, cercle, ellipse, parabole, hyperbole, triangle — ce sont les coniques, découvertes précisément en étudiant les sections d'un cône double !
Sphère : toujours un cercle (ou un point) — c'est la définition même de la sphère.
En pratique, couper un solide revient à trouver tous les points communs à la surface du solide et au plan. Algébriquement : résoudre simultanément l'équation du solide et celle du plan.
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II. Méthode générale pour trouver une section plane
- Identifier le plan coupant — son équation \(ax+by+cz+d=0\) ou sa description géométrique (plan passant par tels points, parallèle à tel plan, etc.).
- Trouver les intersections avec les arêtes/faces — pour chaque face du solide, trouver les points communs avec le plan coupant. Pour les solides à arêtes (cube, prisme, pyramide), on cherche les points d'intersection avec chaque arête.
- Relier les points dans l'ordre — les points d'intersection trouvés sont les sommets de la section. Les relier dans l'ordre de leur position sur les faces donne la section.
- Identifier la figure obtenue — triangle, rectangle, hexagone, ellipse, cercle, parabole… et calculer ses dimensions si demandé.
- Vérifier — s'assurer que la figure est plane (tous ses sommets dans le plan coupant) et que chaque côté de la section est bien dans une face du solide.
III. Sections du cube
Le cube est le solide dont les sections sont les plus riches et les plus surprenantes. Selon l'orientation du plan, on peut obtenir des triangles, des rectangles, des pentagones et même un hexagone régulier.
| Plan coupant | Section obtenue | Condition |
|---|---|---|
| Parallèle à une face | Carré de même taille que la face | Toujours |
| Par une arête, parallèle à l'arête opposée | Rectangle | Deux arêtes parallèles dans le plan |
| Par la diagonale d'une face | Rectangle | Le plan contient deux diagonales de faces opposées |
| Par trois sommets non coplanaires avec une face | Triangle équilatéral | 3 sommets à distance égale sur 3 arêtes adjacentes |
| Plan coupant les 6 faces | Hexagone (régulier si symétrique) | Le plan coupe les 6 faces, milieu de chaque arête |
| Plan oblique général | Pentagone ou hexagone | Selon le nombre de faces coupées |
IV. Visualisation — sections du cube et du cône
Gauche : trois sections du cube (carré, hexagone, triangle). Droite : les cinq coniques — sections du cône double selon l'inclinaison du plan.
V. Les coniques — sections du cône double
Les coniques sont les courbes obtenues en coupant un cône double par un plan. Elles ont été étudiées par Apollonius de Perga au III\(^\text{e}\) siècle avant J.-C. et sont omniprésentes en physique (orbites des planètes, trajectoires balistiques, réflecteurs paraboliques).
| Conique | Condition sur le plan | Équation standard | Propriété caractéristique |
|---|---|---|---|
| Cercle | Plan ⊥ à l'axe du cône | \(x^2+y^2=r^2\) | Tous les points à distance \(r\) du centre |
| Ellipse | Plan oblique, angle avec l'axe > angle de la génératrice | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) | \(MF_1+MF_2=2a\) (somme de distances constante) |
| Parabole | Plan parallèle exactement à une génératrice | \(y^2=4px\) ou \(x^2=4py\) | \(MF=d(M,\Delta)\) (foyer-directrice) |
| Hyperbole | Plan parallèle à l'axe (coupe les deux nappes) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) | \(|MF_1-MF_2|=2a\) (différence de distances constante) |
| Triangle | Plan passant par le sommet du cône | Deux droites \(y=\pm\frac{b}{a}x\) | Cas dégénéré — deux génératrices |
Newton a démontré que toutes les orbites des corps célestes sous l'effet de la gravitation sont des coniques : les orbites fermées (planètes, satellites) sont des ellipses, les trajectoires de passage unique (certaines comètes) sont des paraboles ou des hyperboles. La Terre décrit une ellipse autour du Soleil dont le Soleil est un foyer.
En optique, les miroirs paraboliques concentrent en un point (le foyer) tous les rayons parallèles à l'axe — c'est le principe des antennes satellites, des télescopes, et des cuiseurs solaires utilisés dans certaines régions du Burkina Faso.
VI. Sections du cylindre et de la sphère
Soit une sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\), et soit un plan \(\mathscr{P}\) à distance \(d\) du centre (\(d \leq R\)).
Soit \(H\) le pied de la perpendiculaire de \(\Omega\) sur \(\mathscr{P}\). Pour tout point \(M\) de la section (donc \(M\in\mathscr{P}\) et \(M\in\text{sphère}\)), le triangle \(\Omega HM\) est rectangle en \(H\) :
\(\Omega M^2 = \Omega H^2 + HM^2 \implies R^2 = d^2 + HM^2 \implies HM = \sqrt{R^2-d^2}\)
Cette distance \(HM\) est constante quel que soit \(M\) sur la section. Donc la section est un cercle de centre \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\). \(\square\)
Cas particuliers : si \(d=0\) (plan par le centre) → grand cercle de rayon \(R\). Si \(d=R\) (plan tangent) → un seul point.
| Solide | Plan coupant | Section obtenue | Dimensions |
|---|---|---|---|
| Cylindre | ⊥ à l'axe | Cercle | Rayon = rayon du cylindre |
| Cylindre | ∥ à l'axe | Rectangle | Largeur = corde du cercle de base |
| Cylindre | Oblique | Ellipse | Grand axe = \(\frac{2r}{\cos\alpha}\), petit axe = \(2r\) |
| Sphère | Quelconque (à distance \(d\leq R\)) | Cercle | Rayon = \(\sqrt{R^2-d^2}\) |
| Sphère | Par le centre (\(d=0\)) | Grand cercle | Rayon = \(R\) |
VII. Exemples travaillés
Dans le cube \(ABCDA'B'C'D'\) de côté 1, les points \(M\), \(N\) et \(P\) sont les milieux de \([AB]\), \([AA']\) et \([AD]\). Déterminer la section du cube par le plan \((MNP)\) et calculer son aire.
Coordonnées : \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A'(0,0,1)\), \(B'(1,0,1)\), \(C'(1,1,1)\), \(D'(0,1,1)\).
\(M=\left(\frac{1}{2},0,0\right)\), \(N=\left(0,0,\frac{1}{2}\right)\), \(P=\left(0,\frac{1}{2},0\right)\)
Équation du plan \((MNP)\) : de la forme \(ax+by+cz=d\). On substitue :
M : \(\frac{a}{2}=d\implies a=2d\). N : \(\frac{c}{2}=d\implies c=2d\). P : \(\frac{b}{2}=d\implies b=2d\).
Plan : \(2dx+2dy+2dz=d\implies x+y+z=\frac{1}{2}\)
Intersections avec les arêtes du cube :
Arête \([AB]\) (\(y=z=0\)): \(x=\frac{1}{2}\) → \(M(\frac{1}{2},0,0)\) ✓
Arête \([AD]\) (\(x=z=0\)): \(y=\frac{1}{2}\) → \(P(0,\frac{1}{2},0)\) ✓
Arête \([AA']\) (\(x=y=0\)): \(z=\frac{1}{2}\) → \(N(0,0,\frac{1}{2})\) ✓
Seulement 3 points → section triangulaire. C'est un triangle équilatéral (toutes les arêtes à distance égale du sommet \(A\)).
Côté du triangle : \(MN=\sqrt{\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Aire \(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}\approx0{,}217\)
Dans le cube de côté 2, le plan \(x+y+z=3\) (plan médian perpendiculaire à la grande diagonale) coupe le cube selon un hexagone. Trouver les 6 sommets et montrer que l'hexagone est régulier.
On cherche les intersections avec toutes les arêtes (\(x\) ou \(y\) ou \(z\) = 0 ou 2, les deux autres dans [0,2]) :
Arête \([AB]\) : \(y=0,z=0,x\in[0,2]\) → \(x=3\) hors du cube.
On cherche les arêtes où la solution est dans [0,2]. Systématiquement (cube \([0,2]^3\)) :
\([BB']\) \((x=2,y=0)\) : \(2+0+z=3\implies z=1\) → \(Q_1(2,0,1)\) ✓
\([B'C']\) \((x=2,z=2)\) : \(2+y+2=3\implies y=-1\) hors cube. Essayons \([AB]\) \((y=0,z=0)\) : \(x=3\) hors.
Par symétrie, les 6 points sont : \((2,0,1)\), \((2,1,0)\), \((1,2,0)\), \((0,2,1)\), \((0,1,2)\), \((1,0,2)\).
Distance entre deux sommets consécutifs : \(\sqrt{(2-2)^2+(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}\). Tous égaux → hexagone régulier de côté \(\sqrt{2}\).
La sphère de centre \(\Omega(1,2,3)\) et de rayon \(R=5\) est coupée par le plan \(\mathscr{P}\,:\,x+2y+2z-1=0\). Caractériser la section.
Distance du centre au plan :
\(d=\frac{|1+4+6-1|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{10}{3}\approx3{,}33\)
Comme \(d=\frac{10}{3}<5=R\), le plan coupe la sphère selon un cercle.
Rayon de la section :
\(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-\frac{100}{9}}=\sqrt{\frac{225-100}{9}}=\sqrt{\frac{125}{9}}=\frac{5\sqrt{5}}{3}\approx3{,}73\)
Le centre de la section est la projection \(H\) de \(\Omega\) sur \(\mathscr{P}\) (calculée par la méthode de L3) :
Perpendiculaire : \((1+t, 2+2t, 3+2t)\). Dans le plan : \((1+t)+2(2+2t)+2(3+2t)-1=0\implies 12+9t=0\implies t=-\frac{4}{3}\).
\(H=\left(1-\frac{4}{3}\,;\,2-\frac{8}{3}\,;\,3-\frac{8}{3}\right)=\left(-\frac{1}{3}\,;\,-\frac{2}{3}\,;\,\frac{1}{3}\right)\)
VIII. Application concrète ⭐
Un silo à grain de Banfora a la forme d'un cylindre de rayon \(R=3\) m et de hauteur \(H=8\) m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur \(h=2\) m. Un ingénieur effectue plusieurs coupes planes pour analyser la structure.
- a) Une coupe horizontale à \(z=5\) m (dans la partie cylindrique). Quelle est la forme et les dimensions de cette section ?
- b) Une coupe oblique à 45° passe par le centre de la base circulaire inférieure et le bord supérieur du cylindre d'un côté. Quelle ellipse obtient-on ? (Calculer les axes.)
- c) Une coupe verticale passant par l'axe du silo coupe la partie conique. Quelle figure obtient-on dans cette partie ?
- d) À quelle hauteur dans la partie cylindrique une coupe horizontale délimite-t-elle exactement la moitié du volume total du silo ?
a) Coupe horizontale à \(z=5\) m :
Dans la partie cylindrique, toute coupe ⊥ à l'axe donne un cercle de rayon \(R=3\) m.
Aire de la section = \(\pi\times9=9\pi\approx28{,}3\) m²
b) Coupe oblique à 45° :
Pour un cylindre de rayon \(r\) coupé par un plan à angle \(\alpha=45°\) par rapport à la base :
Petit axe de l'ellipse = \(2r=6\) m (dimension non affectée par l'inclinaison)
Grand axe = \(\frac{2r}{\cos\alpha}=\frac{6}{\cos45°}=\frac{6}{\sqrt{2}/2}=6\sqrt{2}\approx8{,}49\) m
L'ellipse a pour demi-axes \(a=3\sqrt{2}\) m et \(b=3\) m.
c) Coupe verticale passant par l'axe — partie conique :
Le plan vertical passant par l'axe coupe le cône en un triangle isocèle de base \(2R=6\) m et de hauteur \(h=2\) m.
Aire du triangle = \(\frac{1}{2}\times6\times2=6\) m²
d) Hauteur de la coupe à mi-volume :
Volume total = \(V_{\text{cyl}}+V_{\text{cône}}=\pi R^2 H+\frac{1}{3}\pi R^2 h=9\pi\times8+\frac{9\pi\times2}{3}=72\pi+6\pi=78\pi\)
Mi-volume = \(39\pi\) m³. Volume jusqu'à la hauteur \(z_0\) (dans le cylindre) : \(\pi R^2 z_0=9\pi z_0\).
\(9\pi z_0=39\pi\implies z_0=\frac{39}{9}=\frac{13}{3}\approx\mathbf{4{,}33}\) m
La coupe doit être à 4,33 m du fond, soit dans le premier tiers de la hauteur cylindrique.
✏️ Exercices d'application
Dans le cube \(ABCDA'B'C'D'\) de côté 2, placer un repère avec \(A=(0,0,0)\).
- a) Décrire la section par le plan \(x+y+z=2\) (trouver tous les points d'intersection avec les arêtes).
- b) Calculer l'aire de cette section.
- c) Cette section est-elle similaire à celle de l'Exemple 1 ? Dans quel rapport ?
Arête \([AB]\) \((y=z=0)\): \(x=2\) → point \(B(2,0,0)\).
Arête \([AD]\) \((x=z=0)\): \(y=2\) → point \(D(0,2,0)\).
Arête \([AA']\) \((x=y=0)\): \(z=2\) → point \(A'(0,0,2)\).
Section : triangle \(BDA'\). Les arêtes internes sont de longueur \(BD=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\), \(BA'=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\), \(DA'=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\). Triangle équilatéral !
b) Côté \(= 2\sqrt{2}\). Aire \(= \frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\times8 = 2\sqrt{3}\approx3{,}46\) m².
c) Exemple 1 : côté \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), Exercice 1 : côté \(2\sqrt{2}\). Rapport \(k=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}=4\). La section est similaire dans le rapport 4 (cube de côté 2 vs cube de côté 1). Aire dans le rapport \(k^2=16\) : \(\frac{\sqrt{3}}{8}\times16=2\sqrt{3}\) ✓.
Une pyramide à base carrée \(OABC\) de côté 4 m et de hauteur 6 m a son sommet en \(S\). Le plan \(\mathscr{Q}\) est parallèle à la base et passe à \(z=4\) m du sol.
- a) La section est similaire à la base. Quel est le rapport de similitude ?
- b) Calculer les dimensions et l'aire de cette section.
- c) Calculer le volume de la petite pyramide au-dessus de \(\mathscr{Q}\).
b) Côté de la section : \(\frac{1}{3}\times4=\frac{4}{3}\) m. Aire : \(\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}\approx1{,}78\) m².
c) La petite pyramide au-dessus de \(\mathscr{Q}\) a une base carrée de côté \(\frac{4}{3}\) m et une hauteur de \(6-4=2\) m.
\(V_{\text{petite}}=\frac{1}{3}\times\frac{16}{9}\times2=\frac{32}{27}\approx1{,}19\) m³.
La Terre est approximativement une sphère de rayon \(R=6371\) km. Le parallèle à la latitude \(\varphi=12°\) Nord (qui passe près de Ouagadougou) est la section de la sphère par un plan horizontal.
- a) Calculer la distance \(d\) du centre de la Terre à ce plan (en km).
- b) Calculer le rayon du parallèle à \(\varphi=12°\) Nord.
- c) Calculer la longueur de ce parallèle (circonférence).
\(d=6371\sin12°=6371\times0{,}2079\approx1\,325\) km.
b) Rayon du parallèle : \(r=\sqrt{R^2-d^2}=R\cos\varphi=6371\cos12°=6371\times0{,}9781\approx6{,}231\) km.
(Plus simplement : \(r=R\cos\varphi\))
c) Circonférence : \(C=2\pi r=2\pi\times6231\approx39\,152\) km.
Un barrage en voûte est modélisé par une demi-sphère creuse de rayon extérieur \(R_{\text{ext}}=20\) m et de rayon intérieur \(R_{\text{int}}=18\) m (épaisseur 2 m). Le centre est à l'origine.
- a) Une coupe horizontale à \(z=10\) m coupe la voûte selon deux cercles concentriques. Calculer leurs rayons.
- b) Calculer l'aire annulaire de cette section (entre les deux cercles).
- c) Un câble de renforcement suit la courbe d'intersection du plan \(y=0\) avec la surface extérieure de la voûte. Décrire cette courbe et donner son équation dans le plan \(y=0\).
Sphère intérieure (\(R=18\)) à \(z=10\) : rayon \(r_{\text{int}}=\sqrt{324-100}=\sqrt{224}=4\sqrt{14}\approx15{,}0\) m.
b) Aire annulaire \(=\pi r_{\text{ext}}^2-\pi r_{\text{int}}^2=\pi(300-224)=76\pi\approx238{,}8\) m².
c) Dans le plan \(y=0\), la surface extérieure est \(x^2+0+z^2=400\), soit le demi-cercle \(x^2+z^2=400\) avec \(z\geq0\). C'est un demi-cercle de rayon 20 m dans le plan vertical.
Un grenier traditionnel de Dori (Sahel) est modélisé par un cône droit de sommet \(S(0,0,3)\) et de base circulaire de centre \(O(0,0,0)\) et de rayon \(R=2\) m. Il est posé sur le sol (\(z=0\)).
- a) Écrire l'équation de la surface conique (en termes de \(x\), \(y\), \(z\)).
- b) Le plan \(z=1{,}5\) coupe le cône selon un cercle. Trouver son centre et son rayon.
- c) Le plan \(x=0{,}5\) coupe le cône selon quelle courbe ? Trouver son équation dans ce plan.
- d) Un plan oblique passe par le sommet \(S\) et le diamètre \(y=0, z=0\) de la base. Décrire la section et calculer son aire.
b) À \(z=1{,}5\) : rayon \(r=\frac{2\times1{,}5}{3}=1\) m. Centre \((0,0,1{,}5)\). C'est un cercle de rayon 1.
c) Plan \(x=0{,}5\). Dans ce plan : \(\frac{1}{4}+y^2=\frac{4(3-z)^2}{9}\implies y^2=\frac{4(3-z)^2}{9}-\frac{1}{4}\). C'est une hyperbole en \((y,z)\).
d) Plan passant par \(S(0,0,3)\) et le diamètre \((y=0, z=0)\) (les points \((\pm2,0,0)\)). Ce plan vertical (\(y=0\)) coupe le cône en un triangle isocèle de base \(2R=4\) m et de hauteur \(h=3\) m.
Aire \(=\frac{1}{2}\times4\times3=6\) m².
À retenir
- Méthode générale : trouver les intersections du plan avec les arêtes/faces, relier les points, identifier la figure.
- Sections du cube : carré (plan ∥ à une face), rectangle, triangle équilatéral, hexagone régulier (plan ⊥ à la grande diagonale, passant par les 6 milieux).
- Sections du cône double (coniques) : cercle (⊥ axe), ellipse (oblique), parabole (∥ génératrice), hyperbole (∥ axe), triangle (par le sommet).
- Sections de la sphère : toujours un cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\) où \(d\) est la distance du centre au plan.
- Sections du cylindre : cercle (⊥ axe), rectangle (∥ axe), ellipse (oblique).
- Sections d'une pyramide par un plan ∥ à la base : figure semblable à la base avec le rapport \(\frac{h-z}{h}\) — volume de la petite pyramide en \(\left(\frac{h-z}{h}\right)^3\) fois le volume total.
- Règle des arêtes parallèles : deux côtés d'une section sur deux faces parallèles du solide sont parallèles.
Module VIII — Terminé !
Tu as maîtrisé les 5 leçons de Géométrie dans l'Espace.
Axiomes, coordonnées 3D, produit scalaire, aires et volumes, sections planes — les outils complets de la géométrie tridimensionnelle.